2019-2020学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷【高中数学，高考数学试卷，含答案word可编辑】

2019-2020学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.)1.已知椭圆ͳܽ的一个焦点为䕍ܽ，则的值为（）A.B.C.D.2.已知数列满足＝，＝䕍，则＝（）ͳͳA.B.C.D.3.已知命题쳌ͳ，ͳ，则￢为（）A.ͳ，ͳB.쳌ͳ，ͳC.쳌ͳ，ͳD.ͳ，ͳ4.已知，，若쳌，则（）A.쳌B.쳌C.쳌D.쳌5.已知向量ͳ䕍䕍ͳ，䕍䕍，且，那么＝（）A.B.C.D.ͳ6.已知直线，分别在两个不同的平面，内.则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知向量ͳ䕍䕍，ܽ䕍ͳ䕍，ͳ䕍ܽ䕍ܽ，若，，共面，则等于（）A.ͳB.ͳC.ͳ或ͳD.ͳ或ܽ8.德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉．他在研究圆内整点问题时，定义了一个函数＝㜶，其中㜶表示不超过的最大整数，比如㜶＝．根据以上定义，当ͳ时，数列，，A.是等差数列，也是等比数列B.是等差数列，不是等比数列C.是等比数列，不是等差数列D.不是等差数列，也不是等比数列9.设有四个数的数列，该数列前项成等比数列，其和为，后项成等差数列，其和为．则实数的取值范围为（）A.B.C.D.10.曲线＝ͳ．给出下列结论：①曲线关于原点对称；试卷第1页，总8页,②曲线上任意一点到原点的距离不小于ͳ；③曲线只经过个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．其中，所有正确结论的序号是（）A.①②B.②C.②③D.③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.)11.设是椭圆ͳ上的点，到该椭圆左焦点的距离为，则到右焦点的距离为________．12.不等式쳌ܽ的解集为________．ͳͳͳ13.能说明“若，则쳌”为假命题的一组、值是＝________，＝________．14.在平面直角坐标系4中，若双曲线ͳܽ䕍ܽ的右焦点䕍ܽ到一条渐近线的距离为，则其离心率的值为________．15.某渔业公司今年初用ͳܽܽ万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用万元，从第二年开始，每年所需费用均比上一年增加万元．若该渔船预计使用年，其总花费（含购买费用）为________万元；当＝________时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）．16.若ͳ，，，…，表示从左到右依次排列的盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；（2）灯ͳ在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的，要求灯的左边有且只有灯ͳ是开灯状态时才可以对灯进行一次操作．如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯关闭最少需要________次操作；如果除灯外，其余盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要________次操作．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17.已知等比数列的公比为，且，，成等差数列．Ⅰ求的通项公式；Ⅱ设的前项和为，且＝，求的值．18.已知函数＝，．Ⅰ若ͳ，求的取值范围；Ⅱ若对恒成立，求的取值范围；Ⅲ求关于的不等式ܽ的解集．19.已知椭圆ͳܽ的右焦点为ͳ䕍ܽ，离心率为．Ⅰ求椭圆的方程；试卷第2页，总8页,Ⅱ设点为椭圆的上顶点，点在椭圆上且位于第一象限，且＝ܽ，求的面积．20.如图，四棱锥香中，香平面，香，＝ܽ．＝＝，香＝，＝，是的中点．Ⅰ证明：平面；Ⅱ若二面角香的余弦值是，求的值；Ⅲ若＝，在线段香上是否存在一点，使得．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．21.已知抛物线＝ܽ，抛物线上横坐标为ͳ的点到焦点的距离为．Ⅰ求抛物线的方程及其准线方程；Ⅱ过ͳ䕍ܽ的直线交抛物线于不同的两点，，交直线＝于点，直线交直线＝ͳ于点香．是否存在这样的直线，使得香？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线的方程．22.若无穷数列ͳ，，，…满足：对任意两个正整数，，ͳͳ＝与ͳͳ＝至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”．Ⅰ求证：若数列为等差数列，则为“和谐数列”；Ⅱ求证：若数列为“和谐数列”，则数列从第项起为等差数列；Ⅲ若是各项均为整数的“和谐数列”，满足＝ܽ，且存在使得＝，ͳͳǤǤǤ＝，求的所有可能值．试卷第3页，总8页,参考答案与试题解析2019-2020学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.A2.B3.C4.D5.A6.A7.B8.D9.B10.C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.12.ܽ䕍ͳ13.ͳ,ͳ14.15.ͳܽܽ,ͳܽ16.如果所有灯都处于开灯状态，那么先把灯关闭，再把ͳ灯关闭，再把灯关闭，最少需要次操作；,ͳ三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（1）由题意，为公比为的等比数列，故，＝，＝ͳ，ͳͳͳͳ依题意，得＝，即ͳ＝ͳͳͳ，整理，得ͳ＝，解得ͳ＝．∴数列的通项公式为．ͳͳͳ（2）根据（1），可知ͳ．ͳͳ故ͳ＝，整理，得ͳ＝，解得＝．∴的值是．18.（1）由ͳ得ͳ，整理得ͳܽ，试卷第4页，总8页,ͳ解得쳌或ͳ．（2）对恒成立，则min，所以，整理得ͳܽ，解得Ⅲ解＝ܽ，得＝ܽ，＝，ͳ①当ܽ时，即쳌ܽ时，쳌ܽ或；②当쳌ܽ时，即ܽ时，쳌或ܽ；③当＝ܽ时，即＝ܽ时，ܽ．综上，当쳌ܽ时，不等式的解集为쳌ܽ或；当ܽ时，不等式的解集为쳌或ܽ；当＝ܽ时，不等式的解集为ܽ．19.（1）依题意＝ͳ，，解得，ͳ，所以椭圆的方程为ͳ．（2）设点䕍，因为点在椭圆上，所以ܽͳ，ܽܽܽܽ因为＝ܽ，所以＝ͳ，得ͳ，ܽͳ由①②消去得，ܽ，ܽܽܽ解得ܽ＝ܽ（舍），ܽ，ͳͳ代入方程②得ܽ，所以䕍，所以，又，ͳͳͳ所以的面积．20.（1）证明：因为香平面，香，所以平面．又因为平面，所以．在中，＝，是的中点，所以．又因为＝，所以平面．（2）因为香平面，所以香，香．又因为，所以，如图建立空间直角坐标系．则ܽ䕍ܽ䕍ܽ，ܽ䕍䕍ܽ，ܽ䕍䕍，ͳ䕍ͳ䕍ܽ，䕍ܽ䕍ܽ，香ܽ䕍ܽ䕍，ܽ䕍䕍，ͳ䕍ͳ䕍ܽ．设平面的法向量为䕍䕍．ܽܽ䕍则即令＝ͳ，则＝ͳ，，于是ͳ䕍ͳ䕍．ܽǤܽ因为香平面，所以香．又，所以平面香．试卷第5页，总8页,又因为䕍䕍ܽ，所以取平面香的法向量为ͳ䕍ͳ䕍ܽ．ͳͳ所以cos쳌䕍，即，解得＝ͳ．又因为ܽ，所以＝ͳ．Ⅲ结论：不存在．理由如下：证明：设ܽ䕍ܽ䕍ܽ．当＝时，ܽ䕍䕍Ǥ䕍ܽ䕍，ͳ䕍ͳ䕍．由知，ܽ，＝ܽ，＝ͳ．这与ܽ矛盾．所以，在线段香上不存在点，使得．21.（1）因为横坐标为ͳ的点到焦点的距离为，所以ͳ，解得＝，所以＝，所以准线方程为＝．（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为＝ͳܽ，ͳ䕍ͳ，䕍．䕍联立得消去得＝ܽ．ͳ䕍由＝ܽ，解得쳌쳌．所以쳌쳌且ܽ．由韦达定理得ͳ，ͳ＝ͳ．方法一：直线的方程为，又香＝ͳ，所以香，所以香ͳ䕍，因为香，所以直线香与直线的斜率相等．ͳ又䕍，所以．ͳͳͳͳͳ整理得，即，ͳͳ试卷第6页，总8页,ͳͳͳͳͳ化简得ͳ，ͳ，即ͳ＝．ͳͳͳ所以，整理得，解得．经检验，符合题意．所以存在这样的直线，直线的方程为ͳ或ͳ．方法二：ͳ因为香，所以，所以．香ͳ整理得ͳͳ＝，即，整理得．解得，经检验，符合题意．所以存在这样的直线，直线的方程为ͳ或ͳ．22.（1）证明：因为数列为等差数列，所以对任意两个正整数，，有ͳ＝ͳ＝，所以ͳͳ＝．所以数列为“和谐数列”．（2）证明：因为数列为“和谐数列”，所以当＝ͳ，＝时，只能ͳͳ＝成立，ͳͳ＝不成立．所以＝ͳ，即ͳ＝．当＝ͳ，＝，，，，…时，也只能ͳͳ＝成立，ͳͳ＝不成立．所以＝ͳ，＝ͳ，＝ͳ，…，即ͳ＝＝＝＝…，所以ͳ＝＝＝＝…令ͳ＝，则数列满足ͳ＝．所以，数列从第项起为等差数列．Ⅲ①若＝ͳ，则＝ͳ＝ͳ，与ͳ＝ܽ矛盾，不合题意．②若＝，则ͳ＝ܽ，＝，但ͳ＝，不合题意．③若＝，则ͳ＝ܽ，＝，由ͳ＝，得＝，此时数列为：ܽ，，，，，…，符合题意．④若，设ͳ＝，则ͳܽ㜶㜶㜶．所以，㜶㜶ܽͳ㜶ͳ即ܽ．因为ͳܽ，所以＝ܽ．所以＝不合题意．所以．试卷第7页，总8页,因为为整数，所以为整数，所以＝，，，ͳ．综上所述，的所有可能值为，，，，ͳ．试卷第8页，总8页