2019-2020学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷【高中数学，高考数学试卷，含答案word可编辑】

2019-2020学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1.设赨ښ郈ʒ�ښ灰，则赨()A.郈ʒښB.郈ʒښC.ʒښD.ʒښ2.设抛物线ʒ＝上一点到轴的距离是ʒ，则点到该抛物线焦点的距离是（）A.B.ʒC.D.3.已知等差数列的前项和为，若ʒ郈郈赨，则赨�灰A.B.C.ʒD.ʒʒʒʒʒ4.已知双曲线赨�ܽ灰与椭圆郈赨有相同的焦点，则等于（）ʒA.ʒB.C.ʒD.5.如图，从甲地到乙地有条路，从乙地到丁地有ʒ条路；从甲地到丙地有条路，从丙地到丁地有条路．从甲地到丁地的不同路线共有（）A.ʒ条B.条C.条D.ʒ条6.在长方体ܤܥܤܥ中，ܤ赨ܤ赨，赨，则异面直线ܥ与ܥܤ所成角的余弦值为（）ʒA.B.C.D.ʒ7.在四面体ܤܥ中，点在ܥ上，且赨ʒܥ，为ܤ中点，则等于()ʒA.赨郈ܤܥʒʒB.赨ܤ郈ܥʒʒʒC.赨ܤ郈ܥʒʒʒD.赨郈ܤܥʒʒ8.已知，ʒ是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，若，ʒ，试卷第1页，总7页,ʒ构成公比为的等比数列，则椭圆的离心率为（）ʒʒA.B.C.D.9.设等比数列的前项和是，则“ܽ”是“ʒ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件10.在棱长为的正方体ܤܥܤܥ中，点在底面ܤܥ内运动，使得的面积为，则动点的轨迹为（）A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.一段圆弧D.一条线段二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．)11.复数�ʒ郈灰郈�ʒ灰ښ是纯虚数，则实数＝________．ʒ12.若双曲线ʒ赨�ܽ灰经过点�点灰，则该双曲线的渐近线方程为________．ʒ13.在等比数列中，＝，ʒ郈＝ܽ，则公比＝________．14.用ܽ，，ʒ，，，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为________．ʒʒ15.已知椭圆郈赨�ܽ灰的左焦点为，若存在过原点的直线交椭圆于，ʒʒܤ两点，且ܤ，则椭圆的离心率的取值范围是________．三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．)16.已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，＝ʒ，＝．数列满足＝，＝，且为等差数列．�Ⅰ灰求数列和的通项公式；�Ⅱ灰求数列的前项和．17.已知向量赨�ʒ点点ʒ灰，赨�点点ʒ灰，赨�点ʒ点ʒ灰．�Ⅰ灰当＝ʒʒ时，若向量郈与垂直，求实数和的值；�Ⅱ灰若向量与向量，共面，求实数的值．18.如图，在四棱锥ܤܥ中，底面ܤܥ为正方形，ܥ平面ܤܥ，ܥ＝ܤ，点，，分别为，，ܤ的中点．�Ⅰ灰求证：ܤ；�Ⅱ灰求证：平面ܥ；�Ⅲ灰求平面与平面ܥ所成二面角ܥ（锐角）的余弦值．试卷第2页，总7页,ʒʒ19.已知椭圆郈赨�灰的离心率为，过点�ܽ点灰的直线与有两个不同ʒʒ的交点，ܤ，线段ܤ的中点为ܥ，为坐标原点，直线与直线ܥ分别交直线＝于点，．�Ⅰ灰求椭圆的标准方程；�Ⅱ灰求线段的最小值．20.定义：首项为且公比为正数的等比数列为“数列”．�Ⅰ灰已知等比数列�晦灰满足：ʒ＝，ʒ郈＝ʒ，判断数列是否为“数列”；�Ⅱ灰设为正整数，若存在“数列”�晦灰，对任意不大于的正整数，都有郈成立，求的最大值．试卷第3页，总7页,参考答案与试题解析2019-2020学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.D2.C3.B4.A5.C6.C7.B8.A9.C10.A二、填空题共5小题，每小题4分，共20分．11.ʒ12.＝ʒ13.14.ʒ15.点灰ʒ三、解答题共5小题，共40分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，由题设知ܽ．由＝ʒ，＝＝�郈郈ʒ灰解得：＝ʒ，∴赨ʒ．∵＝，＝，∴ʒ＝�灰�灰＝，∴＝，＝�灰郈�灰＝，所以＝郈＝ʒ郈；（2）由�Ⅰ灰知＝郈＝ʒ郈，ʒ郈ʒ郈ǤǤǤ郈ʒ灰郈郈�灰赨ʒ郈ʒʒʒ郈．∴＝�ʒ郈ʒʒ17.（1）因为＝ʒʒ时，所以＝ܽ．且向量郈赨�ʒ点点ʒ郈ʒ灰．因为向量郈与垂直，所以�郈灰赨ܽ．即ʒ郈＝ܽ．所以实数和的值分别为ܽ和．（2）因为向量与向量，共面，所以设赨郈�点灰．因为�点ʒ点ʒ灰＝�ʒ点点ʒ灰郈�点点ʒ灰，试卷第4页，总7页,赨赨ʒʒ则：ʒ赨解得赨ʒʒ赨ʒ郈ʒ赨ʒ所以实数的值为．ʒ18.（1）证明：因为ܥ平面ܤܥ，所以ܥܥ，ܥܥ，且底面ܤܥ为正方形，所以ܥܥ．以ܥ为原点，ܥ，ܥ，ܥ所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系ܥ，设ܥ＝，则ܥ�ܽ点ܽ点ܽ灰，�ܽ点ܽ点灰，ܤ�点点ܽ灰，�ܽ点点灰，�点ܽ点灰，�点点ܽ灰．ʒʒʒʒʒܤ赨�点点灰，赨�点点ܽ灰，ʒʒܤ赨郈ܽ赨ܽ．ʒʒ所以ܤ．（2）证明：由�Ⅰ灰知，ܥܥ，ܥܥ，且ܥܥ＝ܥ，所以ܥ平面ܥ．所以ܥ赨�点ܽ点ܽ灰是平面ܥ的法向量．赨�ܽ点点灰，ʒ因为ܥ赨ܽ，且平面ܥ，所以平面ܥ．�Ⅲ灰设平面的法向量为赨�点点灰，赨ܽ赨ܽ则，即，令＝，得赨�点点ʒ灰．ʒ赨ܽ赨ܽ平面ܥ的法向量为ܥ赨�ܽ点点ܽ灰．设平面与平面ܥ所成二面角（锐角）为，ܥ则cos赨赨．ܥ所以平面与平面ܥ所成二面ܥ角（锐角）的余弦值为．试卷第5页，总7页,ʒʒʒʒ19.（1）由题意可得赨赨，＝，＝郈，解得＝ʒ．ʒʒʒ所以椭圆的标准方程为郈赨．（2）显然直线的斜率存在．设过点�ܽ点灰的直线的方程为＝郈．（ܽ，否则直线ܥ与直线＝无交点）直线与椭圆的交点为�点灰，ܤ�ʒ点ʒ灰，赨郈由得�郈ʒ灰ʒ郈＝ܽ，ܽ恒成立．ʒ郈ʒ赨ʒ则郈ʒ赨ʒ，郈郈ʒ＝�郈ʒ灰郈ʒ赨ʒ．郈所以ܥ�点灰．郈ʒ郈ʒ令＝，＝郈．直线ܥ方程为赨，令＝，赨，所以赨赨郈郈．①当ܽ时，＝郈郈郈，当且仅当赨时，即赨时取“＝”．ʒ②当‴ܽ时，郈赨�灰郈�灰．当且仅当赨时取“＝”．ʒ此时赨郈郈．综上，线段的最小值为．20.（1）设等比数列的公比为，则ʒ赨赨由ʒ＝，ʒ郈＝ʒ，可得：ʒ，解得赨，ʒ郈赨试卷第6页，总7页,∴数列首项为且公比为正数，即数列为“数列”；（2）设的公比为，存在“数列”�晦灰，对任意正整数，当时，都有成立，郈即对恒成立，当＝时，，当＝ʒ时，ʒʒ，lnlnlnln当，两边取对数可得，ln对有解，即maxlnmin，lnln令�灰赨�灰，则�灰赨，ʒ当时，�灰‴ܽ，此时�灰递减，lnln∴当时，max赨，lnln令�灰赨�灰，则�灰赨，ʒ令�灰＝ln，则�灰赨，ʒ当时，�灰‴ܽ，即�灰‴ܽ，∴�灰在点郈灰上单调递减，lnlnlnln即时，min赨则，lnln下面求解不等式，化简，得ln�灰lnܽ，令�灰＝ln�灰ln，则�灰赨ln，由得，�灰‴ܽ，∴�灰在点郈灰上单调递减，又由于�灰＝lnln＝lnʒlnܽ，�灰＝lnln＝lnʒlnʒ‴ܽ，∴存在ܽ�点灰使得�ܽ灰＝ܽ，∴的最大值为，此时点．的最大值为．．试卷第7页，总7页