【3年中考2年模拟】浙江省2022届中考数学 热点题型 7.1阅读理解题（pdf） 新人教版

第７章专题拓展７．１阅读理解题表中获取解题信息的问题．根据实际问题中所提供的图表信息题型特点的不同方式，图表信息题大致有以下几种类型：图象信息型、图阅读理解型问题，一般篇幅较长，涉及内容丰富，构思新颖形信息型、统计表型等．别致，一般分为两个部分：一是阅读材料，二是考查内容．它要求命题趋势学生根据阅读获取的信息回答问题．提供的阅读材料主要包括：阅读理解题是近几年频频出现在中考试卷中的一类新题一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新的数学公式的型，不仅考查学生的阅读能力，而且综合考查学生的数学意识和推导与应用；二是提供新闻背景材料，甚至是生活背景的一段对数学综合应用能力，尤其是侧重于考查学生的数学思维能力和话；三是提供一份蕴涵丰富信息的图象或者统计图、表格．主要创新意识，此类题目能够帮助考生实现从模仿到创造的思想过要求学生通过阅读这些内容丰富的材料，考查学生的观察能力、程，符合学生的认知规律，其图文并茂，清新悦目的形式也受学读图能力、数据收集能力以及获取信息并处理、加工信息的能生欢迎，是中考的热点题目之一，今后的中考试题有进一步加强力，从而得到通过解题提高能力的目的中收集信息，处理信息，的趋势．以解决现实问题．图表信息题是指从图象、图形、统计图及统计【例】（２０１２·北京）在平面直角坐标系狓犗狔中，对于任意两点犘１（狓１，狔１）与犘２（狓２，狔２）的“非常距离”，给出如下定义：若｜狓１－狓２｜≥｜狔１－狔２｜，则点犘１与点犘２的“非常距离”为｜狓１－狓２｜；若｜狓１－狓２｜＜｜狔１－狔２｜，则点犘１与点犘２的“非常距离”为｜狔１－狔２｜．例如：点犘（１，２），点犘（３，５），因为｜１－３｜＜｜２－５｜，所以（１）（２）１２点犘１与点犘２的“非常距离”为｜２－５｜＝３，也就是图（１）中线段犘１犙与线段犘２犙长度的较大值（点犙为垂直于狔轴的直线犘１犙与垂直于狓轴的直线犘２犙的交点）．（１）已知点犃（－１，０），犅为狔轴上的一个动点，２①若点犃与点犅的“非常距离”为２，写出一个满足条件的点犅的坐标；（３）②直接写出点犃与点犅的“非常距离”的最小值；【命题意图分析】此题是第一次在代数题目中用到了定义（２）已知犆是直线狔＝３狓＋３上的一个动点，新运算，题目很新颖．知识点融合度较高．需要同学们有较强的４阅读理解题目的能力和数形结合能力．计算并不复杂，关键在于①如图（２），点犇的坐标是（０，１），求点犆与点犇的“非常距对于几何图形最值问题的探讨．离”的最小值及相应的点犆的坐标；【解答】（１）①点犅的坐标是（０，２）或（０，－２）．（写出一个②如图（３），犈是以原点犗为圆心，１为半径的圆上的一个动答案即可）点，求点犆与点犈的“非常距离”的最小值及相应的点犈和点犆１的坐标．②点犃与点犅的“非常距离”的最小值是２．求职记（一）小李去应聘一份工作，经理问：“你要求一年多少工资？”“以我的工作能力，年薪一万八千元．”小李答道．经理注视了他一会儿，说：“年薪一万八千元？你计算清楚没有？一年只有３６５天，你每天睡觉花八小时，则一年共花去１２２天．再者，你每天除睡觉外还有八小时是休息及娱乐的，即一年共１２２天．那么，２４３天减去１２２天后，只余下１２１天了．”\n（２）①过点犆作狓轴的垂线，过点犇作狔轴的垂线，两条垂到第一次与⊙犗有公共点，即与⊙犗在第二象限内相切的位置线交于点犕，连结犆犇．如图（４），当点犆在点犇的左上方且使时，切点即为所求点犈．△犆犕犇是等腰直角三角形时，点犆与点犇的“非常距离”最小．作犈犘⊥狓轴于点犘．设直线狔＝３狓＋３与狓轴，狔轴分别交３４理由如下：记此时点犆所在位置的坐标为（狓０，狓０＋３）．当点于点犎、犌．可求得犎犗＝４，犌犗＝３，犌犎＝５．４犆的横坐标大于狓０时，线段犆犕的长度变大，由于点犆与点犇可证△犗犈犘∽△犌犎犗．的“非常距离”是线段犆犕与线段犕犇长度的较大值，所以点犆犗犘犈犘犗犈∴＝＝．与点犇的“非常距离”变大；当点犆的横坐标小于狓０时，线段犌犗犎犗犌犎犕犇的长度变大，点犆与点犇的“非常距离”变大．所以当点犆的∴犗犘＝犈犘＝１．３４５横坐标等于狓０时，点犆与点犇的“非常距离”最小．∴犗犘＝３，犈犘＝４．∵犆犕＝３狓５５０＋３－１，犕犇＝－狓０，犆犕＝犕犇，４３４３∴点犈的坐标是（－，）．∴狓０＋３－１＝－狓０．５５４３８设点犆的坐标为（狓犆，４狓犆＋３）．解得狓０＝－．７∵犆犖＝３狓＋３－４，犖犈＝－３－狓，８１５４犆５５犆∴点犆的坐标是（－，）．７７３４３８∴狓犆＋３－＝－－狓犆．∴犆犕＝犕犇＝．４５５７８８１５解得狓犆＝－５．∴当点犆的坐标是（－，）时，点犆与点犇的“非常７７８９８∴点犆的坐标是（－，）．距离”最小，最小值是．５５７∴犆犖＝犖犈＝１．８９∴当点犆的坐标是（－，），点犈的坐标是５５３４（－，）时，点犆与点犈的“非常距离”最小，最小值是１．５５【方法点拨】本题的考点：平面直角坐标系、一次函数图象与坐标轴的交点、相似形，发现这一点对于同学们更好的理解题（４）（５）意十分重要．②如图（５），对于⊙犗上的每一个给定的点犈，过点犈作狔【误区警示】定义没有弄清楚，尤其是“非常距离”的定义轴的垂线，过点犆作狓轴的垂线，两条垂线交于点犖，连结犆犈．要分情况进行讨论．对数形结合解题不够熟练也是一大难点．本由①可知，当点犆运动到点犈的左上方且使△犆犖犈是等腰直角题关键在于对几何图形最值问题的探讨．对“水平距、铅垂高”的三角形时，点犆与点犈的“非常距离”最小．当点犈在⊙犗上运动对比分析应用．时，求这些最小“非常距离”中的最小值，只需使犆犈的长度最小．３因此，将直线狔＝狓＋３沿图中所示由点犆到点犈的方向平移４２０１２～２０１０年浙江省新题精练一、解答题则犅１犆＝狓＋０．７，犃１犆＝犃犆－犃犃１＝槡２．５２－０．７２－０．４１．（２０１２·浙江绍兴）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目＝２标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索。而犃１犅１＝２．５，在Ｒｔ△犃１犅１犆中，由犅１犆２＋犃１犆２＝【思考题】如图，一架２．５米长的梯子犃犅斜靠在竖直的墙犃犆犃１犅２１得方程，上，这时犅到墙犆的距离为０．７米，如果梯子的顶端沿墙下解方程得狓１＝，狓２＝，滑０．４米，那么点犅将向外移动多少米？∴点犅将向外移动米。（１）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：（２）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：解：设点犅将向外移动狓米，即犅犅１＝狓，【问题一】在“思考题”中，将“下滑０．４米”改为“下滑０．９米”，那么该题的答案会是０．９米吗？为什么？求职记（二）但是，一年有５２个星期，星期天不用上班，因此１２１天减去５２天便只剩下６９天．同时，逢星期六下午是放假的，则一年一共２６天，所以６９天减去２６天余下４３天，再减公司给予的两星期年假，只剩下２９天，别忘了每天有一小时午餐时间，即一年是１５天，用２９减１５余下１４天，再除去十一、元旦、春节、中秋节、清明节、端午节以及五一等等公众假期共１３天，这就是说，一年只工作１天你认为值一万八千元吗？”\n【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从犃处沿墙犃犆下滑（第３题）的距离与点犅向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？（１）判断与推理：请你解答小聪提出的这两个问题。①邻边长分别为２和３的平行四边形是阶准菱形；②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图（２），把犃犅犆犇沿犅犈折叠（点犈在犃犇上），使点犃落在犅犆边上的点犉，得到四边形犃犅犉犈．请证明四边形犃犅犉犈是菱形．（２）操作、探究与计算：（第１题）①已知犃犅犆犇的邻边长分别为１，犪（犪＞１），且是３阶准菱形，请画出犃犅犆犇及裁剪线的示意图，并在图形下２．（２０１２·浙江嘉兴）将△犃犅犆绕点犃按逆时针方向旋转θ度，方写出犪的值；并使各边长变为原来的狀倍，得△犃犅′犆′，即如图（１），②已知犃犅犆犇的邻边长分别为犪，犫（犪＞犫），满足犪＝６犫犃犅′犅′犆′犃犆′∠犅犃犅′＝θ，犃犅＝犅犆＝犃犆＝狀，我们将这种变换记为［θ，＋狉，犫＝５狉，请写出犃犅犆犇是几阶准菱形．狀］．（１）如图（１），对△犃犅犆作变换［６０°，槡３］得△犃犅′犆′，则犛△犃犅′犆′∶犛△犃犅犆＝；直线犅犆与直线犅′犆′所夹的锐角为度；（２）如图（２），△犃犅犆中，∠犅犃犆＝３０°，∠犃犆犅＝９０°，对４．（２０１１·衢州）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现每△犃犅犆作变换［θ，狀］得△犃犅′犆′，使点犅、犆、在同一直线盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，每盆植入３株时，平上，且四边形犃犅犅′犆′为矩形，求θ和狀的值；均单株盈利３元，以同样的栽培条件，若每盆增加１株，平均（３）如图（３），△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，∠犅犃犆＝３６°，犅犆＝１，对单株盈利就减少０．５元，要使每盆的盈利达到１０元，每盆应△犃犅犆作变换［θ，狀］得△犃犅′犆′，使点犅、犆、犅′在同一直该植多少株？线上，且四边形犃犅犅′犆′为平行四边形，求θ和狀的值．小明的解法如下：解：设每盆花苗增加狓株，则每盆花苗有（狓＋３）株，平均单株盈利为（３－０．５狓）元．由题意，得（狓＋３）（３－０．５狓）＝１０，化简，整理得狓２－３狓＋２＝０．解这个方程，得狓１＝１，狓２＝２．（１）（２）故要使每盆的盈利达到１０元，每盆应该植入４株或５株．（１）本题涉及的主要数量有每盆花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利等，请写出两个不同的等量关系：，；（２）请用一种与小明不相同的方法求解上述问题．（３）（第２题）３．（２０１２·浙江宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第狀次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为狀阶准菱形．如图（１）犃犅犆犇中，若犃犅＝１，犅犆＝５．（２０１０·台州）类比学习：一动点沿着数轴向右平移３个单位，２，则犃犅犆犇为１阶准菱形．再向左平移２个单位，相当于向右平移１个单位．用实数加法表示为３＋（－２）＝１．若坐标平面上的点作如下平移：沿狓轴方向平移的数量为犪（向右为正，向左为负，平移｜犪｜个单位），沿狔轴方向平移的数（１）（２）量为犫（向上为正，向下为负，平移｜犫｜个单位），则把有序数对学习数学需要一丝不苟（一）我们常听到同学说：“老师，我这题只错了一个符号，怎么算全错？”或者说：“小数点错了一位，为什么扣那么多分？”看来，许多同学对数学学科的特点之一———准确性是缺乏足够的认识的．一篇作文，主题明确，中心突出，构思严谨，文字优美，虽说有一两个错别字，是缺点，但也无伤大雅，仍不失为一篇好文章．数学则不然，不仅解题思路要正确，具体解题过程也不能出错，差之毫厘，往往失之千里．\n｛犪，犫｝叫做这一平移的“平移量”；“平移量”｛犪，犫｝与“平移量”｛犮，犱｝的加法运算法则为｛犪，犫｝＋｛犮，犱｝＝｛犪＋犮，犫＋犱｝．解决问题：（１）计算：｛３，１｝＋｛１，２｝；｛１，２｝＋｛３，１｝；（２）①动点犘从坐标原点犗出发，先按照“平移量”｛３，１｝平移到点犃，再按照“平移量”｛１，２｝平移到点犅；若先把动点犘按照“平移量”｛１，２｝平移到点犆，再按照“平移量”｛３，１｝平移，最后的位置还是点犅吗？在图（１）中画出四边形犗犃犅犆；（１）（２）②证明：四边形犗犃犅犆是平行四边形．（第５题）（３）如图（２），一艘船从码头犗出发，先航行到湖心岛码头犘（２，３），再从码头犘航行到码头犙（５，５），最后回到出发点犗．请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．２０１２～２０１０年全国新题精练一、选择题，如２的差倒数是１狓的差倒数＝－１，－１的差倒数为１．（２０１２·甘肃兰州）如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么獉獉獉１－２此扇形称为“等边扇形”，则半径为２的“等边扇形”的面积为１＝１，现已知狓１，狓是狓的差倒数，狓是１＝－２１３１－（－１）２３（）．狓２的差倒数，狓４是狓３的差倒数，……，依次类推，则狓２０１２＝Ａ．πＢ．１．２πＣ．２Ｄ．３７．（２０１２·浙江台州）请你规定一种适合任意非零实数犪，犫的新２．（２０１２·山东菏泽）将４个数排成２行、２列，两边各加一条竖运算“犪!犫”，使得下列算式成立：犪犫犪犫１!２＝２!１＝３，（－３）!（－４）＝（－４）!（－３）＝－７，直线记成，定义＝犪犱－犫犮，上述记号就叫做二６犮犱犮犱４狓＋１１－狓（－３）!５＝５!（－３）＝－，…阶行列式．若＝８，则狓的值是（）．１５１－狓狓＋１你规定的新运算犪!犫＝（用犪，犫的一个代数式表Ａ．１Ｂ．２示）．Ｃ．－１Ｄ．－２８．（２０１１·湖北黄石）初三年级某班有５４名学生，所在教室有３．（２０１２·山东滨州）求１＋２＋２２＋２３＋…＋２２０１２的值，可令犛６行９列座位，用（犿，狀）表示第犿行第狀列的座位，新学期准＝１＋２＋２２＋２３＋…＋２２０１２，则２犛＝２＋２２＋２３＋２４＋…＋备调整座位，设某个学生原来的座位为（犿，狀），如果调整后的２２０１３，因此２犛－犛＝２２０１３－１．仿照以上推理，计算出１＋５＋５２座位为（犻，犼），则称该生作了平移［犪，犫］＝［犿－犻，狀－犼］，并称＋５３＋…＋５２０１２的值为（）．犪＋犫为该生的位置数．若某生的位置数为１０，则当犿＋狀取最２０１２２０１３Ａ．５－１Ｂ．５－１小值时，犿·狀的最大值为．２０１３２０１２５－１５－１Ｃ．Ｄ．三、解答题４４４．（２０１１·安徽安庆）如图所示，顶角为３６°的等腰９．（２０１２·福建厦门）如图，在平面直角坐标系中，已知点犃（２，三角形，其底边与腰之比等于犽，这样的三角形３）、犅（６，３），连结犃犅．如果点犘在直线狔＝狓－１上，且点犘叫黄金三角形，△犅犆犇为第二个黄金三角形，到直线犃犅的距离小于１，那么称点犘是线段犃犅的“邻近△犆犇犈为第三个黄金三角形，以此类推，第２点”．０１０个黄金三角形的周长为（）．７５（１）判断点犆（，）是否是线段犃犅的“邻近点”，并说明理由；２００９２０１０２２Ａ．犽Ｂ．犽（２）若点犙（犿，狀）是线段犃犅的“邻近点”，求犿的取值范围．２００９Ｃ．犽Ｄ．犽２００９（２＋犽）（第４题）２＋犽二、填空题５．（２０１２·湖南常德）规定用符号［犿］表示一个实数犿的整数部分，例如：［２］＝０，［３．１４］＝３．按此规定［槡１０＋１］的值为３．１６．（２０１２·四川自贡）若狓是不等于１的实数，我们把称为１－狓（第９题）学习数学需要一丝不苟（二）以前，医生常推荐儿童和康复的病人多吃菠菜，据说它含有大量的铁质，有养血、补血的功能．可是，约八九年前，前联邦德国弗里堡大学化学专家劳尔赫在研究化肥对蔬菜的有害作用时，发现菠菜的实际含铁量并不像宣传的那样高，而只有各种教材和手册中所规定数据的十分之一！劳尔赫感到很诧异，便进一步对多种菠菜叶子反复进行分析化验，从未发现菠菜含铁量比别的蔬菜特别高的情况．于是他探索有关菠菜含铁量高的“神话”是从哪里来．原来是近百年以前，印刷厂在排版时，把菠菜的含铁量的小数点向右错点了一位，从而使数据扩大了十倍．\n１０．（２０１２·湖北荆门）新定义：［犪，犫］为一次函数狔＝犪狓＋犫（犪≠１３．（２０１２·湖北恩施州）如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正０，犪，犫为实数）的“关联数”．若“关联数”［１，犿－２］的一次函方的纸片犃犅犆犇，先折出犅犆的中点犈，再折出线段犃犈，然１１后通过折叠使犈犅落到线段犈犃上，折出点犅的新位置犅′，数是正比例函数，求关于狓的方程＋＝１的解．狓－１犿因而犈犅′＝犈犅．类似地，在犃犅上折出点犅″，使犃犅″＝犃犅′．这个点犅″就是犃犅的黄金分割点．请你证明这个结论．１１．（２０１２·贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形犃犅犆中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ｃｔａｎα，即ｃｔａｎα＝（第１３题）邻边犃犆对边＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：犅犆（１）ｃｔａｎ３０°＝；（２）如图，已知ｔａｎ犃＝３，其中∠犃为锐角，试求ｃｔａｎ犃的值．４１４．（２０１２·广东湛江）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：解一元二次不等式狓２－４＞０．解：∵狓２－４＝（狓＋２）（狓－２），（第１１题）２∴狓－４＞０可化为（狓＋２）（狓－２）＞０．由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得狓＋２＞０，①｛．狓－２＞０狓＋２＜０，②解不等式组①，得狓＞２；１２．（２０１２·广东珠海）观察下列等式：｛狓－２＜０；１２×２３１＝１３２×２１，解不等式组②，得狓＜－２．１３×３４１＝１４３×３１，∴（狓＋２）（狓－２）＞０的解集为狓＞２或狓＜－２．２３×３５２＝２５３×３２，即一元二次不等式狓２－４＞０的解集为狓＞２或狓＜－２．３４×４７３＝３７４×４３，（１）一元二次不等式狓２－１６＞０的解集为；６２×２８６＝６８２×２６，狓－１……（２）分式不等式＞０的解集为；狓－３以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成（３）解一元二次不等式２狓２－３狓＜０．两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（１）根据上述各式反映的规律填空，使式子为“数字对称等式”：①５２×＝×２５；②×３９６＝６９３×．（２）设这类等式左边两位数的十位数字为犪，个位数字为犫，且２≤犪＋犫≤９，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含犪、犫），并证明．学习数学需要一丝不苟（三）１９６２年，美国发射了一艘飞往金星的“航行者一号”太空飞船．根据预测，飞船起飞４４分钟后，９８００个太阳能装置会自动开始工作，８０天后电脑完成对航向的矫正工作；１００天后，飞船就可以环绕金星航行，开始拍照．然而，出人意料的是飞船起飞不到四分钟，就一头栽进大西洋里了．后来经过详细调查，发现在把资料输入电脑时，有一个数据前面的负号给漏掉了，这样，原来的负数变成了正数，使整个飞船的计划就失败了．一个小小的负号，使美国航天局白白耗费了一千万美元、大量的人力和时间．\n１５．（２０１２·福建泉州）在△犃犅犆中，犘是犃犅上的动点（犘异于１７．（２０１２·安徽安庆一模）先阅读下列材料，再解答后面的问题：点犃、犅），过点犘的直线截△犃犅犆，使截得的三角形与材料：我们规定，若犪狀＝犫（犪＞０且犪≠１，犫＞０），则狀叫做以犪△犃犅犆相似，我们不妨称这种直线为过点犘的△犃犅犆的相为底犫的对数，记为ｌｏｇ犪犫（即ｌｏｇ犪犫＝狀）．如３４＝８１，则４叫做似线，简记为犘（犾狓），（狓为自然数）．以３为底８１的对数，记为ｌｏｇ８３１（即ｌｏｇ８３１＝４）问题：（１）如图（１），∠犃＝９０°，∠犅＝∠犆，当犅犘＝２犘犃时，犘（犾１）、（１）计算以下各对数的值：ｌｏｇ２４＝，ｌｏｇ２１６＝，犘（犾２）都是过点犘的△犃犅犆的相似线（其中犾１⊥犅犆，犾２∥ｌｏｇ２６４＝；獉獉犃犆），此外还有条．（２）观察上式，判断ｌｏｇ２４，ｌｏｇ２１６，ｌｏｇ２６４之间有什么关系？犅犘（３）猜想一般性的结论：ｌｏｇ犪（犕犖）＝（犪＞０且犪≠（２）如图（２），∠犆＝９０°，∠犅＝３０°，当＝时，犘狀犿狀＋犿犅犃１，犕＞０，犖＞０），并根据幂的运算法则：犪·犪＝犪和（犾狓）截得的三角形面积为△犃犅犆面积的１．上述定义证明你的猜想．４（１）（２）（第１５题）１８．（２０１１·四川凉山州）如图，抛物线与狓轴交于犃（狓１，０）、犅（狓２，０）两点，且狓１＜狓２，与狔轴交于点犆（０，－４），其中狓１，２狓２是方程狓－４狓－１２＝０的两个根．１６．（２０１２·湖北襄阳）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关（１）求抛物线的解析式；文件要求，某市结合地方实际，决定从２０１２年５月１日起对（２）点犕是线段犃犅上的一个动点，过点犕作犕犖∥犅犆，交居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：犃犆于点犖，连结犆犕，当△犆犕犖的面积最大时，求点犕一户居民一个月用的坐标；电费价格（单位：元／千瓦时）电量的范围（３）点犇（４，犽）在（１）中抛物线上，点犈为抛物线上一动点，在不超过１５０千瓦时犪狓轴上是否存在点犉，使以犃、犇、犈、犉为顶点的四边形是超过１５０千瓦时但不超平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点犉的坐过３００千瓦时的部分犫标；若不存在，请说明理由．超过３００千瓦的部分犪＋０．３２０１２年５月份，该市居民甲用电１００千瓦时，缴电费６０元；居民乙用电２００千瓦时，缴电费１２２．５元．该市一户居民在２０１２年５月以后，某月用电狓千瓦时，当月缴电费狔元．（１）上表中，犪＝；犫＝；（２）请直接写出狔与狓之间的函数关系式；（第１８题）（３）试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时时，其当月的平均电价每千瓦时不超过０．６２元？学习数学需要一丝不苟（四）牛顿曾经说过：“在数学中，最微小的误差也不能忽略．”我们平时学习数学，就应该有这种谨慎细心、一丝不苟的态度，严格要求自己，今后参加工作才能有对人民、对事业高度负责的精神．\n１９．（２０１１·江苏苏州）如图（１），小慧同学把一个正三角形纸片２０．（２０１１·江西）如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上（即△犗犃犅）放在直线犾１上，边犗犃与直线犾１重合，然后将三距地面２．９０ｍ的顶灯．已知梯子由两个相同的矩形面组成，角形纸片绕着顶点犃按顺时针方向旋转１２０°，此时点犗运每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨动到了点犗１处，点犅运动到了点犅１处；小慧又将三角形纸度为１ｍ．矩形面与地面所成的角α为７８°．李师傅的身高为片犃犗１犅１绕点犅１按顺时针方向旋转１２０°，点犃运动到了１．７８ｍ，当他攀升到头顶距天花板０．０５～０．２０ｍ时，安装起点犃１处，点犗１运动到了点犗２处（即顶点犗经过上述两次来比较方便．他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你旋转到达犗２处）．通过计算判断他安装是否比较方便？小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点犗运（参考数据：ｓｉｎ７８°≈０．９８，ｃｏｓ７８°≈０．２１，ｔａｎ７８°≈４．７０）动所形成的图形是两段圆弧，即弧犗犗１和弧犗１犗２，顶点犗所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两段圆弧与直线犾１围成的图形面积等于扇形犃犗犗１的面积、△犃犗１犅１的面积和扇形犅１犗１犗２的面积之和．小慧进行类比研究：如图（２），她把边长为１的正方形纸片犗犃犅犆放在直线犾２上，边犗犃与直线犾２重合，然后将正方形纸片绕着顶点犃按顺时针方向旋转９０°，此时点犗运动到了点犗１处（即点犅处），点犆运动到了点犆１处，点犅运动到了（第２０题）点犅１处；小慧又将正方形纸片犃犗１犆１犅１绕点犅１按顺时针方向旋转９０°……按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：问题（１）：若正方形纸片犗犃犅犆按上述方法经过３次旋转，２１．（２０１１·广东佛山）我们经常通过认识一个事物的局部或其求顶点犗经过的路程，并求顶点犗在此运动过程中所形成特殊类型，来逐步认识这个事物．比如我们通过学习两类特的图形与直线犾２围成图形的面积；若正方形犗犃犅犆按上述殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类方法经过５次旋转，求顶点犗经过的路程；型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形．问题（２）：正方形纸片犗犃犅犆按上述方法经过多少次旋转，我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，４１＋２０槡２再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩顶点犗经过的路程是π？２固所学知识．请你解答上述两个问题．请解决以下问题：如图，我们把满足犃犅＝犃犇、犆犅＝犆犇且犃犅≠犅犆的四边形犃犅犆犇叫做“筝形”．（１）写出筝形的两个性质（定义除外）；（２）写出筝形的两个判定方法（定义除外）并选出一个进行证明．（１）（２）（第１９题）（第２１题）（备用图）许宝禄许宝禄（１９１０～１９７０），北京人．其兄许宝驹、许宝!均为专家，姐夫俞平伯是著名的文学家．他文学修养很深，用语、写作都很精炼、准确．入清华大学数学系学习时，老师有熊庆来、孙光远、杨武之等，一起学习的有华罗庚、柯召等人．主要研究是内曼·皮尔逊理论、多元统计分析、概率论、组合数学等领域．许宝禄被公认为在数理统计和概率论方面是第一个具有国际声望的中国数学家．许宝禄还被世界公认为多元统计分析的奠基人之一．许宝禄的相片悬挂在斯坦福大学统计系的走廊上，与世界著名的统计学家并列．\n第７章专题拓展７．１阅读理解题作，所剩四边形是边长为１的菱形，［２０１２～２０１０年浙江省新题精练］故邻边长分别为２和３的平行四边形是２阶准菱形；故答１．（１）（狓＋０．７）２＋２２＝２．５２０．８－２．２（舍去）０．８．案为２．（２）①不会是０．９米，理由如下：②由折叠知：∠犃犅犈＝∠犉犅犈，犃犅＝犅犉，若犃犃１＝犅犅１＝０．９，则犃１犆＝２．４－０．９＝１．５，∵四边形犃犅犆犇是平行四边形，犅２２２∴犃犈∥犅犉．１犆＝０．７＋０．９＝１．６，１．５＋１．６＝４．８１，２．５＝６．２５，∵犅１犆２＋犃１犆２≠犃１犅２１，∴∠犃犈犅＝∠犉犅犈．∴该题的答案不会是０．９米．∴∠犃犈犅＝∠犃犅犈．∴犃犈＝犃犅．②有可能．理由如下：设梯子顶端从犃处下滑狓米，点犅向外也移动狓米，∴犃犈＝犅犉．则有（狓＋０．７）２＋（２．４－狓）２＝２．５２，∴四边形犃犅犉犈是平行四边形．解得：狓＝１．７或狓＝０（舍去）．∴四边形犃犅犉犈是菱形．所以当梯子顶端从犃处下滑１．７米时，点犅向外也移动（２）①如图（１）所示：１．７米，即梯子顶端从犃处沿墙犃犆下滑的距离与点犅向外移动的距离有可能相等．２．（１）３６０°．（２）∵四边形犃犅犅′犆′是矩形，∴∠犅犃犆′＝９０°．∴θ＝∠犆犃犆′＝∠犅犃犆′－∠犅犃犆＝９０°－３０°＝６０°．在Ｒｔ△犃犅犅′中，∠犃犅犅′＝９０°，∠犅犃犅′＝６０°，犃犅′∴狀＝＝２．犃犌（３）∵四边形犃犅犅′犆′是平行四边形，（第３题（１））∴犃犆′∥犅犅′．②∵犪＝６犫＋狉，犫＝５狉，又∠犅犃犆＝３６°，∴犪＝６×５狉＋狉＝３１狉．∴θ＝∠犆犃犆′＝∠犃犆犅＝７２°．如图（２）所示：∴∠犆′犃犅′＝∠犃犅犅′＝∠犅犃犆＝３６°，而∠犅＝∠犅．∴△犃犅犆∽△犅′犅犃．∴犃犅２＝犆犅·犅′犅＝犆犅·（犅犆＋犆犅′）．而犆犅′＝犃犆＝犃犅＝犅′犆′，犅犆＝１，（第３题（２））∴犃犅２＝１·（１＋犃犅）．故犃犅犆犇是１０阶准菱形．１±槡５４．（１）平均单株盈利×株数＝每盆盈利∴犃犅＝２．平均单株盈利＝３－０．５×每盆增加的株数∵犃犅＞０，（２）（列分式方程）：犅′犆′１＋槡５设每盆花苗增加狓株时，每盆盈利１０元，根据题意，得∴狀＝＝．犅犆２１０＝３－０．５狓，３．（１）①利用邻边长分别为２和３的平行四边形进过两次操狓＋３\n解这个方程得狓１＝１，狓２＝２，∴犆（７，５）到线段犃犅的距离是３－５．经检验，狓１＝１，狓２＝２都是所列方程的解，２２２故要使每盆的盈利达到１０元，每盆应该植入４或５株．５１∵３－＝＜１，５．（１）｛３，１｝＋｛１，２｝＝｛４，３｝，｛１，２｝＋｛３，１｝＝｛４，３｝．２２（２）①画图，最后的位置仍是犅．∴犆（７，５）是线段犃犅的“邻近点”．２２（２）∵点犙（犿，狀）是线段犃犅的“邻近点”，∴点犙（犿，狀）在直线狔＝狓－１上．∴狀＝犿－１．有狀＝犿－１≥３．又犃犅∥狓轴，∴此时点犙（犿，狀）到线段犃犅的距离是狀－３．∴０≤狀－３＜１．∴４≤犿＜５．②当犿≤４时，有狀＝犿－１≤３．又犃犅∥狓轴，（第５题）∴此时点犙（犿，狀）到线段犃犅的距离是３－狀．②由①知，犃（３，１），犅（４，３），犆（１，２），∴０≤３－狀＜１．∴犗犆＝犃犅＝槡１２＋２２＝槡５，犗犃＝犅犆＝槡３２＋１２＝∴３＜犿≤４．综上所述，３＜犿＜５．槡１０．１０．根据题意可得：狔＝狓＋犿－２，∴四边形犗犃犅犆是平行四边形．∵“关联数”［１，犿－２］的一次函数是正比例函数，（３）｛２，３｝＋｛３，２｝＋｛－５，－５｝＝｛０，０｝．∴犿－２＝０，解得：犿＝２．［２０１２～２０１０年全国新题精练］１１１１则关于狓的方程＋＝１变为＋＝１，解得１狓－１犿狓－１２１．Ｃ［解析］设扇形的半径为狉．根据弧长公式得犛＝狉犾＝２狓＝３．１检验：把狓＝３代入最简公分母２（狓－１）＝４≠０，故狓＝３２×２×２＝２．是原分式方程的解．狓＋１１－狓１１．（１）∵Ｒｔ△犃犅犆中，α＝３０°，２．Ｂ［解析］根据题意化简＝８，得：（狓＋１）２１－狓狓＋１１∴犅犆＝犃犅．－（１－狓）２＝８，２整理得：狓２＋２狓＋１－（１－２狓＋狓２）＝８，１槡３∴犃犆＝槡犃犅２－犅犆２＝犃犅２－犃犅２＝犃犅．即４狓＝８，槡４２解得：狓＝２．犃犆∴犮ｔａｎ３０°＝＝槡３．３．Ｃ［解析］设犛＝１＋５＋５２＋５３＋…＋５２０１２，则５犛＝５＋５２犅犆＋５３＋５４＋…＋５２０１３，（２）∵ｔａｎ犃＝３，因此，５犛－犛＝５２０１３－１，４５２０１３－１∴设犅犆＝３，犃犆＝４，则犃犅＝５．犛＝４．犃犆４∴犮ｔａｎ犃＝＝．犅犆３４．Ｄ［解析］依题意犃犅＝犃犆＝１，则犅犆＝犽，此时△犃犅犆周长为犽＋２；又犇犆＝犽得犇犆＝犽２，此时△犅犆犇周长为犽２＋犅犆２犽，又犇犈＝犽，得犇犈＝犽３，此时△犆犇犈周长为犽３＋２犽２，犆犇……依此类推，知第２０１０个黄金三角形周长为犽２００９（２＋犽）．（第１１题）５．４［解析］先确定槡１０的近似值，然后确定槡１０＋１的整１２．（１）①２７５５７２，②６３３６数部分．（２）（１０犪＋犫）［１００犫＋１０（犪＋犫）＋犪］＝［１００犪＋１０（犪＋犫）６．３［解析］狓２＝３，狓３＝４，狓４＝－１，规律是按３的倍＋犫］（１０犫＋犪）４４３证明：左边＝（１０犪＋犫）（１１０犫＋１１犪）＝１１（１０犪＋犫）（１０犫＋数循环．犪）７．２犪＋２犫［解析］给出的三个特例均符合２犪＋２犫，可由特殊右边＝（１１０犪＋１１犫）（１０犫＋犪）＝１１（１０犪＋犫）（１０犫＋犪）犪犫犪犫所以左边＝右边．总结一般性．１３．设正方形犃犅犆犇的边长为２．８．３６［解析］依题意知犿＋狀－（犻＋犼）＝１０，又犻，犼均为正整∴犈为犅犆的中点，数，所以犿＋狀的最小值为１２．又犿＋狀≥２槡犿狀，得犿狀≤∴犅犈＝１．犿＋狀２１２２∴犃犈＝槡犃犅２＋犅犈２＝槡５．（２）＝４＝３６．又犅′犈＝犅犈＝１，７５９．（１）点犆（２，２）是线段犃犅的“邻近点”．∴犃犅′＝犃犈－犅′犈＝槡５－１．７５∵犃犅″：犃犅＝（槡５－１）∶２，∵－１＝，２２∴犃犅″∶犃犅＝（槡５－１）∶２．∴点犆（７，５）在直线狔＝狓－１上．∴点犅″是线段犃犅的黄金分割点．２２∵点犃的纵坐标与点犅的纵坐标相同，∴犃犅∥狓轴．\n∴抛物线的解析式为狔＝１狓２－４狓－４．３３（２）设点犕的坐标为（犿，０），过点犖作犖犎⊥狓轴于点犎（如图（１））．（第１３题）２１４．（１）∵狓－１６＝（狓＋４）（狓－４），２∴狓－１６＞０可化为（狓＋４）（狓－４）＞０．由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得狓＋４＞０，狓＋４＜０，｛，或｛狓－４＞０狓－４＜０．解不等式组①，得狓＞４；（第１８题（１））解不等式组②，得狓＜－４．∵点犃的坐标为（－２，０），点犅的坐标为（６，０），∴（狓＋４）（狓－４）＞０的解集为狓＞４或狓＜－４，∴犃犅＝８，犃犕＝犿＋２．即一元二次不等式狓２－１６＞０的解集为狓＞４或狓＜－４．∵犕犖∥犅犆，狓－１∴△犃犕犖∽△犃犅犆．（２）∵狓－３＞０，犖犎犃犕∴＝．狓－１＞０，狓－１＜０，犆犗犃犅∴｛狓－３＞０，或｛狓－３＜０．犖犎犿＋２∴＝．解得狓＞３或狓＜１４８（３）∵２狓２－３狓＝狓（２狓－３），∴犖犎＝犿＋２．２２∴２狓－３狓＜０可化为狓（２狓－３）＜０．∴犛△犆犕犖＝犛△犃犆犕－犛△犃犕犖由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得１１狓＞０，狓＜０，＝·犃犕·犆犗－犃犕·犖犎｛，或｛２２２狓－３＜０２狓－３＞０．１犿＋２解不等式组①，得０＜狓＜３；＝２（犿＋２）（４－２）２＝－１犿２＋犿＋３解不等式组②，无解．４∴不等式２狓２－３狓＜０的解集为０＜狓＜３．１２＝－（犿－２）２＋４．４１３槡３∴当犿＝２时，犛△犆犕犖有最大值４．１５．（１）１（２）．２４４此时，点犕的坐标为（２，０）．１６．（１）犪＝０．６；犫＝０．６５．１４（２）当狓≤１５０时，狔＝０．６狓．（３）∵点犇（４，犽）在抛物线狔＝狓２－狓－４上，３３当１５０＜狓≤３００时，狔＝０．６５狓－７．５．∴当狓＝４时，犽＝－４．当狓＞３００时，狔＝０．９狓－８２．５．∴点犇的坐标是（４，－４）．（３）当居民月用电量狓≤１５０时，如图（２），当犃犉为平行四边形的边时，犃犉瓛犇犈，０．６狓≤０．６２狓，故狓≥０．当居民月用电量狓满足１５０＜狓≤３００时，０．６５狓－７．５≤０．６２狓，解得狓≤２５０．当居民月用电量狓满足狓＞３００时，９０．９狓－８２．５≤０．６２狓，解得狓≤２９４．１４综上所述，试行“阶梯电价”后，该市一户居民月用电量不超过２５０千瓦时时，其月平均电价每千瓦时不超过０．６２元．１７．（１）ｌｏｇ２４＝２，ｌｏｇ２１６＝４，ｌｏｇ２６４＝６．（２）ｌｏｇ２４＋ｌｏｇ２１６＝ｌｏｇ２６４．（３）ｌｏｇ犪（犕犖）＝ｌｏｇ犪犕＋ｌｏｇ犪犖．（第１８题（２））证明：设ｌｏｇ犪犕＝犫１，ｌｏｇ犪犖＝犫２．∵犇（４，－４），则犪犫１＝犕，犪犫２＝犖．∴犈（０，－４），犇犈＝４．∴犕犖＝犪犫１·犪犫２＝犪犫１＋犫２．∴犉１（－６，０），犉２（２，０）．∴犫１＋犫２＝ｌｏｇ犪（犕犖）．如图（３），当犃犉为平行四边形的对角线时，设犉（狀，０），即ｌｏｇ犪犕＋ｌｏｇ犪犖＝ｌｏｇ犪（犕犖）．１８．（１）∵狓２－４狓－１２＝０，∴狓１＝－２，狓２＝６．∴犃（－２，０），犅（６，０）．又抛物线过点犃、犅、犆，故设抛物线的解析式为狔＝犪（狓１＋２）（狓－６），将点犆的坐标代入，求得犪＝．３\n（第１８题（３））狀－２（第２０题）则平行四边形的对称中心为（２，０）．１．００７＋１．７８＝２．７８７．∴犈′的坐标为（狀－６，４）．头顶与天花板的距离约为：２．９０－２．７８７＝０．１１．把犈′（狀－６，４）代入狔＝１２４∵０．０５＜０．１１＜０．２０，狓－狓－４，３３∴他安装比较方便．得狀２－１６狀＋３６＝０．２１．（１）性质有如下参考选项：解得狀＝８±２槡７．性质１：只有一组对角相等（或者∠犅＝∠犇，∠犃≠∠犆）；性质２：只有一条对角线平分对角；∴犉３（８－２槡７，０），犉４（８＋２槡７，０）．性质３：两条对角线互相垂直，其中只有一条被另一条１９．问题（１）：如图，正方形纸片犗犃犅犆经过３次旋转，顶点犗平分；运动所形成的图形是三段弧，即弧犗犗１、弧犗１犗２以及弧性质４：两组对边都不平行．犗２犗３，（２）判定方法的条件有多种，给出如下参考选项：判定方法１：只有一条对角线平分对角的四边形是筝形；判定方法２：两条对角线互相垂直且只有一条被平分的四边形是筝形；判断方法１的证明：（第１９题）已知：四边形犃犅犆犇中，对角线犃犆平分∠犃和∠犆，对角所以顶点犗运动过程中经过的路程为线犅犇不平分∠犅和∠犇．求证：四边形犃犅犆犇为筝形．９０·π·１９０·π·槡２槡２证明如下：∵∠犅犃犆＝∠犇犃犆，∠犅犆犃＝∠犇犆犃，犃犆＝１８０×２＋１８０＝（１＋２）π，犃犆．顶点犗在此运动过程中所形成的图形与直线犾２围成图∴△犃犆犇≌△犃犇犆．形的面积为∴犃犅＝犃犇，犆犇＝犆犇．２２易知犃犆⊥犅犇．９０·π·１９０·π·（槡２）１×２＋＋２××１×１＝１＋π．又∵∠犃犅犇≠∠犆犅犇，３６０３６０２正方形犗犃犅犆经过５次旋转，顶点犗经过的路程为∴∠犅犃犆≠∠犅犆犃．∴犃犅≠犅犆．９０·π·１９０·π·槡２３槡２×３＋＝（＋）π．由①、②知四边形犃犅犆犇为筝形．１８０１８０２２判定方法２的证明：问题（２）：∵正方形犗犃犅犆经过４次旋转，顶点犗经过已知：犃犆⊥犅犇交于点犈，且犅犈＝犇犈．的路程为犃犈≠犆犈，求证：四边形犃犅犆犇为筝形．９０·π·１×２＋９０·π·槡２＝（１＋槡２）π，证明如下：∵犃犆⊥犅犇，１８０１８０２∴∠犃犈犅＝∠犃犈犗．４１＋２０槡２槡２１又犅犈＝犇犈，犃犈＝犃犈，∴π＝２０×（１＋）π＋π．２２２∴△犃犅犈≌△犃犇犈．∴正方形纸片犗犃犅犆经过了８１次旋转．∴犃犅＝犃犇．２０．过点犃作犃犈⊥犅犆于点犈，过点犇作犇犉⊥犅犆于点犉．同理可证犅犆＝犆犇．∵犃犅＝犃犆，又犃犈≠犆犈，∴犆犈＝犅犈＝０．５．犃犈⊥犅犆．易知犃犅≠犅犆．在Ｒｔ△犃犈犆和Ｒｔ△犇犉犆中，∴四边形犃犅犆犇为筝形．犃犈∵ｔａｎ７８°＝，犈犆∴犃犈＝犈犆×ｔａｎ７８°≈０．５×４．７０＝２．３５．犃犈犇犉又ｓｉｎα＝＝，犃犆犇犆犇犉＝犇犆·犃犈＝３×犃犈≈１．００７．犃犆７李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为：