【3年中考2年模拟】浙江省2022届中考数学 热点题型 7.2实验操作题（pdf） 新人教版

７．２实验操作题题型特点规律的发现过程，亲自体验问题情境，研究问题情趣，感悟数学实验操作题是指通过具体动手操作对某种现象获得感性认奥妙是这类问题存在的空间．识，再利用数学知识进行思考、探索和解决的一类问题，这类问命题趋势题具有较强实践性与思维性，能够有效考查学生的实践能力、创实验操作题能更好地促进学生对数学的理解，帮助他们提新意识和直觉思维能力、发散思维能力等综合素质．高用数学的语言、符号进行表达交流的能力．学生经历“数学化”实验操作题就其操作过程的形式而言，有折叠与剪拼、平移和“再创造”的过程，能不断提高自己的创新意识和综合能力，近与旋转等多种变换操作．在操作中观察、探索、发现，手脑并用是年来备受中考命题者的青睐．这类题的基本特征，让学生在动手做的过程中体验数学结论与【例】（２０１２·甘肃兰州）如图（１），矩形纸片犃犅犆犇，把它（２）等腰三角形．沿对角线犅犇向上折叠．证明：∵△犅犇犈是△犅犇犆沿犅犇折叠而成的，（１）在图（２）中用实线画出折叠后得到的图形；（要求尺规作∴△犅犇犈≌△犅犇犆．图，保留作图痕迹，不写作法）∴∠犉犇犅＝∠犆犇犅．（２）折叠后重合部分是什么图形？说明理由．∵四边形犃犅犆犇是矩形，∴犃犅∥犆犇．∴∠犃犅犇＝∠犅犇犆．∴∠犉犇犅＝∠犃犅犇．∴△犅犇犉是等腰三角形．【命题意图分析】实际问题中通过动手操作，实验得出结论，可以培养创新意识，提高学生的自主学习能力．本题通过翻折变换（折叠问题）得出全等形，最终判断出△犅犇犉是等腰三角形．【解答】（１）做法参考：方法１：作∠犅犇犌＝∠犅犇犆，在射线犇犌上截取犇犈＝犇犆，连结犅犈；【方法点拨】（１）根据折叠的性质，可以作∠犅犇犉＝方法２：作∠犇犅犎＝∠犇犅犆，在射线犅犎上截取犅犈＝犅犆，∠犅犇犆，∠犈犅犇＝∠犆犅犇，则可求得折叠后的图形．连结犇犈；（２）由折叠的性质，易得∠犉犇犅＝∠犆犇犅，又由四边形犃犅方法３：作∠犅犇犌＝∠犅犇犆，过点犅作犅犎⊥犇犌，垂足为犈；犆犇是矩形，可得犃犅∥犆犇，即可证得∠犉犇犅＝∠犉犅犇，即可证得方法４：作∠犇犅犎＝∠犇犅犆，过点犇作犇犌⊥犅犎，垂足为犈；△犉犅犇是等腰三角形．方法５：分别以犇、犅为圆心，犇犆、犅犆的长为半径画弧，两弧【误区警示】此题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定，交于点犈，连结犇犈、犅犈．（做法合理均可得分）折叠的性质以及尺规作图，要注意数形结合思想的应用．折叠后∴△犇犈犅为所求做的图形．两图形完全重合，所以是全等形．陈省身数学奖陈省身数学奖为我国数学界最高奖，授予做出突出数学成就的我国数学工作者，以中青年为主．从１９８７年开始，每年颁发一次，奖金额为人民币１万元，由香港亿利达工业发展集团有限公司提供．陈省身数学奖评选委员会主任与委员都是知名数学家．根据陈省身数学奖奖励条例，得奖人限于在国内从事数学研究或数学工作的数学工作者，对数学的基础理论或应用研究做出了主要的创造性贡献．各研究单位、高等院校、全国性学术团体或由五名教授联名均可推荐报奖人．\n２０１２～２０１０年浙江省新题精练一、选择题三、解答题１．（２０１１·杭州）正方形纸片折一次，沿折痕剪开，能剪得的图形５．（２０１２·浙江省温州）如图，在方格纸中，的三个顶点及犃、犅、是（）．犆、犇、犈五个点都在小方格的顶点上。现以犃、犅、犆、犇、犈中Ａ．锐角三角形Ｂ．钝角三角形的三个点为顶点画三角形。Ｃ．梯形Ｄ．菱形（１）在图甲中画出一个三角形与△犘犙犚全等；（２）在图乙中画出一个三角形与△犘犙犚面积相等但不全等．獉獉獉（甲）（第１题）（第２题）２．（２０１０·宁波）骰子是一种特殊的数字立方体（如图），它符合规则：相对两面的点数之和总是７，下面四幅图中可以折成符合规则的骰子的是（）．（乙）（第５题）６．（２０１２·浙江衢州）课本中，把长与宽之比为槡２的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：（１）将一张标准纸犃犅犆犇（犃犅＜犅犆）对开，如图（１）所示，所得的矩形纸片犃犅犈犉是标准纸．请给予证明．（２）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片犃犅犆犇（犃犅３．（２０１０·温州）用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个＜犅犆）进行如下操作：梯形（提供的火柴棒全部用完），下列根数的火柴棒不能围成第一步：沿过犃点的直线折叠，使犅点落在犃犇边上点犉梯形的是（）．处，折痕为犃犈（如图（２）甲）；第二步：沿过犇点的直线折叠，使犆点落在犃犇边上点犖处，折痕为犇犌（如图（２）乙），此时犈点恰好落在犃犈边上（第３题）的点犕处；Ａ．５Ｂ．６第三步：沿直线犇犕折叠（如图（２）丙），此时点犌恰好与Ｃ．７Ｄ．８犖点重合．二、填空题请你探究：矩形纸片犃犅犆犇是否是一张标准纸？请说明４．（２０１２·浙江湖州）如图，将正△犃犅犆分割成犿个边长为１的理由．小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成狀个边（３）不难发现：将一张标准纸按如图（３）一次又一次对开后，所犿４７长为１的小三角形，若＝，则△犃犅犆的边长是得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸犃犅犆犇，犃犅＝狀２５１，犅犆＝槡２，问第５次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第２０１２次对开后所得标准纸的周长．（第４题）（１）高斯与《算术研究》１８０１年高斯发表《算术研究》，这部象征近代数论起点的巨著同时也打开了数学新世纪的大门．１９世纪前的数论主要是一些漂亮但却孤立的成果，高斯一方面将这些成果系统化、对问题及方法加以分类，同时开辟了全新的课题及方法．他树立了严格证明的典范，认为找出简单漂亮的证明有助于掌握问题的实质并发现不同问题的联系（典型的是他给出了二次互反律的七个证明）．高斯的观点代表了１９世纪对数学严密性追求的时代精神，也指出了纯粹数学发展的一条途径．同年高斯依据少量观测数据，运用误差分析等方法计算出谷神星的轨道，准确地预报了这颗小行星在天空出现的时刻，轰动了科学界．\n８．（２０１０·金华）如图，把含有３０°角的三角板犃犅犗置入平面直角坐标系中，犃、犅两点坐标分别为（３，０）和（０，３槡３）动点犘从点犃开始沿折线犃犗－犗犅－犅犃运动，点犘在犃犗、犗犅、犅犃上运动的速度分别为１，槡３，２（长度单位／秒）一直尺的上边缘犾（２）从狓轴的位置开始以槡３（长度单位／秒）的速度向上平行移动３（即移动过程中保持犾∥狓轴），且分别与犗犅、犃犅交于犈、犉两点．设动点犘与动直线犾同时出发，运动时间为狋秒，当点犘沿折线犃犗－犗犅－犅犃运动一周时，直线犾和动点犘同时停止运动．（３）请解答下列问题：（第６题）（１）过犃、犅两点的直线解析式是；（２）当狋＝４时，点犘的坐标为；当狋＝，点犘与点犈重合；（３）①作点犘关于直线犈犉的对称点犘′．在运动过程中，若形成的四边形犘犈犘′犉为菱形，则狋的值是多少？②当狋＝２时，是否存在着点犙，使得△犉犈犙∽△犅犈犘？若存在，求出点犙的坐标；若不存在，请说明理由．７．（２０１１·衢州）有足够多的长方形和正方形卡片，如图．（１）如果选取１号、２号、３号卡片分别为１张、２张、３张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙），请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．（第８题）（第５题）这个长方形的代数意义是；（２）小明想用类似方法解释多项式乘法（犪＋３犫）（２犪＋犫）＝２犪２＋７犪犫＋３犫２，那么需用２号卡片张，３号卡片张．（第５题）奈望林纳数学奖奈望林纳奖是在１９８０年４月由国际数学联盟行政委员会成立的一个重要的数学奖项，而这个奖项主要是表扬在信息科学数学理论方面有突出贡献的数学家．这个奖项跟费尔兹奖相似，包括一个金奖牌和奖金而且也是在四年一度的国际数学家会议中颁发．１９８２年４月，国际数学联盟正式接受由赫尔辛基大学赞助这个奖项．奖牌正面是罗尔夫·内伐里纳像，是为纪念芬兰数学家罗尔夫·内伐里纳，他曾出任赫尔辛基大学校长及国际数学联盟的主席，五十年代他在芬兰各大学积极推动计算机组织．获奖者的名字会印在奖牌的边缘之上．\n２０１２～２０１０年全国新题精练一、选择题犕犖∥犃犅，犕犆＝６，犖犆＝２槡３，则四边形犕犃犅犖的面积１．（２０１２·湖北武汉）如图，矩形犃犅犆犇中，是（）．点犈在边犃犅上，将矩形犃犅犆犇沿直线犇犈折叠，点犃恰好落在边犅犆的点犉处．若犃犈＝５，犅犉＝３，则犆犇的长是（）．（第１题）Ａ．７Ｂ．８（第６题）Ｃ．９Ｄ．１０２．（２０１２·山东枣庄）如图，从边长为（犪＋４）ｃｍ的正方形纸片中Ａ．６槡３Ｂ．１２槡３剪去一个边长为（犪＋１）ｃｍ的小正方形（犪＞０），剩余部分沿虚Ｃ．１８槡３Ｄ．２４槡３线剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）．７．（２０１１·广东广州）如图所示，将矩形纸片先沿虚线犃犅按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线犆犇向下对折，然獉獉獉獉后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）．（第２题）２２２Ａ．（２犪＋５犪）ｃｍＢ．（３犪＋１５）ｃｍ２２Ｃ．（６犪＋９）ｃｍＤ．（６犪＋１５）ｃｍ３．（２０１２·贵州遵义）把一张正方形纸片如图（１）、图（２）对折两次后，再如图（３）挖去一个三角形小孔，则展开后的图形（第７题）是（）．（第３题）４．（２０１２·山东泰安）如图，将矩形纸片犃犅犆犇沿犈犉折叠，使点８．（２０１１·山东枣庄）如图，边长为（犿＋３）的正方形纸片剪出一犅与犆犇的中点重合，若犃犅＝２，犅犆＝３，则△犉犆犅′与△犅′犇犌个边长为犿的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不的面积之比为（）．重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为３，则另一边长是Ａ．９∶４Ｂ．３∶２（）．Ｃ．４∶３Ｄ．１６∶９（第８题）Ａ．犿＋３Ｂ．犿＋６（第４题）（第５题）Ｃ．２犿＋３Ｄ．２犿＋６５．（２０１２·上海）如图，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，∠犃＝３０°，犅犆９．（２０１１·山东菏泽）如图所示，已知在三角形纸片犃犅犆中，犅犆＝１，点犇在犃犆上，将△犃犇犅沿直线犅犇翻折后，将点犃落＝３，犃犅＝６，∠犅犆犃＝９０°．在犃犆上取一点犈，以犅犈为折痕，在点犈处，如果犃犇⊥犈犇，那么线段犇犈的长为（）．使犃犅的一部分与犅犆重合，点犃与犅犆延长线上的点犇重合，则犇犈的长度为（）．Ａ．槡３－１Ｂ．槡２－１Ｃ．１Ｄ．２槡２－１６．（２０１２·四川资阳）如图，在△犃犅犆中，∠犆＝９０°，将△犃犅犆沿直线犕犖翻折后，顶点犆恰好落在犃犅边上的点犇处，已知函数定义中对应的“唯一性”“唯一性”是指自变量狓在其所在的范围内，每取一个确定的值，狔都有唯一的值与之对应；亦指自变量狓在其所在的范围内取一个值时，狔有且只有一个值与之相对应，例如狔＝狓２，狓在任意实数中取一个值时，狔有且只有一个值与之对应，故狔是狓的函数；但反过来，狔在非负数的范围内任取一个值，狓会有一个或两个值与之对应，故狓不是狔的函数．\n１４．（２０１１·福建福州）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到４个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到７个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到１０个小正方形，称为第三次操作；……，根据以上操作，若要得到２０１１个小正方形，则需要操作的次数（第９题）是．Ａ．６Ｂ．３Ｃ．２槡３Ｄ．槡３１０．（２０１１·江苏常州）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形．则展开后三角形的周长是（）．（第１４题）（第１５题）（第１０题）１５．（２０１１·山西模拟）如图，把一张长方形的纸片按如图所示的Ａ．２＋槡１０Ｂ．２＋２槡１０方式折叠，犈犕、犉犕为折痕，折叠后的点犆落在犕犅′上或Ｃ．１２Ｄ．１８犕犅′的延长线上，那么∠犈犕犉的度数是．１１．（２０１１·陕西）如下图，把一个边长为７的正方形经过三次对三、解答题折后沿图（４）中平行于犕犖的虚线剪下，得图（５），它展开后１６．（２０１２·山西）实践与操作：如图（１）是以正方形两顶点为圆得到的图形的面积为４５，则犃犖的长为（）．心，边长为半径，画两段相等的圆弧而成的轴对称图形，图（２）是以图（１）为基本图案经过图形变换拼成的一个中心对称图形．（１）请你仿照图（１），用两段相等圆弧（小于或等于半圆），在图（３）中重新设计一个不同的轴对称图形．（２）以你在图（３）中所画的图形为基本图案，经过图形变换在（第１１题）图（４）中拼成一个中心对称图形．Ａ．１Ｂ．４Ｃ．２Ｄ．２．５二、填空题１２．（２０１２·四川达州）将矩形纸片犃犅犆犇，按如图所示的方式折叠，点犃、点犆恰好落在对角线犅犇上，得到菱形犅犈犇犉．若（１）（２）犅犆＝６，则犃犅的长为．（第１２题）（３）（４）１３．（２０１２·江苏南京）如图，将４５°的∠犃犗犅按图摆放在一把刻（第１６题）度尺上，顶点犗与尺下沿的端点重合，犗犃与尺下沿重合，１７．（２０１２·四川巴中）（１）如图（１），在每个小方格都是边长为１犗犅与尺上沿的交点犅在尺上的读数为２ｃｍ，若按相同的方个单位长度的正方形方格纸中有△犗犃犅，请将△犗犃犅绕点式将３７°的∠犃犗犆放置在该尺上，则犗犆与尺上沿的交点犆犗顺时针旋转９０°，画出旋转后的△犗犃′犅′；在尺上的读数约为ｃｍ．（２）折纸：有一张矩形纸片犃犅犆犇（如图（２）），要将点犇沿某（结果精确到０．１ｃｍ，参考数据：ｓｉｎ３７°≈０．６０，ｃｏｓ３７°≈条直线翻折１８０°，恰好落在犅犆边上的点犇′处，请在图中０．８０，ｔａｎ３７°≈０．７５）作出该直线．（第１３题）理清函数关系中“函数”与“自变量”此问题主要是正确理解在函数关系中，谁是自变量，谁是因变量．在某函数关系中，有两个变量，若它们都能满足“一个变量取在其范围内的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之相对应”，那么它们谁都可以作为对方的函数．\n１９．（２０１２·湖南岳阳）（１）操作发现：如图（１），犇是等边△犃犅犆边犅犃上一动点（点犇与点犅不重合），连结犇犆，以犇犆为边在犅犆上方作等边△犇犆犉，连结犃犉．你能发现线段犃犉与犅犇之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（２）类比猜想：如图（２），当动点犇运动至等边△犃犅犆边犅犃的延长线上时，其他作法与（１）相同，猜想犃犉与犅犇在（１）中的结论是否仍然成立．（１）（３）深入探究：Ⅰ．如图（３），当动点犇在等边△犃犅犆边犅犃上运动时（点犇与点犅不重合）连结犇犆，以犇犆为边在犅犆上方、下方分别作等边△犇犆犉和等边△犇犆犉′，连结犃犉、犅犉′，探究犃犉、犅犉′与犃犅有何数量关系，并证明你探究的结论．（２）Ⅱ．如图（４），当动点犇在等边△犃犅犆边犅犃的延长线上运动时，其他作法与图（３）相同，Ⅰ中的结论是否（第１７题）成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出１８．（２０１２·湖南怀化）如图（１），四边形犃犅犆犇是边长为３槡２的的结论．７７正方形，长方形犃犈犉犌的宽犃犈＝，长犈犉＝槡３．将长方２２形犃犈犉犌绕点犃顺时针旋转１５°得到长方形犃犕犖犎（如图（２）），这时犅犇与犕犖相交于点犗．（１）求∠犇犗犕的度数；（２）在图（２）中，求犇、犖两点间的距离；（１）（２）（３）若把长方形犃犕犖犎绕点犃再顺时针旋转１５°得到长方形犃犚犜犣，请问此时点犅在矩形犃犚犜犣的内部、外部、还是边上？并说明理由．（３）（４）（第１９题）（１）（２）（第１８题）与乞丐握手罗斯文豪屠格涅夫遇见一个乞丐，他很想有所施舍，但他翻遍所有的口袋却没找到一分钱。见乞丐的手高高地举着，他握着乞丐的手说：“兄弟，实在对不起，我忘了带钱出来。”乞丐流着泪说：“您能叫我兄弟，让我和您站在同一条线上就已经让我感激不尽了。”\n２０．（２０１２·四川成都）如图，长方形纸片犃犅犆犇中，犃犅＝８ｃｍ，２２．（２０１２·贵州铜仁）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修犃犇＝６ｃｍ，按下列步骤进行裁剪和拼图：建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉犕到广场的两个入口犃、犅第一步：如图（１），在线段犃犇上任意取一点犈，沿犈犅、犈犆剪的距离相等，且到广场管理处犆的距离等于犃和犅之间距下一个三角形纸片犈犅犆（余下部分不再使用）；离的一半，犃、犅、犆的位置如图所示，请在原图上利用尺规作第二步：如图（２），沿三角形犈犅犆的中位线犌犎将纸片剪成图作出音乐喷泉犕的位置．（要求：不写已知、求作、作法和两部分，并在线段犌犎上任意取一点犕，线段犅犆上任意取结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）一点犖，沿犕犖将梯形纸片犌犅犆犎剪成两部分；第三步：如图（３），将犕犖左侧纸片绕点犌按顺时针方向旋转１８０°，使线段犌犅与犌犈重合，将犕犖右侧纸片绕点犎按逆时针方向旋转１８０°，使线段犎犆与犎犈重合，拼成一个与三角形纸片犈犅犆面积相等的四边形纸片．（注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠）（第２２题）求拼成的这个四边形纸片的周长的最小值与最大值．２３．（２０１１·江西模拟）已知：将一副三角板（Ｒｔ△犃犅犆和Ｒｔ△犇犈犉）如图（１）摆放，点犈、犃、犇、犅在一条直线上，且犇是犃犅的中点．将Ｒｔ△犇犈犉绕点犇顺时针方向旋转角α（０°＜α＜９０°），在旋转过程中，直线犇犈、犃犆相交于点犕，直线犇犉、犅犆相交于点犖，分别过点犕、犖作直线犃犅的垂线，垂足为犌、犎．（１）当α＝３０°时（如图（２）），求证：犃犌＝犇犎；（第２０题）（２）当α＝６０°时（如图（３）），（１）中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；（３）当０°＜α＜９０°时，（１）中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图（４）说明理由．２１．（２０１２·四川南充）在Ｒｔ△犘犗犙中，犗犘＝犗犙＝４，犕是犘犙中点，把一三角尺的直角顶点放在点犕处，以犕为旋转中心旋转三角尺，三角尺的两直角边与△犘犗犙的两直角边分（１）（２）别交于点犃、犅，（１）求证：犕犃＝犕犅；（２）连结犃犅，探究：在旋转三角尺的过程中，△犃犗犅的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在．请说明理由．（３）（４）（第２３题）（第２１题）习惯与性格根小小的柱子，一截细细的链子，拴得住一头千斤重的大象，这不荒谬吗？可这荒谬的场景在印度和秦国随处可见。那些驯象人，在大象还是小象的时候，就用一条铁链将它绑在水泥柱或钢柱上，无论小象怎么挣扎都无法挣脱。小象渐渐地习惯了不挣扎，直到长成了大象，可以轻而易举地挣脱链子时，也不挣扎。小象是被链子绑住，而大象则是被习惯绑住。习惯几乎可以绑住一切。\n２４．（２０１１·北京怀柔一模）等腰△犃犅犆，犃犅＝犃犆＝８，∠犅犃犆＝２６．（２０１１·四川达州）如图，△犃犅犆的边犅犆在直线犿上，１２０°，犘为犅犆的中点，小亮拿着３０°角的透明三角板，使３０°犃犆⊥犅犆，且犃犆＝犅犆，△犇犈犉的边犉犈也在直线犿上，边角的顶点落在点犘，三角板绕点犘旋转．犇犉与边犃犆重合，且犇犉＝犈犉．（１）如图（１），当三角板的两边分别交犃犅、犃犆于点犈、犉时，（１）在图（１）中，请你通过观察、思考，猜想并写出犃犅与犃犈求证：△犅犘犈∽△犆犉犘；所满足的数量关系和位置关系（不要求证明）；（２）操作：将三角板绕点犘旋转到图（２）情形时，三角板的两（２）将△犇犈犉沿直线犿向左平移到图（２）的位置时，犇犈交边分别交犅犃的延长线、边犃犆于点犈、犉．犃犆于点犌，连结犃犈、犅犌．猜想△犅犆犌与△犃犆犈能否通①探究１：△犅犘犈与△犆犉犘还相似吗？过旋转重合？请证明你的猜想．②探究２：连结犈犉，△犅犘犈与△犘犉犈是否相似？请说明理由．③设犈犉＝犿，△犈犘犉的面积为犛，试用犿的代数式表示犛．（１）（２）（第２６题）（１）（２）（第２４题）２５．（２０１１·北京大兴区模拟）平面内有一等腰直角三角板（∠犃犆犅＝９０°）和一直线犕犖．过点犆作犆犈⊥犕犖于点犈，过点犅作犅犉⊥犕犖于点犉．当点犈与点犃重合时（如图（１）），易证：犃犉＋犅犉＝２犆犈．（１）当三角板绕点犆顺时针旋转至图（２）的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（２）当三角板绕点犃顺时针旋转至图（３）的位置时，线段犃犉、犅犉、犆犈之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．（１）（２）（３）（第２５题）响尾蛇“响尾”之谜在南美洲的某些地区，有一种毒性极强的蛇———响尾蛇．它的尾巴剧烈地摇动发出流水似的声音，引诱在炎热天气里口渴的小动物上钩，从而捕食之．响尾蛇为什么能发出响声呢？观察裁判员吹的“裁判哨”可以得出结论：金属壳子里装上了一层隔膜，形成了两个空泡，当人用力吹时，空泡受到空气的振动发出声音．响尾蛇的尾巴与哨子有类似的构造．它的外壳不是金属，而是由坚硬的皮肤形成的角质轮，轮内的空腔又被角质膜隔成两个环状空泡．当响尾蛇剧烈摇动尾巴时，就像人吹哨子一样，空泡受空气的振动而发出声音．\n７．２实验操作题［２０１２～２０１０年浙江省新题精练］１．Ｃ２．Ｃ３．Ｂ４．１２５．（甲）\n８．（１）狔＝－槡３狓＋３槡３（２）犘（０，槡３）狋＝９２（３）①当点犘在线段犃犗上时，过点犉作犉犌⊥狓轴，犌为垂足（如图（１））．（乙）（第５题）６．（１）是标准纸，理由如下：∵矩形犃犅犆犇是标准纸，∴犅犆＝槡２．犃犅１由对开的含义知：犃犉＝犅犆，２∴犃犅＝犃犅＝２·犃犅＝２＝槡２．（第８题（１））犃犉１犅犆犅犆槡２∵犗犈＝犉犌，犈犘＝犉犘，∠犈犗犘＝∠犉犌犘＝９０°，２∴△犈犗犘∽△犉犌犘．∴矩形纸片犃犅犈犉也是标准纸．∴犗犘＝犘犌．（２）是标准纸，理由如下：设犃犅＝犆犇＝犪，由图形折叠可知：又犗犈＝犉犌＝槡３狋，∠犃＝６０°，３犇犖＝犆犇＝犇犌＝犪，犉犌１犇犌⊥犈犕，∴犃犌＝＝狋．ｔａｎ６０°３∵由图形折叠可知：△犃犅犈≌△犃犉犈，而犃犘＝狋，１∴∠犇犃犈＝∠犅犃犇＝４５°．２２∴犗犘＝３－狋，犘犌＝犃犘－犃犌＝狋．３∴△犃犇犌是等腰直角三角形．２９∴在Ｒｔ△犃犇犌中，犃犇＝槡犃犌２＋犇犌２由３－狋＝狋得狋＝；＝槡２犪．３５犃犇槡２犪当点犘在线段犗犅上时，形成的是三角形，不存在菱形；∴＝＝槡２．犃犅犪当点犘在线段犅犃上时，∴矩形纸片犃犅犆犇是一张标准纸；过点犘作犘犎⊥犈犉，犘犕⊥犗犅，犎、犕分别为垂足（如图（３）对开次数：（２））．第一次，周长为：２（１＋１槡２）＝２＋槡２，２１１第二次，周长为：２（２＋２槡２）＝１＋槡２，第三次，周长为：２（１＋１槡２）＝１＋槡２，２４２第四次，周长为：２（１＋１槡２）＝１槡２，４４２第五次，周长为：２（１＋１槡２）＝２槡２，４８４第六次，周长为：２（１＋１槡２）＝１＋槡２，（第８题（２））８８４槡３…∵犗犈＝狋，３∴第５次对开后所得标准纸的周长是：２＋槡２，槡３４∴犅犈＝３槡３－狋．３第２０１２次对开后所得标准纸的周长为：１＋槡２．∴犈犉＝犅犈＝３－狋．２１００５狋犪狀６０°３７．（１）这个长方形如下：１９狋∴犕犘＝犈犎＝犈犉＝．２６又犅犘＝２（狋－６），在Ｒｔ△犅犕犘中，犅犘·ｃｏｓ６０°＝犕犘，１９狋４５即２（狋－６）·＝，解得狋＝．２６７②存在．理由如下：（第７题）∵狋＝２，这个长方形的代数意义是犪２＋３犪犫＋２犫２＝（犪＋犫）（犪＋２∴犗犈＝槡３，犃犘＝２，犗犘＝１．２犫）．３（２）１号正方形的面积为犪２，２号正方形的面积为犫２，３号将△犅犈犘绕点犈顺时针方向旋转９０°，得到△犅′犈犆（如图长方形的面积为犪犫，用类似方法解释多项式乘法（犪＋３犫）（３））．（２犪＋犫）＝２犪２＋７犪犫＋３犫２，需用２号卡片３张，３号卡片７张．\n犆犈２１（犆犇）＝４，又由犕犆＝６，犖犆＝２槡３，即可求得四边形犕犃犅犖的面积．７．Ｄ［解析］图形简单，动手操作一下即可得出答案．８．Ｃ［解析］［（犿＋３）２－犿２］÷３＝２犿＋３．１９．Ｃ［解析］犅犆＝犃犅，得∠犃＝３０°，２∴∠犇犅犈＝∠犃犅犈＝３０°．犅犆３３∴犇犈＝犃犈＝犅犈＝＝＝＝２槡３．ｃｏｓ∠犇犅犈ｃｏｓ３０°槡３（第８题（３））２１０．Ｂ［解析］此直角三角形斜边为槡１２＋３２＝槡１０，∵犗犅⊥犈犉，∴点犅′在直线犈犉上，点犆坐标为（２槡３，２槡３－１）．∴等腰三角形周长为２（１＋槡１０）＝２＋２槡１０．３３１１．Ｄ［解析］设沿犕犖平行的虚线长为狓，则犃犖＝３．５－过点犉作犉犙∥犅′犆，交犈犆于点犙，狓，则△犉犈犙∽△犅′犈犆．２∴４９－４狓＝４５，得狓＝１．即犃犖＝２．５．由犅犈＝犅′犈＝犆犈＝槡３，可得点犙的坐标为（－２，槡３）．１２．２槡３犉犈犉犈犙犈３３根据对称性可得，点犙关于直线犈犉的对称点犙′［解析］由折叠知∠犇犅犆＝９０°＝３０°３２（－３，槡３）也符合条件．∴犆犇＝ｔａｎ∠犇犅犆．犅犆［２０１２～２０１０年全国新题精练］１．Ｃ［解析］∵△犇犈犉由△犇犈犃翻折而成，∴犃犅＝犆犇＝６×槡３＝２槡３．３∴犈犉＝犃犈＝５．在Ｒｔ△犅犈犉中，１３．２．７［解析］过犅点，犆点分别向犗犃作垂线犅犈，犆犉，则犅犈＝犗犅＝２ｃｍ，犆犉＝犅犈＝２ｃｍ．∵犈犉＝５，犅犉＝３，犆犉∴犅犈＝槡犈犉２－犅犉２＝槡５２－３２＝４．又＝ｔａｎ３７°，犗犉∴犃犅＝犃犈＋犅犈＝５＋４＝９．２８∵四边形犃犅犆犇是矩形，所以犗犉＝０．７５＝３≈２．７ｃｍ．∴犆犇＝犃犅＝９．１４．６７０［解析］第一次４＝１×３＋１，第二次７＝２×３＋１，第２．Ｄ［解析］（犪＋４）２－（犪＋１）２＝６犪＋１５．三次１０＝３×３＋１，则第狀次有（３狀＋１）个正方形，令３狀３．Ｃ［解析］动手操作一下即可．＋１＝２０１１，得狀＝６７０．４．Ｄ［解析］设犅犉＝狓，则犆犉＝３－狓，犅犉′＝狓，１５．９０°［解析］∠犅犕犈＝∠犅′犕犈，∠犆犕犉＝∠犅′犕犉又点犅′为犆犇的中点，又∠犅犕犈＋∠犅′犕犈＋∠犆犕犉＋∠犅′犕犉＝１８０°∴犅′犆＝１．在Ｒｔ△犅′犆犉中，犅犉′２＝犅′犆２＋犆犉２，即狓２＝１＋（３－狓）２，∴∠犈犕犉＝９０°．１６．（１）在图（３）中设计出符合题目要求的图形．５５４解得：狓＝，即可得犆犉＝３－＝，（２）在图（４）中画出符合题目要求的图形．３３３评分说明：此题为开放性试题，答案不唯一，只要符合题∵∠犇犅′犌＝∠犇犌犅＝９０°，∠犇犅′犌＋∠犆犅′犉＝９０°，目要求即可给分．∴∠犇犌犅＝∠犆犅′犉．∴Ｒｔ△犇犅′犌∽Ｒｔ△犆犉犅′．根据面积比等于相似比的平方可得：犛△犉犆犅′犉犆２４２１６犛△犅′犇犌＝（犅′犇）＝（３）＝９．（图３）５．Ａ解：∵在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，∠犃＝３０°，犅犆＝１，犅犆１∴犃犆＝＝＝槡３．ｔａｎ犃ｔａｎ３０°∵将△犃犇犅沿直线犅犇翻折后，将点犃落在点犈处，∴∠犃犇犅＝∠犈犇犅，犇犈＝犃犇．∵犃犇⊥犈犇，∴∠犆犇犈＝∠犃犇犈＝９０°．（图４）∴∠犈犇犅＝∠犃犇犅＝３６０°９０°＝１３５°．（第１６题）２１７．如图，△犗犃′犅′和直线犕犖为所求图形．∴∠犆犇犅＝∠犈犇犅－∠犆犇犈＝１３５°－９０°＝４５°．∵∠犆＝９０°，∴∠犆犅犇＝∠犆犇犅＝４５°．∴犆犇＝犅犆＝１．∴犇犈＝犃犇＝犃犆－犆犇＝槡３－１．６．Ｃ［解析］首先连结犆犇，交犕犖于犈，由将△犃犅犆沿直线犕犖翻折后，顶点犆恰好落在犃犅边上的点犇处，即可得犕犖⊥犆犇，且犆犈＝犇犈，又由犕犖∥犃犅，易得△犆犕犖∽△犆犃犅，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相犛△犆犕犖似三角形对应高的比等于相似比，即可得＝犛△犆犃犅（１）\n∴点犅在矩形犃犚犜犣的外部．１９．（１）犃犉＝犅犇；证明如下：∵△犃犅犆是等边三角形（已知），∴犅犆＝犃犆，∠犅犆犃＝６０°（等边三角形的性质）；同理知，犇犆＝犆犉，∠犇犆犉＝６０°；∴∠犅犆犃－∠犇犆犃＝∠犇犆犉－犇犆犃，即∠犅犆犇＝∠犃犆犉．在△犅犆犇和△犃犆犉中，（２）烄犅犆＝犃犆，（第１７题）烅∠犅犆犇＝∠犃犆犉，１８．（１）设犕犖与犃犅的交点为犙，烆犇犆＝犉犆．∵∠犕犃犙＝１５°，∠犃犕犙＝９０°，∴△犅犆犇≌△犃犆犉（ＳＡＳ）．∴∠犃犙犕＝∠犗犙犅＝７５°．∴犅犇＝犃犉（全等三角形的对应边相等）．又∠犗犅犙＝４５°，（２）证明过程同（１），证得△犅犆犇≌△犃犆犉（ＳＡＳ），则犃犉∴∠犇犗犕＝∠犗犙犅＋∠犗犅犙＝７５°＋４５°＝１２０°．＝犅犇（全等三角形的对应边相等），所以，当动点犇运动（２）∵正方形犃犅犆犇的边长为３槡２，至等边△犃犅犆边犅犃的延长线上时，其他作法与（１）相同，犃犉＝犅犇仍然成立；∴犇犅＝６．再连结犇犖，犃犖，设犃犖与犅犇的交点为犓．（３）Ⅰ．犃犉＋犅犉′＝犃犅；证明如下：由（１）知，△犅犆犇≌△犃犆犉（ＳＡＳ），则犅犇＝７７∵长方形犃犕犖犎宽犃犕＝，长犕犖＝槡３，犃犉；２２∴犃犖＝７，故∠犃犖犕＝３０°．同理△犅犆犉′≌△犃犆犇（犛犃犛），则犅犉′＝犃犇，∵∠犇犗犕＝１２０°，∴犃犉＋犅犉′＝犅犇＋犃犇＝犃犅．∴∠犓犗犖＝６０°．Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是犃犉＝犃犅＋犅犉′；证明如下：在△犅犆犉′和△犃犆犇中，∴∠犗犓犖＝９０°，犃犖⊥犇犅．∴犃犓是等腰三角形犃犅犇斜边犇犅上的中线，烄犅犆＝犃犆，１烅∠犅犆犉′＝∠犃犆犇，∴犃犓＝犇犓＝２犇犅＝３．烆犉′犆＝犇犆，∴△犅犆犉′≌△犃犆犇（ＳＡＳ）．在Ｒｔ△犇犖犓中，犇犖＝槡犇犓２＋犓犖２＝槡３２＋４２＝５．∴犅犉′＝犃犇（全等三角形的对应边相等）．故犇、犖两点间的距离为５．又由（２）知，犃犉＝犅犇；∴犃犉＝犅犇＝犃犅＋犃犇＝犃犅＋犅犉′，即犃犉＝犃犅＋犅犉′．２０．画出第三步剪拼之后的四边形犕１犖１犖２犕２的示意图，如答图（１）所示．（第１８题（１））（１）（３）点犅在矩形犃犚犜犣的外部．（２）（第２０题）（第１８题（２））图中，犖１犖２＝犈犖１＋犈犖２＝犖犅＋犖犆＝犅犆，７犕１犕２＝犕１犌＋犌犕＋犕犎＋犕２犎＝２（犌犕＋犕犎）＝２犌犎理由如下：由题意知犃犚＝，设犃犅与犚犜的交点为犘，２＝犅犆（三角形中位线定理），则∠犘犃犚＝３０°，在又∵犕１犕２∥犖１犖２，犃犚∴四边形犕１犖１犖２犕２是一个平行四边形．Ｒｔ△犃犚犘中，ｃｏｓ∠犘犃犚＝，其周长为２犖犃犘１犖２＋２犕１犖１＝２犅犆＋２犕犖．７∵犅犆＝６为定值，２４９∴四边形的周长取决于犕犖的大小．∴犃犘＝＝．ｃｏｓ３０°槡３如答图（２）所示，是剪拼之前的完整示意图．４９过犌、犎点作犅犆边的平行线，分别交犃犅、犆犇于犘点、犙∵犃犅＝３槡２＝槡１８＞，即犃犅＞犃犘，槡３点，则四边形犘犅犆犙是一个矩形，这个矩形是矩形犃犅犆犇\n的一半．∴∠犅犇犖＝３０°．∵犕是线段犘犙上的任意一点，犖是线段犅犆上的任在△犃犕犇和△犇犖犅中，意一点，∵∠犃犇犕＝∠犅，犃犇＝犇犅，∠犃＝∠犅犇犖，根据垂线段最短，得到犕犖的最小值为犘犙与犅犆平行∴△犃犕犇≌△犇犖犅．线之间的距离，即犕犖最小值为４；∴犃犕＝犇犖．而犕犖的最大值等于矩形对角线的长度，即∵犕犌⊥犃犇，犖犎⊥犅犇，∴△犃犕犌≌△犇犖犎．槡犘犅２＋犅犆２＝槡４２＋６２＝２槡１３∴犃犌＝犇犎．∵四边形犕１犖１犖２犕２的周长＝２犅犆＋２犕犖＝１２＋（３）结论成立．２犕犖，∵Ｒｔ△犃犌犕∽Ｒｔ△犖犎犅，Ｒｔ△犇犌犕∽Ｒｔ△犖犎犇，∴四边形犕１犖１犖２犕２周长的最小值为１２＋２×４＝犃犌犖犎犕犌犇犎２０．∴犕犌＝犅犎，犇犌＝犖犎．最大值为１２＋２×２槡１３＝１２＋４槡１３．犃犌犇犎犃犌犇犎∴＝，＝．２１．（１）连结犗犕．犇犌犅犎犃犇犇犅∵Ｒｔ△犘犗犙中，犗犘＝犗犙＝４，犕是犘犙的中点，∴犃犌＝犇犎．２４．（１）因为∠犅＋∠犅犈犘＝∠犈犘犆，而∠犈犘犆＝∠犈犘犉＋∠犉犘犆，∠犅＝∠犈犘犉＝３０°，所以∠犅犈犘＝∠犉犘犆．由∠犅＝∠犆＝３０°可知结论成立．（２）①相似．②相似．理由：由△犅犘犈与△犆犉犘相似可得犅犈犘犈犅犈犘犈＝，即＝，而∠犅＝∠犈犘犉＝３０°，知结论成犘犆犘犉犘犅犘犉立．犅犘犘犈（第２１题）③由△犅犘犈与△犘犉犈相似得＝，即犘犈·犘犉＝４犘犉犈犉∴犗犕＝犘犕＝１犘犙＝２槡２１２槡３犿，过犉作犘犈垂线，可知垂线段长为犘犉．２∠犘犗犕＝∠犅犗犕＝∠犘＝４５°．所以犛＝１·１犘犉·犘犈＝槡３犿（犿＞０）．∵∠犘犕犃＋∠犃犕犗＝∠犗犕犅＋∠犃犕犗，２２∴∠犘犕犃＝∠犗犕犅△犘犕犃≌△犗犕犅．２５．（１）上述结论仍然成立．∴犕犃＝犕犅．过点犅作犅犇⊥犆犈于点犇．（２）△犃犗犅的周长存在最小值，理由是：△犘犕犃≌△犗犕犅．∴犘犃＝犗犅．∴犗犃＋犗犅＝犗犃＋犘犃＝犗犘＝４．令犗犃＝狓犃犅＝狔，则狔２＝狓２＋（４－狓）２＝２狓２－８狓＋１６＝２（狓－２）２＋８≥８（第２５题（２））当狓＝２时狔２有最小值＝８从而狔≥２槡２．∵犆犈⊥犕犖，故△犃犗犅的周长存在最小值，其最小值是４＋２槡２．∴∠犆犇犅＝∠犃犈犆＝９０°．２２．作图：连结犃犅．∵∠犃犆犈＋∠犆犃犈＝９０°，作出线段犃犅的垂直平分线在矩形中标出点犕的位置∠犃犆犈＋∠犅犆犇＝９０°，（必须保留尺规作图的痕迹．）∴∠犆犃犈＝∠犅犆犇．又犃犆＝犅犆，∴△犃犆犈≌△犆犅犇．∴犆犈＝犅犇．∵∠犅犇犈＝∠犇犈犉＝∠犅犉犈＝９０°，∴四边形犅犇犈犉是矩形．∴犈犉＝犅犇＝犆犈，犅犉＝犇犈．∴犃犉＋犅犉＝犃犈＋犈犉＋犇犈＝犆犇＋犆犈＋犇犈＝２犆犈．（２）线段犃犉、犅犉、犆犈之间的数量关系为：（第２２题）犃犉－犅犉＝２犆犈．２３．（１）∵∠犃＝∠犃犇犕＝３０°，２６．（１）犃犅＝犃犈，犃犅⊥犃犈．∴犃犕＝犕犇．（２）将△犅犆犌绕点犆顺时针旋转９０°后能与△犃犆犈重合∵∠犅犇犆＝９０°－∠犃犇犕＝６０°＝∠犅，（或将△犃犆犈绕点犆逆时针旋转９０°后能与△犅犆犌重合），理由如下：∴犆犅＝犆犇．∵犕犌⊥犃犇，犖犎⊥犅犇，１１∴犃犌＝２犃犇，犇犎＝２犅犇．∵犃犇＝犅犇，∴犃犌＝犇犎．（２）结论成立．∵∠犃犇犕＝６０°，（第２６题）\n∵犃犆⊥犅犆，犇犉⊥犈犉，犅、犉、犆、犈共线，∴∠犃犆犅＝∠犃犆犈＝∠犇犉犈＝９０°．又犃犆＝犅犆，犇犉＝犈犉，∴∠犇犈犉＝∠犇＝４５°．在△犆犈犌中，∵∠犃犆犈＝９０°，∴∠犆犌犈＝∠犇犈犉＝４５°．∴犆犌＝犆犈．在△犅犆犌和△犃犆犈中，烄犅犆＝犃犆，∵烅∠犃犆犅＝∠犃犆犈，烆犆犌＝犆犈，∴△犅犆犌≌△犃犆犈．∴将△犅犆犌绕点犆顺时针旋转９０°后能与△犃犆犈重合（或将△犃犆犈绕点犆逆时针旋转９０°后能与△犅犆犌重合）．