【3年中考2年模拟】浙江省2022届中考数学 热点题型 7.3开放探究题（pdf） 新人教版

７．３开放探究题题型特点这类问题具有较强的综合性，涉及的数学基础知识较为广探究性问题为学生提供了广阔的思维空间，有利于调动学泛，既能考查学生对基础知识掌握的熟练程度，又能考查学生的生的创新意识和探究兴趣，成为近几年中考的热点题型之一．探观察、分析、概括能力，能从具体、特殊的事实中探究其存在的规究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经律，把藏在表面现象中的一般规律挖掘出来．过推断、补充并加以证明的题型，探究性问题具有以下特点：命题趋势１．条件的不确定性．开放探究性问题是一个充满着观察、归纳、猜想、尝试、探究２．结构的多样性．的发现过程，需要学生对问题进行多方位、多角度、多层次的思３．思维的多向性．考、审视，对培养学生的创造性思维能力、推理能力、直觉思维能４．解答的层次性．力和全面提高学生的数学素养具有重要的意义，倍受中考命题５．过程的探究性．者的青睐，是中考试题的热点之一．６．知识的探究性．２３本题考查了二次函数综合题，但用到的琐碎知识点较多，综【例】（２０１２·湖南湘潭）如图，抛物线狔＝犪狓－狓－２（犪２合性很强．熟练掌握直角三角形的相关性质以及三角形的面积≠０）的图象与狓轴交于犃、犅两点，与狔轴交于点犆，已知点犅坐公式是理出思路的关键．标为（４，０）．【解答】（１）将犅（４，０）代入抛物线的解析式中，得（１）求抛物线的解析式；３１０＝１６犪－×４－２，即犪＝．（２）试探究△犃犅犆的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；２２（３）若点犕是线段犅犆下方的抛物线上一点，求△犕犅犆的１２３∴抛物线的解析式为狔＝狓－狓－２．２２面积的最大值，并求出此时点犕的坐标．（２）由（１）的函数解析式可求得犃（－１，０）、犆（０，－２）．２∴犗犃＝１，犗犆＝２，犗犅＝４，即犗犆＝犗犃·犗犅．又犗犆⊥犃犅，∴△犗犃犆∽△犗犆犅．∴∠犗犆犃＝∠犗犅犆．∴∠犃犆犅＝∠犗犆犃＋∠犗犆犅＝∠犗犅犆＋∠犗犆犅＝９０°．∴△犃犅犆为直角三角形，犃犅为△犃犅犆外接圆的直径．３【命题意图分析】探索是人类认识客观世界过程中最生所以该外接圆的圆心为犃犅的中点，且坐标为（，０）．２动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，（３）由犅（４，０）、犆（０，－２），可得直线犅犆的解析式为狔＝１狓在数学中则更为普遍．初中数学中的“探索发现”型试题是指命２题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充－２．并加以证明的命题，它不像传统的解答题或证明题，在条件和结１设直线犾∥犅犆，则该直线的解析式可表示为狔＝狓＋犫．论给出的情景中只需进行由因导果或由果索因的工作，从而定２当直线犾与抛物线只有一个交点时，可列方程格于“条件———演绎———结论”这样一个封闭的模式之中，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探１狓＋犫＝１狓２－３狓－２，即狓２－４狓－４－２犫＝０，且Δ＝０．２２２索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在∴４２－４×（－４－２犫）＝０，即犫＝－４．的各种可能性以及发现所形成的客观规律．开放性试题重在开１发思维，促进创新，提高数学素养，所以是近几年中考试题的热∴直线犾：狔＝２狓－４．点考题．观察、实验、猜想、论证是解决这类问题的科学思维方由于犛，当犺最大（即点犕到直线犅犆的距离△犕犅犆＝犅犆×犺法，学习中应重视并应用．最远）时，△犃犅犆的面积最大，听觉的适应与疲劳听觉器官接受连续几个小时过强刺激后，听觉器官的感受性会因过度刺激而显著降低，这和适应现象不同，往往要经过几个小时，甚至一昼夜或几天，听觉的感受性才能恢复．这种由于长时间强刺激引起听觉感受性较长的时间的下降现象，称为听觉疲劳．如果连续几个月或几年，听觉器官经常受到致疲劳噪音的作用，则听觉正常感受性不能完全恢复，有的会导致内耳毛细胞和神经细胞的退行性变，听力不断下降，造成耳聋，严重的会引起耳鸣，妨碍睡眠，引起血压升高和胃肠功能紊乱等．\n所以点犕即直线犾和抛物线的唯一交点，有定圆心坐标．烄１２３（３）△犕犅犆的面积可由犛△犕犅犆＝犅犆×犺表示，若要它的面积狔＝２狓－２狓－２，狓＝２，烅解得最大，需要使犺取最大值，即点犕到直线犅犆的距离最大，若设｛．狔＝１狓－４，狔＝－３一条平行于犅犆的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交烆２点时，该交点就是点犕．∴犕（２，－３）．【误区警示】本题探究主要在第（３）问，要注意条件的运【方法点拨】（１）该函数解析式只有一个待定系数，只需将用，当直线与抛物线只有一个交点时，联立方程组时取Δ＝０；例点犅坐标代入解析式中即可．外三角形底边一定，要想面积最大，只要高最大即可．（２）首先根据抛物线的解析式确定点犃坐标，然后通过证明△犃犅犆是直角三角形来推导出直径犃犅和圆心的位置，由此确２０１２～２０１０年浙江省新题精练一、填空题（１）如图（１），当点犃的横坐标为时，矩形犃犗犅犆是１．（２０１０·湖州）请你在如图所示的１２×１２的网格图形中任意正方形；画一个圆，则所画的圆最多能经过１６９个格点中的（２）如图（２），当点犃的横坐标为－１时，２个格点．①求点犅的坐标；②将抛物线狔＝狓２作关于狓轴的轴对称变换得到抛物线狔＝－狓２，试判断抛物线狔＝－狓２经过平移变换后，能否经过犃，犅，犆三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由．（第１题）二、解答题（１）（２）２．（２０１２·浙江丽水）在直角坐标系中，点犃是抛物线狔＝狓２在（第２题）第二象限上的点，连结犗犃，过点犗作犗犅⊥犗犃，交抛物线于点犅，以犗犃、犗犅为边构造矩形犃犗犅犆．２０１２～２０１０年全国新题精练一、选择题１．（２０１２·江苏扬州）大于１的正整数犿的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如２３＝３＋５，３３＝７＋９＋１１，４３＝１３＋１５＋１７＋１９，……若犿３分裂后，其中有一个奇数是２０１３，则犿的值是（）．Ａ．４３Ｂ．４４Ｃ．４５Ｄ．４６２．（２０１２·江西南昌）如图，有犪，犫，犮三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线（）．（第２题）（第３题）Ａ．犪户最长Ｂ．犫户最长１３．（２０１２·贵州六盘水）如图为反比例函数狔＝在第一象限的Ｃ．犮户最长Ｄ．三户一样长狓图象，点犃为此图象上的一动点，过点犃分别作犃犅⊥狓轴和犃犆⊥狔轴，垂足分别为犅、犆，则四边形犗犅犃犆周长的最小值几何三大问题（一）１．化圆为方———求作一正方形使其面积等于一已知圆的面积．２．三等分任意角．３．倍立方———求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍．圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个和已知圆等面积的正方形呢？若已知圆的半径为１，则其面积为π（１）２＝π，所以化圆为方的问题等于去求一正方形，其面积为π，也就是用尺规作出长度为槡π的线段．\n为（）．１４．（２０１２·山东德州）在四边形犃犅犆犇中，犃犅＝犆犇，要使四边Ａ．４Ｂ．３形犃犅犆犇是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可Ｃ．２Ｄ．１以是．４．（２０１１·江苏泰州）四边形犃犅犆犇中，对角线犃犆、犅犇相交于１５．（２０１１·广州白云区模拟）已知反比例函数狔＝犽，其图象所点犗，给出下列四组条件：①犃犅∥犆犇，犃犇∥犅犆；②犃犅＝犆犇，狓在的每个象限内狔随着狓的增大而增大，请写出一个符合条犃犇＝犅犆；③犃犗＝犆犗，犅犗＝犇犗；④犃犅∥犆犇，犃犇＝犅犆．其中件的反比例函数关系式：．一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有（）．Ａ．１组Ｂ．２组１６．（２０１１·安徽）定义运算犪犫＝犪（１－犫），下列给出了关于这种运算的几点结论：Ｃ．３组Ｄ．４组①２（－２）＝６；５．（２０１１·四川达州）如图，在犃犅犆犇中，犈是犅犆的中点，且∠犃犈犆＝②犪犫＝犫犪；∠犇犆犈，则下列结论不正确的是③若犪＋犫＝０，则（犪犪）＋（犫犫）＝２犪犫；（）．獉獉獉④若犪犫＝０，则犪＝０．（第５题）其中正确结论序号是．（在横线上填上你认为所有１Ａ．犛△犃犉犇＝２犛△犈犉犅Ｂ．犅犉＝２犇犉正确结论的序号）Ｃ．四边形犃犈犆犇是等腰梯形Ｄ．∠犃犈犅＝∠犃犇犆三、解答题２二、填空题１７．（２０１２·陕西）如果一条抛物线狔＝犪狓＋犫狓＋犮（犪≠０）与狓６．（２０１２·贵州遵义）在４×４的方格中有五轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点个同样大小的正方形如图摆放，移动其中的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．一个正方形到空白方格中，与其余四个正（１）“抛物线三角形”一定是三角形；２方形组成的新图形是一个轴对称图形，这（２）若抛物线狔＝－狓＋犫狓（犫＞０）的“抛物线三角形”是等腰样的移法共有种．直角三角形，求犫的值；７．（２０１２·山东滨州）根据你学习的数学（３）如图，△犗犃犅是抛物线狔＝－狓２＋犫′狓（犫′＞０）的“抛物线（第６题）知识，写出一个运算结果为犪６的算式．三角形”，是否存在以原点犗为对称中心的矩形犃犅犆犇？８．（２０１２·贵州安顺）如图，∠１＝∠２，添加一个条件使得若存在，求出过犗、犆、犇三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．△犃犇犈∽△犃犆犅，．（第１７题）（第８题）（第９题）９．（２０１２·四川广元）如图，点犃的坐标为（－１，０），点犅在直线狔＝狓上运动，当线段犃犅最短时，点犅的坐标为．１０．（２０１２·新疆）请你写出一个主视图与左视图相同的立体图１８．（２０１２·四川广元）如图，在△犃犈犆和△犇犉犅中，∠犈＝∠犉，形是．点犃、犅、犆、犇在同一直线上，有如下三个关系式：①犃犈∥１１．（２０１２·四川绵阳）如图所示，犅犆＝犈犆，∠１＝∠２，要使犇犉，②犃犅＝犆犇，③犆犈＝犅犉．△犃犅犆≌△犇犈犆，则应添加的一个条件为．（１）请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出你认为正确的所有命题（用序号写出命题书写形式：“如果，那么”）；（２）选择（１）中你写出的一个命题，说明它正确的理由．（第１１题）（第１２题）１２．（２０１２·辽宁丹东）如图，边长为６的正方形犃犅犆犇内部有一点犘，犅犘＝４，∠犘犅犆＝６０°，点犙为正方形边上一动点，且△犘犅犙是等腰三角形，则符合条件的犙点有个．（第１８题）１３．（２０１２·贵州黔东南州）用６根相同长度的木棒在空间中最多可搭成个正三角形．几何三大问题（二）三大问题的第二个是三等分一个角的问题．对于某些角，如９０°、１８０°角进行三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如６０°，若能三等分则可以画出２０°的角，那么正十八边形及正九边形也都可以作出来了（注：圆内接正十八边形每一边所对的圆心角为３６０°÷１８＝２０°）．其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的．\n１９．（２０１２·福建漳州）在数学课上，林老师在黑板上画出如图所２１．（２０１２·吉林）在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图示的图形（其中点犅、犉、犆、犈在同一直线上），并写出四个条象能近似地刻画如下犪，犫两个情境：件：①犃犅＝犇犈，②犅犉＝犈犆，③∠犅＝∠犈，④∠１＝∠２．情境犪：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，家里找到了作业本再去学校；组成一个真命题，并给予证明．情境犫：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更獉獉獉题设：；结论：．（均填写序号）快的速度前进．证明：（１）情境犪，犫所对应的函数图象分别为，；（填写序号）（２）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．（第１９题）（第２１题）２０．（２０１２·辽宁阜新）（１）如图，在△犃犅犆和△犃犇犈中，犃犅＝犃犆，犃犇＝犃犈，∠犅犃犆＝∠犇犃犈＝９０°．２２．（２０１２·四川资阳）（１）如图（１），正方形犃犈犌犎的顶点犈、犎①当点犇在犃犆上时，如图（１），线段犅犇、犆犈有怎样的数量在正方形犃犅犆犇的边上，直接写出犎犇∶犌犆∶犈犅的结果；关系和位置关系？直接写出你猜想的结论．（不必写计算过程）②将图（１）中的△犃犇犈绕点犃顺时针旋转α角（０°＜α＜（２）将图（１）中的正方形犃犈犌犎绕点犃旋转一定角度，如图９０°），如图（２），线段犅犇、犆犈有怎样的数量关系和位置关（２），求犎犇∶犌犆∶犈犅；系？请说明理由．（３）把图（２）中的正方形都换成矩形，如图（３），且已知犇犃∶（２）当△犃犅犆和△犃犇犈满足下面甲、乙、丙中的哪个条件犃犅＝犎犃∶犃犈＝犿∶狀，此时犎犇∶犌犆∶犈犅的值与（２）时，使线段犅犇、犆犈在（１）中的位置关系仍然成立？不必小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化说明理由．后的结果．（不必写计算过程）甲：犃犅∶犃犆＝犃犇∶犃犈＝１，∠犅犃犆＝∠犇犃犈≠９０°；乙：犃犅∶犃犆＝犃犇∶犃犈≠１，∠犅犃犆＝∠犇犃犈＝９０°；丙：犃犅∶犃犆＝犃犇∶犃犈≠１，∠犅犃犆＝∠犇犃犈≠９０°．（１）（２）（３）（第２２题）（第２０题）几何三大问题（三）第三个问题是倍立方．埃拉托塞尼（公元前２７６年～公元前１９５年）曾经在记述一个神话时提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的８倍．这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺、圆规经有限步骤解决．\n２３．（２０１２·山西）问题情境：将一副直角三角板（Ｒｔ△犃犅犆和２４．（２０１２·安徽）在由犿×狀（犿×狀＞１）个小正方形组成的矩形Ｒｔ△犇犈犉）按图（１）所示的方式摆放，其中∠犃犆犅＝９０°，犆犃网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数犳．＝犆犅，∠犉犇犈＝９０°，犗是犃犅的中点，点犇与点犗重合，犇犉（１）当犿，狀互质（犿，狀除１外无其他公因数）时，观察下列图⊥犃犆于点犕，犇犈⊥犅犆于点犖，试判断线段犗犕与犗犖的形并完成下表：数量关系，并说明理由．探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：犗犕＝犗犖，证明如下：连结犆犗，则犆犗是犃犅边上的中线．∵犆犃＝犆犅，∴犆犗是∠犃犆犅的角平分线．（依据１）∵犗犕⊥犃犆，犗犖⊥犅犆，∴犗犕＝犗犖．（依据２）（第２４题）反思交流：（１）上述证明过程中的“依据１”和“依据２”分别是指：犿狀犿＋狀犳依据１：１２３２依据２：（２）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．１３４３拓展延伸：２３５４（３）将图（１）中的Ｒｔ△犇犈犉沿着射线犅犃的方向平移至如图２４７（２）所示的位置，使点犇落在犅犃的延长线上，犉犇的延长线与犆犃的延长线垂直相交于点犕，犅犆的延长线与３５７犇犈垂直相交于点犖，连结犗犕、犗犖，试判断线段犗犕、猜想：当犿，狀互质时，在犿×狀的矩形网格中，一条对角犗犖的数量关系与位置关系，并写出证明过程．线所穿过的小正方形的个数犳与犿，狀的关系式是；（不需要证明）（２）当犿，狀不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立．（１）（２）（第２３题）现代数学上的三大难题（一）一是有２０棵树，每行四棵，古罗马、古希腊在１６世纪就完成了１６行的排列，１８世纪高斯猜想能排１８行，１９世纪美国劳埃德完成此猜想，２０世纪末两位电子计算机高手完成２０行纪录，跨入２１世纪还会有新突破吗？\n２５．（２０１２·山东滨州）我们知道“连结三角形两边中点的线段叫２７．（２０１２·江苏连云港）已知梯形犃犅犆犇，犃犇∥犅犆，犃犅⊥犅犆，三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三犃犇＝１，犃犅＝２，犅犆＝３．边，且等于第三边的一半”．类似的，我们把连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形犃犅犆犇中，犃犇∥犅犆，点犈、犉分别是犃犅、犆犇的中点，那么犈犉就是梯形犃犅犆犇的中位线．通过观察、测量，猜想犈犉和犃犇、犅犆有怎样（１）（２）的位置和数量关系？并证明你的结论．（３）（第２５题）（第２７题）问题１：如图（１），犘为边犃犅上的一点，以犘犇、犘犆为边作平行四边形犘犆犙犇，请问对角线犘犙、犇犆的长能否相等，为２６．（２０１２·河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学什么？学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．问题２：如图（２），若犘为边犃犅上一点，以犘犇、犘犆为边作平原题：如图（１），在犃犅犆犇中，点犈是边犅犆上的中点，点犉行四边形犘犆犙犇，请问对角线犘犙的长是否存在最小值？如是线段犃犈上一点，犅犉的延长线交射线犆犇于点犌，若犃犉果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．犈犉问题３：若犘为边犃犅上任意一点，延长犘犇到犈，使犇犈＝犆犇＝３，求的值．犘犇，再以犘犈、犘犆为边作平行四边形犘犆犙犈，请探究对角线犆犌犘犙的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如（１）尝试探究果不存在，请说明理由．在图（１）中，过点犈作犈犎∥犃犅交犅犌于点犎，则犃犅和问题４：如图（３），若犘为边犇犆上任意一点，延长犘犃到犈，犈犎的数量关系是，犆犌和犈犎的数量关系是使犃犈＝狀犘犃（狀为常数），以犘犈、犘犅为边作平行四边形犆犇，的值是．犘犅犙犈，请探究对角线犘犙的长是否也存在最小值？如果存犆犌（２）类比延伸在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．犃犉犆犇如图（２），在原题的条件下，若＝犿（犿＞０），则的值犈犉犆犌是（用含犿的代数式表示），试写出解答过程．（３）拓展迁移如图（３），梯形犃犅犆犇中，犇犆∥犃犅，点犈是犅犆延长线上犃犅犅犆一点，犃犈和犅犇相交于点犉，若＝犪，＝犫（犪＞０，犫犆犇犅犈＞０），则犃犉的值是．（用含犪，犫的代数式表示）犈犉（１）（２）（３）（第２６题）现代数学上的三大难题（二）二是相邻两国不着同一色，任一地图着色最少可用几色完成着色？五色已证出，四色至今仅美国阿佩尔和哈肯，罗列了很多图谱，通过电子计算机逐一验证完成，全面的逻辑的人工推理证明尚待有志者．\n２８．（２０１１·山东济宁模拟）数学课上，李老师出示了这样一道题３０．（２０１１·山东烟台模拟）已知：如图，在四边形犃犅犆犇中，目：如图（１），正方形犃犅犆犇的边长为１２，犘为边犅犆延长线∠犃犅犆＝９０°，犆犇⊥犃犇，犃犇２＋犆犇２＝２犃犅２．上的一点，犈为犇犘的中点，犇犘的垂直平分线交边犇犆于点（１）求证：犃犅＝犅犆；犕，交边犃犅的延长线于点犖．当犆犘＝６时，犈犕与犈犖的比（２）当犅犈⊥犃犇于犈时，试证明：犅犈＝犃犈＋犆犇．值是多少？经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过点犈作直线平行于犅犆交犇犆、犃犅分别于犉、犌，如图（２），则可得犇犉＝犉犆犇犈，因为犇犈＝犈犘，所以犇犉＝犉犆．可求出犈犉和犈犌的值，犈犘进而可求得犈犕与犈犖的比值．（第３０题）（１）请按照小明的思路写出求解过程；（２）小东又对此题作了进一步探究，得出了犇犘＝犕犖的结论．你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由．３１．（２０１１·湖北襄阳）如图，点犇、犈在△犃犅犆的边犅犆上，连结（第２８题）犃犇、犃犈．①犃犅＝犃犆；②犃犇＝犃犈；③犅犇＝犆犈．以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②③；①③②；②③①．（１）以上三个命题是真命题的为（直接作答）；２９．（２０１１·山东威海）如图，犃犅犆犇是一张矩形纸片，犃犇＝犅犆（２）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证＝１，犃犅＝犆犇＝５．在矩形犃犅犆犇的边犃犅上取一点犕，在明）．犆犇上取一点犖，将纸片沿犕犖折叠，使犕犅与犇犖交于点犓，得到△犕犖犓．（第３１题）（第２９题）（１）若∠１＝７０°，求∠犕犓犖的度数；１（２）△犕犖犓的面积能否小于？若能，求出此时∠１的度２数；若不能，试说明理由．（３）如何折叠能够使△犕犖犓的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．（备用图）现代数学上的三大难题（三）三是任三人中可证必有两人同性，任六人中必有三人互相认识或互相不认识（认识用红线连，不认识用蓝线连，即六质点中二色线连必出现单色三角形）．近年来国际奥林匹克数学竞赛也围绕此类热点题型遴选后备攻坚力量．（如十七个科学家讨论三课题，两两讨论一个题，证至少三个科学家讨论同一题；十八个点用两色连必出现单色四边形；两色连六个点必出现两个单色三角形，等等）单色三角形研究中，尤以不出现单色三角形的极值图谱的研究更是难点中的难点，热门中的热门．\n１７３２１７上平移４个单位得到抛物线狔＝－（狓－２）＋４．［２０１２～２０１０年全国新题精练］１．Ｃ［解析］∵２３＝３＋５，３３＝７＋９＋１１，４３＝１３＋１５＋１７＋１９，…∴犿３分裂后的第一个数是犿（犿－１）＋１，共有犿个奇数．∵４５×（４５－１）＋１＝１９８１，４６×（４６－１）＋１＝２０７１，∴第２０１３个奇数是底数为４５的数的立方分裂后的一个奇数．∴犿＝４５．２．Ｄ［解析］∵犪、犫、犮三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，∴将犪向右平移即可得到犫、犮．∵图形的平移不改变图形的大小，∴三户一样长．３．Ａ［解析］∵反比例函数狔＝１在第一象限的图象，点７．３开放探究题狓［２０１２～２０１０年浙江省新题精练］犃为此图象上的一动点，过点犃分别作犃犅⊥狓轴和犃犆⊥狔轴，垂足分别为犅，犆．１．１２∴四边形犗犅犃犆为矩形．２．（１）－１．１（２）①过点犃作犃犈⊥狓轴于点犈，过点犅作犅犉⊥狓轴于设宽犅犗＝狓，则犃犅＝，狓点犉．１１２１则狊＝狓＋１≥２＝２狓·１＝２，当狓＝－２时，狔＝（－２）＝４，狓槡狓１即犗犈＝１，犃犈＝１，当且仅当狓＝，即狓＝１时，取等号．狓２４１犗犉犃犈１故函数狊＝狓＋（狓＞０）的最小值为２．由△犃犈犗∽△犗犉犅，得：＝＝．狓犅犉犈犗２１设犗犉＝狋，则犅犉＝２狋，故２（狓＋狓）＝２×２＝４，则四边形犗犅犃犆周长的最小值为４．４．Ｃ［解析］①②③都能判断．５．Ａ［解析］由相似形性质知犛△犃犉犇＝４犛△犈犉犅．６．８［解析］沿一条直线对折后能完全重合的图形叫轴对称图形．７．犪４·犪２＝犪６（答案不唯一）８．∠犇＝∠犆或∠犈＝∠犅或犃犇＝犃犈．犃犆犃犅［解析］∵∠１＝∠２，（第２题）∴∠１＋∠犅犃犈＝∠２＋∠犅犃犈，即∠犇犃犈＝∠犆犃犅．∴狋２＝２狋，解得狋１＝０（舍去），狋２＝２．当∠犇＝∠犆或∠犈＝∠犅或犃犇犃犈时，△犃犇犈∽＝∴犅（２，４）．犃犆犃犅②过点犆作犆犌⊥犌犉于点犌，△犃犆犅．１１∵△犃犈犗≌△犅犌犆，９．（－２，－２）［解析］由犃点向直线狔＝狓作垂线，因１１∴犆犌＝犗犈＝，犅犌＝犃犈＝．为垂线段最短．２４１３１１７１０．答案不唯一例如：圆或正方体等．∴狓犮＝２－２＝２，狔犮＝４＋４＝４．１１．答案不唯一例如：犃犆＝犆犇．３１７１２．５［解析］犃犅边上有两点，其余三边各有一点满足要求．∴点犆（２，４）．１３．４［解析］用６根火柴棒搭成正四面体，四个面都是正三设过犃、犅两点的抛物线解析式为狔＝－狓２＋犫狓＋犮，由题角形．意得１４．不唯一，可以是：犃犅∥犆犇或犃犇＝犅犆，∠犅＋∠犆＝１８０°，烄１１，∠犃＋∠犇＝１８０°等．（只要填写一种情况）－犫＋犮＝犫＝３，烅２２解得｛１５．例如狔＝１．［解析］只要犽为负数即可．烆２犫＋犮＝８．犮＝２．－狓∴经过犃、犅两点的抛物线解析式为狔＝－狓２＋３狓＋２．１６．①③［解析］犪犫＝犪（１－犫），犫犪＝犫（１－犪），３３２３１７∴②不正确；当狓＝２时，狔＝－（２）＋３×２＋２＝４，所以点犆也若犪犫＝０，则犪（１－犫）＝０得犪＝０或犫＝１，在抛物线上．∴④不正确．故经过犃、犅、犆三点的抛物线解析式为狔＝狓２＋３狓＋２＝１７．（１）等腰３２１７（２）∵抛物线狔＝－狓２＋犫狓（犫＞０）的“抛物线三角形”－（狓－２）＋４．是等腰直角三角形，３犫犫２犫犫２平移方案：先将抛物线狔＝－狓２向右平移个单位，再向∴该抛物线的顶点（，）满足＝（犫＞０）．２２４２４\n∴犫＝２．（３）存在．在△犃犅犆和△犇犈犉中，如图，作△犗犆犇与△犗犃犅关于原点犗中心对称，烄犃犅＝犇犈，则四边形犃犅犆犇为平行四边形．∵烅∠犅＝∠犈，当犗犃＝犗犅时，平行四边形犃犅犆犇为矩形．烆犅犆＝犈犉，又∵犃犗＝犃犅，∴△犃犅犆≌△犇犈犉．∴△犗犃犅为等边三角形．∴∠１＝∠２．作犃犈⊥犗犅，垂足为犈．情况二：题设：①③④；结论：②．∴犃犈＝槡３犗犈．在△犃犅犆和△犇犈犉中，犫′２犫′∴＝槡３·（犫′＞０）．烄犃犅＝犇犈，４２∵烅∠犅＝∠犈，∴犫′＝２槡３．烆∠１＝∠２，∴犃（槡３，３），犅（２槡３，０）．∴△犃犅犆≌△犇犈犉．∴犆（－槡３，－３），犇（－２槡３，０）．∴犅犆＝犈犉．设过点犗、犆、犇三点的抛物线狔＝犿狓２＋狀狓，则∴犅犆－犉犆＝犈犉－犉犆，即犅犉＝犈犆．１２犿－２槡３狀＝０，犿＝１，情况三：题设：②③④；结论：①．｛解得（．）∵犅犉＝犈犆，３犿－槡３狀＝－３．狀＝２槡３∴犅犉＋犆犉＝犈犆＋犆犉，即犅犆＝犈犉．∴所求抛物线的表达式为狔＝狓２＋２槡３狓．在△犃犅犆和△犇犈犉中，烄∠犅＝∠犈，∵烅犅犆＝犈犉，烆∠１＝∠２，∴△犃犅犆≌△犇犈犉．∴犃犅＝犇犈．（注：若题设为①②④，结论为③则不可以）２０．（１）①结论：犅犇＝犆犈，犅犇⊥犆犈．②结论：犅犇＝犆犈，犅犇⊥犆犈．理由如下：（第１７题）∵∠犅犃犆＝∠犇犃犈＝９０°，１８．（１）命题１：如果①，②，那么③；命题２：如果①，③，那么∴∠犅犃犆－∠犇犃犆＝∠犇犃犈－∠犇犃犆．②．即∠犅犃犇＝∠犆犃犈．在Ｒｔ△犃犅犇与Ｒｔ△犃犆犈中，烄犃犅＝犃犆，烅∠犅犃犇＝∠犆犃犈，烆犃犇＝犃犈．∴△犃犅犇≌△犃犆犈．∴犅犇＝犆犈，（第１８题）∠犃犅犇＝∠犃犆犈．（２）命题１的证明：延长犅犇交犃犆于犉，交犆犈于犎．∵犃犈∥犇犉，在△犃犅犉和△犎犆犉中，∴∠犃＝∠犇．∵∠犃犅犉＝∠犎犆犉，∠犃犉犅＝∠犎犉犆，∵犃犅＝犆犇，∴∠犆犎犉＝∠犅犃犉＝９０°．∴犃犅＋犅犆＝犆犇＋犅犆，即犃犆＝犇犅．∴犅犇⊥犆犈．在△犃犈犆和△犇犉犅中，（２）结论：乙．犃犅∶犃犆＝犃犇∶犃犈，∠犅犃犆＝∠犇犃犈＝∵∠犈＝∠犉，∠犃＝∠犇，犃犆＝犇犅，９０°．∴△犃犈犆≌△犇犉犅（ＡＡＳ）．２１．（１）③，①∴犆犈＝犅犉（全等三角形对应边相等）．（２）小芳从家出发去书店看了一会儿书，又返回家中（注：命题２的证明：本题答案不唯一，但必须要有３个情境，即“从家出发”，∵犃犈∥犇犉，“过程有停留”，“终点回到家”）∴∠犃＝∠犇．２２．（１）如图（１），连结犃犌，在△犃犈犆和△犇犉犅中，∵正方形犃犈犌犎的顶点犈、犎在正方形犃犅犆犇的边∵∠犈＝∠犉，∠犃＝∠犇，犆犈＝犅犉，上，∴△犃犈犆≌△犇犉犅（犃犃犛）．∴∠犌犃犈＝∠犆犃犅＝４５°，犃犈＝犃犎，犃犅＝犃犇．∴犃犆＝犇犅（全等三角形对应边相等），则犃犆－犅犆＝犇犅－犅犆，即犃犅＝犆犇．∴犃、犌、犆共线，犃犅－犃犈＝犃犇－犃犎．注：命题“如果②，③，那么①”是假命题．∴犎犇＝犅犈．１９．情况一：题设：①②③；结论：④．∵犃犌＝犃犈＝槡２犃犈，犃犆＝犃犅＝槡２犃犅．ｓｉｎ４５°ｓｉｎ４５°∵犅犉＝犈犆，∴犅犉＋犆犉＝犈犆＋犆犉，即犅犆＝犈犉．∴犌犆＝犃犆－犃犌＝槡２犃犅－槡２犃犈＝槡２（犃犅－犃犈）＝槡２犅犈．∴犎犇∶犌犆∶犈犅＝１∶槡２∶１．（２）如图（２），连结犃犌、犃犆，∵△犃犇犆和△犃犎犌都是等腰直角三角形，∴犃犇∶犃犆＝犃犎∶犃犌＝１∶槡２，（第１９题）\n∠犇犃犆＝∠犎犃犌＝４５°．（３）犗犕＝犗犖，犗犕⊥犗犖．理由如下：∴∠犇犃犎＝∠犆犃犌．如图，连结犆犗，则犆犗是边犃犅上的中线．∴△犇犃犎∽△犆犃犌．∵∠犃犆犅＝９０°，∴犎犇∶犌犆＝犃犇∶犃犆＝１∶槡２．∴犗犆＝１犃犅＝犗犅．∵∠犇犃犅＝∠犎犃犈＝９０°，２又犆犃＝犆犅，∴∠犇犃犎＝∠犅犃犈．在△犇犃犎和△犅犃犈中，∴∠犆犃犅＝∠犅＝４５，∠１＝∠２＝４５°，∠犃犗犆＝∠犅犗犆烄犃犇＝犃犅，＝９０°．烅∠犇犃犎＝∠犅犃犈，∴∠２＝∠犅．烆犃犎＝犃犈，∵犅犖⊥犇犈，∴△犇犃犎≌△犅犃犈（ＳＡＳ）．∴∠犅犖犇＝９０°．∴犎犇＝犈犅．又∠犅＝４５°，∴犎犇∶犌犆∶犈犅＝１∶槡２∶１．∴∠３＝４５°．（３）有变化．∴∠３＝∠犅．如图（３），连结犃犌、犃犆．∴犇犖＝犖犅．∵犇犃∶犃犅＝犎犃∶犃犈＝犿∶狀，∵∠犃犆犅＝９０°，又∠犃犇犆＝∠犃犎犌＝９０°，∴∠犖犆犕＝９０°．又犅犖⊥犇犈，∴△犃犇犆∽△犃犎犌．∴犃犇∶犃犆＝犃犎∶犃犌＝犿∶槡犿２＋狀２，∠犇犃犆＝∴∠犇犖犆＝９０°．∴四边形犇犕犆犖是矩形．∠犎犃犌．∴犇犖＝犕犆．∴∠犇犃犎＝∠犆犃犌．∴犕犆＝犖犅．∴△犇犃犎∽△犆犃犌．又∠１＝∠２＝∠犅，∴犎犇∶犌犆＝犃犇∶犃犆＝犿∶槡犿２＋狀２．犗犆＝犗犅，∵∠犇犃犅＝∠犎犃犈＝９０°，∴△犕犗犆≌△犖犗犅（ＳＡＳ）．∴∠犇犃犎＝∠犅犃犈．∴犗犕＝犗犖，∠犕犗犆＝∠犖犗犅．∵犇犃∶犃犅＝犎犃∶犃犈＝犿∶狀，∴∠犕犗犆－∠犆犗犖＝∠犖犗犅－∠犆犗犖，∴△犃犇犎∽△犃犅犈．即∠犕犗犖＝∠犅犗犆＝９０°．∴犇犎∶犅犈＝犃犇∶犃犅＝犿∶狀．∴犗犕⊥犗犖．∴犎犇∶犌犆∶犈犅＝犿∶槡犿２＋狀２∶狀．（第２３题）２４．表中填：６，６．关系式：犳＝犿＋狀－１．（２）当犿，狀不互质时，关系式犳＝犿＋狀－１不成立．例如：当犿＝２，狀＝２时，如图，对角线所穿过的小正方形个数犳＝２，而犿＋狀＝４，等式犳＝犿＋狀－１不成立．（第２４题）（第２２题）１２３．（１）等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、２５．结论为：犈犉∥犃犇∥犅犆，犈犉＝２（犃犇＋犅犆）．理由如下：底边上的中线、底边上的高互相重合）；角平分线上的点到角的两边距离相等．（２）证明：∵犆犃＝犆犅，∴∠犃＝∠犅．∵犗是犃犅的中点，∴犗犃＝犗犅．∵犇犉⊥犃犆，犇犈⊥犅犆，（第２５题）∴∠犃犕犗＝∠犅犖犗＝９０°．如图，连结犃犉并延长交犅犆于点犌．∵在△犗犕犃和△犗犖犅中，∵犃犇∥犅犌，烄∠犃＝∠犅，∴∠犇犃犉＝∠犌．烅犗犃＝犗犅，在△犃犇犉和△犌犆犉中，烆∠犃犕犗＝∠犅犖犗，烄∠犇犃犉＝∠犌，∴△犗犕犃≌△犗犖犅（ＡＡＳ）．烅∠犇犉犃＝∠犆犉犌，∴犗犕＝犗犖．烆犇犉＝犉犆，\n∴△犃犇犉≌△犌犆犉．∴当犘犙⊥犃犅时，犘犙的长最小，即为５．∴犃犉＝犉犌，犃犇＝犆犌．问题４：如图（３），设犘犙与犃犅相交于点犌．又犃犈＝犈犅，∵犘犈∥犅犙，犃犈＝狀犘犃，∴犈犉∥犅犌，犈犉＝１犅犌．∴犘犃＝犃犌＝１．２犅犙犅犌狀１１∴犌是犇犆上一定点．即犈犉∥犃犇∥犅犆，犈犉＝（犃犇＋犅犆）．２作犙犎∥犘犈，交犆犅的延长线于犎，过点犆作犆犓⊥犆犇，３交犙犎的延长线于犓．２６．（１）犃犅＝３犈犎犆犌＝２犈犎２∵犃犇∥犅犆，犃犅⊥犅犆，（２）犿∴∠犇＝∠犙犎犆，∠犇犃犘＋∠犘犃犌＝∠犙犅犎＋∠犙犅犌２＝９０°，∠犘犃犌＝∠犙犅犌．作犈犎∥犃犅交犅犌于点犎，∴∠犙犅犎＝∠犘犃犇．则△犈犎犉∽△犃犅犉．∴△犃犇犘∽△犅犎犙．∴犃犅＝犃犉＝犿，犃犅＝犿犈犎．犃犇犘犃１犈犎犈犉∴犅犎＝犅犙＝狀１．∵犃犅＝犆犇，∵犃犇＝１，∴犆犇＝犿犈犎．∴犅犎＝狀＋１．∵犈犎∥犃犅∥犆犇，∴犆犎＝犅犎＋犅犆＝３＋狀＋１＝狀＋４．∴△犅犈犎∽△犅犆犌．过点犇作犇犕⊥犅犆于犕，则四边形犃犅犖犇是矩形．∴犆犌＝犅犆＝２．∴犅犕＝犃犇＝１，犇犕＝犃犅＝２．犈犎犅犈∴犆犕＝犅犆－犅犕＝３－１＝２＝犇犕．∴犆犌＝２犈犎．∴∠犇犆犕＝４５°．犆犇犿犈犎犿∴＝＝．∴∠犓犆犎＝４５°．犆犌２犈犎２（３）犪犫∴犆犓＝犆犎·ｃｏｓ４５°＝槡２（狀＋４）．２２７．问题１：∵四边形犘犆犙犇是平行四边形，若对角线犘犙、犇犆相等，则四边形犘犆犙犇是矩形，∴当犘犙⊥犆犇时，犘犙的长最小，最小值为槡２（狀＋４）．∴∠犇犘犆＝９０°．２∵犃犇＝１，犃犅＝２，犅犆＝３，∴犇犆＝２槡２．设犘犅＝狓，则犃犘＝２－狓．在Ｒｔ△犇犘犆中，犘犇２＋犘犆２＝犇犆２，即狓２＋３２＋（２－狓）２＋１＝８，（１）化简得狓２－２狓＋３＝０．∵Δ＝（－２）２－４×１×３＝－８＜０，∴方程无解．∴对角线犘犙与犇犆不可能相等．问题２：如图（１），在平行四边形犘犆犙犇中，设对角线犘犙与犇犆相交于点犌，则犌是犇犆的中点．过点犙作犙犎⊥犅犆，交犅犆的延长线于犎．∵犃犇∥犅犆，（２）∴∠犃犇犆＝∠犇犆犎，即∠犃犇犘＋∠犘犇犌＝∠犇犆犙＋∠犙犆犎．∵犘犇∥犆犙，∴∠犘犇犆＝∠犇犆犙．∴∠犃犇犘＝∠犙犆犎．又犘犇＝犆犙，∴Ｒｔ△犃犇犘≌Ｒｔ△犎犆犙．∴犃犇＝犎犆．∵犃犇＝１，犅犆＝３，∴犅犎＝４．∴当犘犙⊥犃犅时，犘犙的长最小，即为４．（３）问题３：如图（２），设犘犙与犇犆相交于点犌．（第２７题）∵犘犈∥犆犙，犘犇＝犇犈，２８．（１）过犈作直线平行于犅犆交犇犆、犃犅分别于点犉、犌，犇犌犘犇１犇犉犇犈犈犕犈犉∴＝＝．则＝，＝，犌犉＝犅犆＝１２．犌犆犆犙２犉犆犈犘犈犖犈犌∴犌是犇犆上一定点．∵犇犈＝犈犘，作犙犎⊥犅犆，交犅犆的延长线于点犎．∴犇犉＝犉犆．同理可证∠犃犇犘＝∠犙犆犎．１１∴犈犉＝犆犘＝×６＝３，∴Ｒｔ△犃犇犘∽Ｒｔ△犎犆犙，２２犃犇犘犇１犈犌＝犌犉＋犈犉＝１２＋３＝１５．即＝＝．犆犎犆犙２犈犕犈犉３１∴＝＝＝．∴犆犎＝２．犈犖犈犌１５５∴犅犎＝犅犆＋犆犎＝３＋２＝５．（２）正确作犕犎∥犅犆交犃犅于点犎，\n则犕犎＝犆犅＝犆犇，∠犕犎犖＝９０°．∵∠犇犆犘＝１８０°－９０°＝９０°，设犕犓＝犃犓＝犆犓＝狓，则犇犓＝５－狓．∴∠犇犆犘＝∠犕犎犖．同理可得犕犓＝犖犓＝２．６．∴犛１△犕犖犓＝×１×２．６＝１．３．２∴△犕犖犓的面积最大值为１．３．３０．（１）连结犃犆．∵∠犃犅犆＝９０°，（第２８题）∴犃犅２＋犅犆２＝犃犆２．∵∠犕犖犎＝∠犆犕犖＝∠犇犕犈＝９０°－∠犆犇犘，∠犇犘犆＝９０°－∠犆犇犘，∴∠犇犘犆＝∠犕犖犎．∴△犇犘犆≌△犕犖犎．∴犇犘＝犕犖．２９．（１）∵犃犅犆犇是矩形，∴犃犕∥犇犖．（第３０题）∴∠犓犖犕＝∠１．∵∠犓犕犖＝∠１，∵犆犇⊥犃犇，∴∠犓犖犕＝∠犓犕犖．∴犃犇２＋犆犇２＝犃犆２．∵∠１＝７０°，∵犃犇２＋犆犇２＝２犃犅２，∴∠犓犖犕＝∠犓犕犖＝７０°．∴犃犅２＋犅犆２＝２犃犅２．∴∠犕犓犖＝４０°．∴犃犅＝犅犆．（２）不能．（２）过犆作犆犉⊥犅犈于犉．如图（１），过点犕作犕犈⊥犇犖，垂足为犈，则犕犈＝犃犇＝∵犅犈⊥犃犇，１．∴四边形犆犇犈犉是矩形．∴犆犇＝犈犉．∵∠犃犅犈＋∠犅犃犈＝９０°，∠犃犅犈＋∠犆犅犉＝９０°，∴∠犅犃犈＝∠犆犅犉．∴△犅犃犈≌△犆犅犉．∴犃犈＝犅犉．（第２９题（１））∴犅犈＝犅犉＋犈犉＝犃犈＋犆犇．由（１）知∠犓犖犕＝∠犓犕犖．３１．（１）①②③，①③②，②③①∴犕犓＝犖犓．（２）选择①②→③．又犕犓≥犕犈，过点犃作犃犉⊥犅犆，垂足为犉，由等腰三角形三线合一性∴犖犓≥１．质知犅犉＝犆犉，犇犉＝犈犉，１１∴犅犉－犇犉＝犆犉－犈犉，即犅犇＝犆犈．∴犛△犕犖犓＝犖犓·犕犈≥．２２∴△犕犖犓的面积最小值为１，不可能小于１．２２（３）分两种情况：情况一：如图（２），将矩形纸片对折，使点犅与点犇重合，此时点犓也与点犇重合．（第３１题）（第２９题（２））设犕犓＝犕犇＝狓，则犃犕＝５－狓，由勾股定理，得１２＋（５－狓）２＝狓２．解得狓＝２．６，即犕犇＝犖犇＝２．６．∴犛１△犕犖犓＝犛△犖犆犓＝×１×２．６＝１．３．２情况二：如图（３），将矩形纸片沿对角线犃犆对折，此时折痕为犃犆．（第２９题（３））