【3年中考2年模拟】江苏省2022届中考数学 热点题型 7.3开放探究题（pdf） 新人教版

,!1!开放探究题!!题型特点#这类问题具有较强的综合性!涉及的数学基础知识较为广探究性问题为学生提供了广阔的思维空间!有利于调动学#泛!既能考查学生对基础知识掌握的熟练程度!又能考查学生的生的创新意识和探究兴趣!成为近几年中考的热点题型之一!探#观察$分析$概括能力!能从具体$特殊的事实中探究其存在的规#究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论!需要经#律!把藏在表面现象中的一般规律挖掘出来!过推断$补充并加以证明的题型!探究性问题具有以下特点*#命题趋势#%!条件的不确定性!开放探究性问题是一个充满着观察$归纳$猜想$尝试$探究##!结构的多样性!#的发现过程!需要学生对问题进行多方位$多角度$多层次的思1!思维的多向性!#考$审视!对培养学生的创造性思维能力$推理能力$直觉思维能"!解答的层次性!#力和全面提高学生的数学素养具有重要的意义!倍受中考命题#!!过程的探究性!#者的青睐!是中考试题的热点之一!&!知识的探究性!##1#合性很强!熟练掌握直角三角形的相关性质以及三角形的面积!!3例4!'#$%#!湖南湘潭(如图!抛物线+60););#'0##公式是理出思路的关键!-$(的图象与)轴交于"$#两点!与+轴交于点$!已知点#坐#3解答4!'%(将#'"!$(代入抛物线的解析式中!得标为'"!$(!##1%$6%&0;<";#!即06!'%(求抛物线的解析式,###'#(试探究""#$的外接圆的圆心位置!并求出圆心坐标,#%#1#T!抛物线的解析式为+6#);#);#!'1(若点2是线段#$下方的抛物线上一点!求"2#$的面积的最大值!并求出此时点2的坐标!#'#(由'%(的函数解析式可求得"';%!$($$'$!;#(!###T!8"6%!8$6#!8#6"!即8$68"18#!#又!8$+"#!#T!"8"$,"8$#!##T!/8$"6/8#$!#T!/"$#6/8$"4/8$#6/8#$4/8$#6.$5!#T!""#$为直角三角形!"#为""#$外接圆的直径!##所以该外接圆的圆心为"#的中点!且坐标为'1!$(!3命题意图分析4!探索是人类认识客观世界过程中最生##动$最活跃的思维活动!探索性问题存在于一切学科领域之中!#'1(由#'"!$($$'$!;#(!可得直线#$的解析式为+6在数学中则更为普遍!初中数学中的%探索发现&型试题是指命#%);#!##题中缺少一定的题设或未给出明确的结论!需要经过推断$补充#%并加以证明的命题!它不像传统的解答题或证明题!在条件和结#设直线A'#$!则该直线的解析式可表示为+6)41!##论给出的情景中只需进行由因导果或由果索因的工作!从而定#当直线A与抛物线只有一个交点时!可列方程格于%条件222演绎222结论&这样一个封闭的模式之中!而是#%%#1#必须利用题设大胆猜想$分析$比较$归纳$推理!或由条件去探##)416#);#);#!即);");";#16$!且#6$!#索不明确的结论,或由结论去探索未给予的条件,或去探索存在T!"#;"<';";#1(6$!即16;"!#的各种可能性以及发现所形成的客观规律!开放性试题重在开#%T!直线A*+6);"!发思维!促进创新!提高数学素养!所以是近几年中考试题的热##点考题!观察$实验$猜想$论证是解决这类问题的科学思维方#由于("2#$6#$<F!当F最大'即点2到直线#$的距离#法!学习中应重视并应用!最远(时!""#$的面积最大!#本题考查了二次函数综合题!但用到的琐碎知识点较多!综#所以点2即直线A和抛物线的唯一交点!有>C&在南美洲的某些地区!有一种毒性极强的蛇"""响尾蛇!它的尾巴剧烈地摇动发出流水似的声音!引诱在炎热天气里口渴的小动物上钩!从而捕食之!响尾蛇为什么能发出响声呢)观察裁判员吹的%裁判哨&可以得出结论*金属壳子里装上了一层隔膜!形成了两个空泡!当人用力吹时!空泡受到空气的振动发出声音!响尾蛇的尾巴与哨子有类似的构造!它的外壳不是金属!而是由坚硬的皮肤形成的角质轮!轮内的空腔又被角质膜隔成两个环状空泡!当响尾蛇剧烈摇动尾巴时!就像人吹哨子一样!空泡受空气的振动而发出声音!\n2%#1#定圆心坐标!+6););#!##解得)6#!#'1("2#$的面积可由("2#$6#$<F表示!若要它的面积16!+6%);"!+6;1#最大!需要使F取最大值!即点2到直线#$的距离最大!若设3##一条平行于#$的直线!那么当该直线与抛物线有且只有一个交T!2'#!;1(!##点时!该交点就是点2!3方法点拨4!'%(该函数解析式只有一个待定系数!只需将#3误区警示4!本题探究主要在第'1(问!要注意条件的运点#坐标代入解析式中即可!#用!当直线与抛物线只有一个交点时!联立方程组时取#6$,例'#(首先根据抛物线的解析式确定点"坐标!然后通过证明#外三角形底边一定!要想面积最大!只要高最大即可!""#$是直角三角形来推导出直径"#和圆心的位置!由此确#!"#!!!"#"年江苏省中考真题演练一$填空题##"!'#$%#!扬州(已知抛物线+60)41)44经过"';%!$($##'1!$($$'$!1(三点!直线A是抛物线的对称轴!%!'#$%#!连云港(写一个比槡1大的整数是!!!!!#'%(求抛物线的函数关系式,#!'#$%#!盐城(如图!在四边形"#$%中!已知"#'%$!"#6#%$!在不添加任何辅助线的前提下!要想该四边形成为矩形!#'#(设点5是直线A上的一个动点!当"5"$的周长最小时!只需再加上的一个条件是!!!!!'填上你认为正确的一个#求点5的坐标,#'1(在直线A上是否存在点2!使"2"$为等腰三角形)若答案即可(#存在!直接写出所有符合条件的点2的坐标,若不存在!##请说明理由!###'第#题(#三$解答题##1!'#$%#!南京(看图说故事!#请你编写一个故事!使故事情境中出现的一对变量)!+满足#图示的函数关系!要求*##!指出变量)和+的含义,#"利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义!其中#须涉及%速度&这个量!###'第"题(#######'第1题(##############!¡¢1£~¤¥听觉器官接受连续几个小时过强刺激后!听觉器官的感受性会因过度刺激而显著降低!这和适应现象不同!往往要经过几个小时!甚至一昼夜或几天!听觉的感受性才能恢复!这种由于长时间强刺激引起听觉感受性较长的时间的下降现象!称为听觉疲劳!如果连续几个月或几年!听觉器官经常受到致疲劳噪音的作用!则听觉正常感受性不能完全恢复!有的会导致内耳毛细胞和神经细胞的退行性变!听力不断下降!造成耳聋!严重的会引起耳鸣!妨碍睡眠!引起血压升高和胃肠功能紊乱等!\n!!'#$%#!苏州(如图!已知抛物线+6%)#;%'14%()41#"""#'1是实数且1&#(与)轴的正半轴分别交于点"$#'点"位#于点#的左侧(!与+轴的正半轴交于点$!##'%(点#的坐标为!!!!!点$的坐标为!!!!,'用含1#!!!!的代数式表示(#'#(请你探索在第一象限内是否存在点5!使得四边形5$8##'第&题('备用图(#的面积等于#1!且"5#$是以点5为直角顶点的等腰直#角三角形)如果存在!求出点5的坐标,如果不存在!请#说明理由,##'1(请你进一步探索在第一象限内是否存在点/!使得#"/$8$"/8"和"/"#中的任意两个三角形均相似#'全等可看作相似的特殊情况()如果存在!求出点/的##坐标,如果不存在!请说明理由!###,!'#$%$!泰州(在平面直角坐标系中!直线+6=)41'=为常数#且=-$(分别交)轴$+轴于点"$#!(8半径为槡!个单位长#度!##'%(如图'%(!若点"在)轴正半轴上!点#在+轴正半轴上!#且8"68#!#!求=的值,#'第!题(#"若16"!点5为直线+6=)41上的动点!过点5作#(8的切线5$$5%!切点分别为$$%!当5$+5%时!#求点5的坐标!#%#'#(若=6;!直线+6=)41将圆周分成两段弧长之比为###%=#!求1的值!'图'#(供选用(###&!'#$%$!常州(如图!在矩形"#$%中!"#6-!"%6&!点5$##/分别是边"#和边$%上的动点!点5从点"向点#运#动!点/从点$向点%运动!且保持"56$/!设"56)!#'%(当5/'"%时!求)的值,#'#(当线段5/的垂直平分线与边#$相交时!求)的取值##范围,#'1(当线段5/的垂直平分线与#$相交时!设交点为&!连结#'第,题(&5$&/!设"&5/的面积为(!求(关于)的函数关系##式!并写出(的取值范围!##!"#!!!"#"年全国中考真题演练一$选择题#%!'#$%#!江西南昌(如图!有0!1!4三户家用电路接入电表!相##邻电路的电线等距排列!则三户所用电线'!!(!#'(0户最长)(1户最长#*(4户最长+(三户一样长#####!!#'第%题('第#题(¦§+i¨h*3,%!化圆为方"""求作一正方形使其面积等于一已知圆的面积!#!三等分任意角!1!倍立方"""求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍!圆与正方形都是常见的几何图形!但如何作一个和已知圆等面积的正方形呢)若已知圆的半径为%!则其面积为$'%(#6&!所以化圆为方的问题等于去求一正方形!其面积为$!也就是用尺规作出长度为槡&的线段!\n#!'#$%#!贵州六盘水(如图为反比例函数+6%在第一象限的#)#图象!点"为此图象上的一动点!过点"分别作"#+)轴和##"$++轴!垂足分别为#$$!则四边形8#"$周长的最小值#为'!!(!#!!'(")(1#'第.题('第%$题(*(#+(%##%$!'#$%#!辽宁丹东(如图!边长为&的正方形"#$%内部有1!'#$%%!四川达州(如图!在."#$%中!&是#$的中点!且#一点5!#56"!/5#$6&$5!点/为正方形边上一动点!且/"&$6/%$&!则下列结论不正确的是'!!(!#!!!"5#/是等腰三角形!则符合条件的点/有!!!!个!#%%!'#$%#!贵州黔东南州(用&根相同长度的木棒在空间中最##多可搭成!!!!个正三角形!#%#!'#$%#!山东德州(在四边形"#$%中!"#6$%!要使四边#形"#$%是中心对称图形!只需添加一个条件!这个条件可'第1题(##以是!!!!!'((""'%6#("&'##%1!'#$%%!安徽(定义运算04160'%;1(!下列给出了关于这)(#'6%%'##种运算的几点结论*#*(四边形"&$%是等腰梯形#!#4';#(6&,+(/"&#6/"%$#"0416140,二$填空题##若0416$!则'040(4'141(6#01,#"!'#$%#!贵州遵义(在"<"的方格中有五个同样大小的正方#%若0416$!则06$!形如图摆放!移动其中一个正方形到空白方格中!与其余四个#其中正确结论序号是!!!!!'在横线上填上你认为所有#正确结论的序号(正方形组成的新图形是一个轴对称图形!这样的移法共有#三$解答题!!!!种!###%"!'#$%#!陕西(如果一条抛物线+60)41)44'0-$(与)#轴有两个交点!那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点#的三角形称为这条抛物线的%抛物线三角形&!##'%(%抛物线三角形&一定是!!!!三角形,#'#(若抛物线+6;)#41)'1&$(的%抛物线三角形&是等腰#直角三角形!求1的值,'第&题(#'1(如图!"8"#是抛物线+6;)#41;)'1;&$(的%抛物线#!!'#$%#!山东滨州(根据你学习的数学知识!写出一个运算结#三角形&!是否存在以原点8为对称中心的矩形"#$%)果为0&的算式!!!!!!!#若存在!求出过8$$$%三点的抛物线的表达式,若不存&!'#$%#!贵州安顺(如图!/%6/#!添加一个条件使得#在!说明理由!#""%&,""$#!!!!!#######!!#'第%"题('第&题('第,题(##,!'#$%#!四川广元(如图!点"的坐标为';%!$(!点#在直线#+6)上运动!当线段"#最短时!点#的坐标为!!!!!#-!'#$%#!新疆(请你写出一个主视图与左视图相同的立体图形#是!!!!!##.!'#$%#!四川绵阳(如图所示!#$6&$!/%6/#!要使#""#$0"%&$!则应添加的一个条件为!!!!!##!¦§+i¨h*4,三大问题的第二个是三等分一个角的问题!对于某些角!如.$5$%-$5角进行三等分并不难!但是否所有角都可以三等分呢)例如&$5!若能三等分则可以画出#$5的角!那么正十八边形及正九边形也都可以作出来了'注*圆内接正十八边形每一边所对的圆心角为1&$5>%-6#$5(!其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的!\n%!!'#$%#!四川广元(如图!在""&$和"%'#中!/&6/'!#%,!'#$%#!辽宁阜新('%(如图!在""#$和""%&中!"#6点"$#$$$%在同一直线上!有如下三个关系式*!"&'#"$!"%6"&!/#"$6/%"&6.$5!#%'!""#6$%!#$&6#'!!当点%在"$上时!如图'%(!线段#%$$&有怎样的数量#'%(请用其中两个关系式作为条件!另一个作为结论!写出你#关系和位置关系)直接写出你猜想的结论!认为正确的所有命题'用序号写出命题书写形式*%如果#"将图'%(中的""%&绕点"顺时针旋转"角'$5$"$#44!那么4&(,.$5(!如图'#(!线段#%$$&有怎样的数量关系和位置关#'#(选择'%(中你写出的一个命题!说明它正确的理由!系)请说明理由!##'#(当""#$和""%&满足下面甲$乙$丙中的哪个条件#时!使线段#%$$&在'%(中的位置关系仍然成立)不必#说明理由!##甲*"#="$6"%="&6%!/#"$6/%"&-.$5,#乙*"#="$6"%="&-%!/#"$6/%"&6.$5,'第%!题(#丙*"#="$6"%="&-%!/#"$6/%"&-.$5!#########'第%,题(####%&!'#$%#!福建漳州(在数学课上!林老师在黑板上画出如图所#示的图形'其中点#$'$$$&在同一直线上(!并写出四个条#件*!"#6%&!"#'6&$!#/#6/&!%/%6/#!#请你从这四个条件中选出三个作为题设!另一个作为结论!##组成一个真命题!并给予证明!!!!#题设*!!!!,结论*!!!!!'均填写序号(#证明*#%-!'#$%#!吉林(在如图所示的三个函数图象中!有两个函数图#象能近似地刻画如下0!1两个情境*#情境0*小芳离开家不久!发现把作业本忘在家里!于是返回##家里找到了作业本再去学校,#情境1*小芳从家出发!走了一段路程后!为了赶时间!以更#快的速度前进!'第%&题(#'%(情境0!1所对应的函数图象分别为!!!!!!!!!,##'填写序号(#'#(请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境!########'第%-题(#########¦§+i¨h*+,第三个问题是倍立方!埃拉托塞尼'公元前#,&年$公元前%.!年(曾经在记述一个神话时提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍!有人主张将每边长加倍!但我们都知道那是错误的!因为体积已经变成原来的-倍!这些问题困扰数学家一千多年都不得其解!而实际上这三大问题都不可能用直尺$圆规经有限步骤解决!\n%.!'#$%#!安徽(在由*<-'*<-&%(个小正方形组成的矩形##%!'#$%%!山东威海(如图!"#$%是一张矩形纸片!"%6#$网格中!研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数G!#6%!"#6$%6!!在矩形"#$%的边"#上取一点2!在#'%(当*!-互质'*!-除%外无其他公因数(时!观察下列图$%上取一点3!将纸片沿23折叠!使2#与%3交于点#形并完成下表*#H!得到"23H!#####'第#%题(##'%(若/%6,$5!求/2H3的度数,#%#'#("23H的面积能否小于)若能!求出此时/%的度##'第%.题(#数,若不能!试说明理由!#'1(如何折叠能够使"23H的面积最大)请你利用备用图*-*4-G#探究可能出现的情况!求出最大值!#%#1###%1"1##'备用图(#1!"#1",##1!,##猜想*当*!-互质时!在*<-的矩形网格中!一条对角#线所穿过的小正方形的个数G与*!-的关系式是#!!!!,'不需要证明(##'#(当*!-不互质时!请画图验证你猜想的关系式是否依然#成立!####!'#$%%!湖北襄阳(如图!点%$&在""#$的边#$上!连结#"%$"&!!"#6"$,""%6"&,##%6$&!以此三个等#式中的两个作为命题的题设!另一个作为命题的结论!构成##三个命题*!"5#,!#5","#5!!#'%(以上三个命题是真命题的为!!!!,'直接作答(#'#(请选择一个真命题进行证明!'先写出所选命题!然后证##$!'#$%#!山东滨州(我们知道%连结三角形两边中点的线段叫#明(三角形的中位线&!%三角形的中位线平行于三角形的第三##边!且等于第三边的一半&!类似的!我们把连结梯形两腰中#点的线段叫做梯形的中位线!如图!在梯形"#$%中!"%'##$!点&$'分别是"#$$%的中点!那么&'就是梯形"#6##$%的中位线!通过观察$测量!猜想&'和"%$#$有怎样#'第##题(的位置和数量关系)并证明你的结论!########'第#$题(#######!©ª'(«1+i¬h*3,一是有#$棵树!每行四棵!古罗马$古希腊在%&世纪就完成了%&行的排列!%-世纪高斯猜想能排%-行!%.世纪美国劳埃德完成此猜想!#$世纪末两位电子计算机高手完成#$行纪录!跨入#%世纪还会有新突破吗)\n*!%!开放探究题!#$!#!#$!$年江苏省中考真题演练"!!答案不唯一&比如+$(%(',$!答案不唯一&/(4,.=!%!本题答案不唯一&下列解法供参考!#该函数图象表示小明骑车离出发地的路程,#单位+@A$与他所用的时间%#单位+A;<$的关系!$小明以'..A.A;<的速度匀速骑了(A;<&在原地休息了)A;<&然后以(..A.A;<的速度匀速骑车回出发地!'!#!$将(#2!&.$('#%&.$(&#.&%$代入抛物线,4"%$1$%13中&得+,"2$134.&,"42!&+,"1%$134.&解得+$4$&-34%!-34%!?!抛物线的解析式,42%$1$%1%!#$$连结'&&直线'&与直线E的交点为=!设直线'&的解析式为,4-%1$&将'#%&.$&&#.&%$代入上式&得+%-1$4.&-42!&-解得$4%!-$4%!?!直线'&的函数关系式,42%1%'当%4!时&,4$&即=的坐标#!&$$!$#%$抛物线的对称轴为%424!&$"设?#!&)$&已知(#2!&.$(&#.&%$&则+?($4)$1'&?&$4)$2))1!.&(&$4!.'#若?(4?&&则?($4?&$&得+)$1'4)$2))1!.&得+)4!'$若?(4(&&则?($4(&$&得+)$1'4!.&得+)46槡)'&若?&4(&&则?&$4(&$&得+)$2))1!.4!.&得+)!4.&)$4)'当)4)时&?(((&三点共线&构不成三角形&不合题意&故舍去'#第'题$\n综上可知&符合条件的点?&且坐标为?#!&槡)$&#!&(?!9B4(B&即9B$49&%(B!(&9B92槡)$&#!&!$&#!&.$!又!9B$49(%('&($(!#!$点'的坐标为#$&.$&点&的坐标为#.&$!($%(B4!3$!'?!9&%(B49(%('&即('#$$假设存在这样的点=&使得四边形=&9'的面积等于(解得(B4'!$$&且)='&是以=为直角顶点的等腰三角形!(此时$4!*'$符合题意!设点=坐标为#%&,$&连结9=&(?!点B的坐标是#!&'$!则.四边形=&9'4.)=&91.)=9'4!%$%%1!%$%,(?!综上可知+存在点B#!&$1槡%$或B#!&'$&使得$'$(4$$&()B&9()B9(和)B('中的任意两个三角形均相似!?!%1',4!)!()!#!$当=B3(2时&%4'!过点=作=21%轴&=<1,轴&垂足分别为2(<&(#$$如图&连结<=(<B&则<=4<B&设'<4,&则(?!/=<94/<924/92=4,.=!(?!四边形=<92是矩形!(?!/<=24,.=!(>!)=&'是等腰直角三角形&(?!=&4='&/&='4,.=!(?!/<=&4/2='!(?!)=<&6)=2'!(#第)题$(#+2%$$1,$4#)2,$$1%$!?!=<4=2&即%4,!('%2*!)得,4!,%4&(%%4,&(由-!解得+(>!.&,&)&%1',4!)!)!(-,4('%2*(?!.&&)!%!)$!)由)=<&6)=2'得<&42'&即(2'4$2(&解(*$((?!&%&!''得$4!$+'$符合题意!($((#%$.)'=<4!%'<%'=4!%'%2*%#+2%$4$$%?!点=坐标为#!)&!)$!($(('%1%,%2()!()#%$假设存在这样的点B&使得)B&9()B9(和)B('(!!'%2*中的任意两个三角形均相似!(.)<&B4$%&<%&B4$%#)2%$%%4>!/B('4/(9B1/(B9&($2'%1$(%?!/B(''/(9B&/B(''/(B9!()!?!要使)B9(和)B('相似&只能/9(B4/B('4(由题意&>!(=4&B&(,.=&即B(1%轴!!(?!.梯形'=B&4.矩形('&24$'!?!$'$!($?!(''9(!(?!.4.梯形'=B&2.)'=<2.)<&B4$'22'%$1%,%2()'%$1$(%?!/B9('/B'(&(2!())?!只能/B9(4/(B'&此时/9B'4,.=!'%$2%$%1!..'由B(1%轴知B(3,轴&(整理&得.44#%2'$$1!$(%%?!/&9B4/9B(!(*$(?!要使)B9(和)9B&相似&只能/9&B4,.=或#'&%&'$!(/9B&4,.=!(当%4'时&.有最小值!$!#)$当/9&B4,.=时&)B9(6)9B&&(当%4*或%4$(时&.有最大值*(!$('''?!(B4&94!'(*(?!!$&.&!$$('由(B$49(%('得#$4$2!&'(*!#!$#-42!!解得$4+6'槡%!($由题意&得四边形9&=2为正方形&(>!$'$&?!9=4槡!.!($(('+,42%1'&?!$4+1'槡%&4$1槡%!'设点=为#%&'2%$&依题意有(?!点B的坐标是#!&$1槡%$!%$1#'2%$4!.!(#*$当/9B&4,.=时&)B9(4)9&B&(?!%4%或!!\n?!点=为#!&%$或#%&!$!(?!$不正确'#$$设直线为,42!(若"7$4.&则"#!2$$4.&得"4.或$4!!%1$!$(?!%不正确!>!将圆周分成两段弧长之比为!J$&(!'!#!$等腰?!小的圆周为!$.=!(#$$>!抛物线,42%$1$%#$'.$的)抛物线三角形*(槡(是等腰直角三角形&?!点9到直线('的距离为!($$$$$$$(?!该抛物线的顶点#$&'$满足$4'#$'.$!?!$$$4槡(!(!$(?!$4$!!1槡'(#%$存在!如图&作)9&2与)9('关于原点9中心对槡(槡((称&则四边形('&2为平行四边形!?!$$$43!$$(当9(49'时&平行四边形('&2为矩形!解得$46(!(又!(94('&'(?!)9('为等边三角形!!#$!#!#$!$年全国中考真题演练"(作(<19'&垂足为<!!!/!!解析">!"&$&3三户家用电路接入电表&相邻电路(的电线等距排列&(?!(<4槡%9<!($A$$A?!将"向右平移即可得到$&3!?!4槡%%#$A'.$!('$>!图形的平移不改变图形的大小&(?!$A4$槡%!?!三户一样长!($!-!!解析">!('1%轴&(&1,轴&(?!(#槡%&%$&'#$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