中考数学 第十四讲 知能综合检测 华东师大版
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知能综合检测(十四)(40分钟60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.抛物线y=-(x+2)2-3的顶点坐标是()(A)(2,-3)(B)(-2,3)(C)(2,3)(D)(-2,-3)2.(2022·德阳中考)设二次函数y=x2+bx+c,当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,那么c的取值范围是()(A)c=3(B)c≥3(C)1≤c≤3(D)c≤33.(2022·乐山中考)二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(-1,0).设t=a+b+1,则t值的变化范围是()(A)0<t<1(B)0<t<2(C)1<t<2(D)-1<t<14.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的.为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5m(如图),则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为()(A)50m(B)100m(C)160m(D)200m二、填空题(每小题5分,共10分)5.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的关系式为y=x2-2x+3,则b的值为_________.6.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的图象,根据图形判断①c>0;②a+b+c<0;③2a-b<0;④b2+8a>4ac中正确的是_________(填写序号).三、解答题(共30分)7.(14分)(2022·珠海中考)如图,二次函数y=(x-2)2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.5\n(1)求二次函数与一次函数的关系式;(2)根据图象,写出满足kx+b≥(x-2)2+m的x的取值范围.【探究创新】8.(16分)对于二次函数y=ax2+bx+c,如果当x取任意整数时,函数值y都是整数,那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如:y=x2+2x+2).(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于1的整点抛物线的关系式________.(不必证明)(2)请探索:是否存在二次项系数的绝对值小于的整点抛物线?若存在,请写出其中一条抛物线的关系式;若不存在,请说明理由.答案解析1.【解析】选D.抛物线y=-(x+2)2-3是顶点式,根据其特点可知抛物线的顶点为(-2,-3).2.【解析】选B.∵当x≤1时,总有y≥0,当1≤x≤3时,总有y≤0,∴函数图象过(1,0)点,即1+b+c=0①∵当1≤x≤3时,总有y≤0.∴当x=3时,y=9+3b+c≤0②①②联立解得:c≥3.3.【解析】选B.∵y=ax2+bx+1过点(-1,0)且图象的顶点在第一象限,∴二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象开口向下,即a<0,如图所示:5\n把(-1,0)代入y=ax2+bx+1得a-b+1=0①,由t=a+b+1②,①+②得t=2a+2,由a<0得t<2;由二次函数的图象知对称轴x>0,所以抛物线和x轴的另一个交点在(1,0)的右边,即当x=1时,y>0,即a+b+1>0,所以t>0,所以0<t<2,故选B.4.【解析】选C.建立如图所示的坐标系,设抛物线的关系式为y=ax2+0.5,将(1,0)代入得a=-0.5,所以抛物线的关系式为y=-0.5x2+0.5,分别将x=0.2和0.6代入,求得y值为0.48,0.32,所以一个防护栏需不锈钢支柱长为2×(0.48+0.32)=1.6(m),则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度为1.6×100=160(m).5.【解析】由题意得抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标为(1,2),所以根据平移得出抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标是(-2,4),由于平移前后二次项系数不变,所以原抛物线为y=(x+2)2+4,展开得b=4.答案:46.【解析】由图象知抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,所以c<0,①错误;因为当x=1时,抛物线在x轴的下方,所以a+b+c<0,②正确;因为a>0,b<0,所以-b>0,2a-b>0,③错误;因为抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac>0.又因为a>0,所以-8a<0,所以b2-4ac>-8a,所以b2+8a>4ac,④正确.答案:②④【归纳整合】抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与a,b,c的符号的关系1.a决定抛物线的开口方向;当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下.5\n2.a,b决定对称轴的位置:a,b同号,对称轴在y轴左侧,a,b异号,对称轴在y轴右侧,b=0,对称轴为y轴.3.c决定抛物线与y轴的交点位置:c>0,交点在y轴的正半轴上;c=0,交点是原点;c<0,交点在y轴的负半轴上.4.当x=1时,a+b+c=y;当x=-1时,a-b+c=y.7.【解析】(1)将点A(1,0)代入y=(x-2)2+m得,(1-2)2+m=0,1+m=0,m=-1,则二次函数关系式为y=(x-2)2-1.当x=0时,y=4-1=3,故C点坐标为(0,3),由于C和B关于对称轴对称,设B点坐标为(x,y),令y=3,有(x-2)2-1=3,解得x=4或x=0(舍去),故B点坐标为(4,3).设一次函数关系式为y=kx+b(k≠0),把A(1,0),B(4,3)代入y=kx+b得,解得则一次函数关系式为y=x-1.(2)∵A,B坐标分别为(1,0),(4,3),∴当kx+b≥(x-2)2+m时,1≤x≤4.8.【解析】(1)如y=(只要写出一个符合条件的函数关系式即可)(2)不存在二次项系数的绝对值小于的整点抛物线.假设存在符合条件的抛物线,则对于y=ax2+bx+c,当x=0时,y=c,当x=1时,y=a+b+c,由整点抛物线定义知:c为整数,a+b+c为整数,∴a+b必为整数.5\n又当x=2时,y=4a+2b+c=2a+2(a+b)+c是整数,∴2a必为整数,从而a应为的整数倍.∵a≠0,∴|a|≥,∴不存在二次项系数的绝对值小于的整点抛物线.5
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