2025数学一轮总复习：课时分层作业72　概率、统计的综合问题

课时分层作业(七十二)　概率、统计的综合问题1．为调查我校学生的用电情况，学校后勤部门抽取了100间学生宿舍在某月的用电量，发现每间宿舍的用电量都在50kW·h到350kW·h之间，将其分组为[50，100)，[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350]，得到如图所示的频率分布直方图．(1)为降低能源损耗，节约用电，规定：当每间宿舍的月用电量不超过200kW·h时，按每度0.5元收取费用；当每间宿舍的月用电量超过200kW·h时，超过部分按每千瓦时1元收取费用．用t(单位：kW·h)表示某宿舍的月用电量，用y(单位：元)表示该宿舍的月用电费用，求y与t之间的函数关系式；(2)在抽取的100间学生宿舍中，月用电量在区间[200，250)内的学生宿舍有多少间？6/6 2．(2024·湖北武汉江汉区开学考试)某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．(1)根据频率分布直方图，估计这m人年龄的第75百分位数；(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取40人，担任“民法典”知识的宣传使者．①若有甲(年龄23)，乙(年龄43)2人已确定人选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率；②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．6/6 3．(2024·黑龙江哈尔滨开学考试)某校设置了篮球挑战项目，现在从本校学生中随机抽取了60名男生和40名女生共100人进行调查，统计出愿意接受挑战和不愿意接受挑战的男女生比例情况，具体数据如图表：(1)根据条件完成下列2×2列联表：性别接受挑战情况合计愿意不愿意男生女生合计(2)根据2×2列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析该校学生是否愿意接受挑战与性别有关；(3)挑战项目共有两关，规定：挑战过程依次进行，每一关都有两次机会挑战，通过第一关后才有资格参与第二关的挑战，若甲参加第一关的每一次挑战通过的概率均为12，参加第二关的每一次挑战通过的概率均为13，且每轮每次挑战是否通过相互独立．记甲通过的关数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8286/6 4．(2023·广东茂名二模)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n＋1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n－1，n－2，n－3，…次状态是“没有任何关系的”．现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n(n∈N*)次操作后，记甲盒子中黑球个数为Xn，甲盒中恰有1个黑球的概率为an，恰有2个黑球的概率为bn.求：(1)X1的分布列；(2)数列{an}的通项公式；(3)Xn的期望．5．(2024·广东实验中学模拟)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]分组，绘制频率分布直方图如图所示，试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．(1)填写下面的2×2列联表，并根据列联表及α＝0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．6/6 抗体指标值合计小于60不小于60有抗体没有抗体合计(2)为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体．①用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；②以①中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X.试验后统计数据显示，当X＝99时，P(X)取最大值，求参加人体接种试验的人数n.参考公式：χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.8286．(2023·广州一模)为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分；从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分．学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为34，各次答题结果互不影响．(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；(2)记甲第i次答题所得分数Xi(i∈N*)的数学期望为E(Xi)．6/6 ①写出E(Xi－1)与E(Xi)满足的等量关系式；②若E(Xi)>100，求i的最小值．6/6