2025数学一轮总复习：课时分层作业54　椭圆及其性质

课时分层作业(五十四)　椭圆及其性质一、单项选择题1．已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2，离心率e＝12，则椭圆C的标准方程为(　　)A．x22＋y2＝1　　　B．x24＋y2＝1C．x24+y23＝1　D．x216+y212＝12．(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1：x2a2＋y2＝1(a＞1)，C2：x24＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝3e1，则a＝(　　)A．233　　B．2　C．3　　D．63．(2024·湖南师大附中模拟)曲线x225+y29＝1与曲线x29-k+y225-k＝1(k＜9且k≠0)的(　　)A．长轴长相等　B．短轴长相等C．焦距相等　D．离心率相等4．(2024·内蒙古包头模拟)已知F1，F2是椭圆C：x216+y212＝1的两个焦点，点M，N在C上，若|MF2|＋|NF2|＝6，则|MF1||NF1|的最大值为(　　)A．9　B．20C．25　D．305．(2024·河南新乡模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，点M，N是椭圆C上关于y轴对称的两点．若直线AM，AN的斜率之积为23，则C的离心率为(　　)A．32　B．22C．12　D．336．(2024·贵州毕节模拟)加斯帕尔·蒙日是法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：4/4 椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G的四边均与椭圆M：x26+y24＝1相切，则下列说法错误的是(　　)A．椭圆M的离心率为33B．椭圆M的蒙日圆方程为x2＋y2＝10C．若G为正方形，则G的边长为25D．长方形G的面积的最大值为187．(2022·全国甲卷)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的离心率为13，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA1·BA2＝－1，则C的方程为(　　)A．x218+y216＝1　B．x29+y28＝1C．x23+y22＝1　D．x22＋y2＝18．(2023·湖南邵阳二模)已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c.在椭圆上存在点P使得asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，则椭圆离心率的取值范围是(　　)A．[2－1，1)　B．(2－1，1)C．(0，2－1)　D．(0，2－1]二、多项选择题9．(2024·广东佛山模拟)已知方程x212-m+y2m-4＝1表示椭圆，下列说法正确的是(　　)A．m的取值范围为(4，12)B．若该椭圆的焦点在y轴上，则m∈(8，12)C．若m＝6，则该椭圆的焦距为4D．若m＝10，则该椭圆经过点(1，2)10．(2024·衡水模拟)已知椭圆C：x225+y29＝1，F1，F2分别为它的左、右焦点，A，B分别为它的左、右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有(　　)4/4 A．存在P使得∠F1PF2＝π2B．cos∠F1PF2的最小值为－725C．PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为9D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值925三、填空题11．(2021·全国甲卷)已知F1，F2为椭圆C：x216+y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．12．已知点P在圆x2＋y2－6y＋8＝0上，点Q在椭圆x2a2＋y2＝1(a>1)上，且PQ的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为________．四、解答题13．(2024·山东德州期中)已知圆M：x2＋(y－1)2＝8，点N(0，－1)，P是圆M上的一个动点，若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q.(1)求点Q的轨迹方程C；(2)若点A是曲线C上的动点，求OA·AN的最大值(其中O为坐标原点)．14．如图所示，已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF2＝2F2B，求椭圆的方程．4/4 15．(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x29+y26＝1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2＝35，则|OP|＝(　　)A．135　B．302C．145　D．35216．(2024·鞍山模拟)已知A，B，C是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)上的三个点，O为坐标原点，A，B两点关于原点对称，AC经过右焦点F，若|OA|＝|OF|且|AF|＝2|CF|，则该椭圆的离心率是________．4/4