2021-2022学年福建省福州市台江区华伦中学八年级（下）期中数学试卷

2021-2022学年福建省福州市台江区华伦中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）下列曲线反映了变量y随变量x之间的关系，其中y是x的函数的是（）A．B．C．D．2．（4分）已知＝，那么下列等式中正确的是（）A．＝B．＝C．2a＝3bD．＝3．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（）A．AO＝DOB．CD＝ABC．∠BAD＝∠BCDD．AD∥BC，且AD＝BC4．（4分）对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点（1，3）B．y的值随x值的增大而增大C．当x＞0时，y＜0D．它的图象不经过第三象限5．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝9：49，则DE：DC＝（）第1页（共25页）,A．2：5B．2：3C．3：7D．3：46．（4分）如图，在直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以O为位似中心，按相似比为1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（2，﹣1）或（﹣2，1）B．（8，﹣4）或（﹣8，4）C．（2，﹣1）D．（8，﹣4）7．（4分）在▱ABCD中，AC，BD交于点O，设∠DBC＝α°，∠BOC＝β°，若β关于α的函数解析式是β＝180﹣2α（0＜α＜90），则下列说法正确的是（）A．BO＝BCB．OC＝BCC．四边形ABCD是菱形D．四边形ABCD是矩形8．（4分）在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝﹣kx﹣k（k≠0）的大致图象是（）A．B．C．D．9．（4分）如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC，AB相交，交点分别为M，N．如果AB＝4，AD＝6，OM＝x，ON＝y．则y与x的关系是（）第2页（共25页）,A．B．C．y＝xD．10．（4分）定义max（a，b），当a≥b时，max（a，b）＝a，当a＜b时，max（a，b）＝b；已知函数y＝max（﹣x﹣3，2x﹣9），则该函数的最小值是（）A．﹣9B．﹣3C．﹣6D．﹣5二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）将一次函数y＝﹣2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为．12．（4分）小亮和他弟弟在阳光下散步，小亮的身高为1.75米，他的影子长2米．若此时他的弟弟的影子长为1.6米，则弟弟的身高为米．13．（4分）如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，AD为半径作弧，交AB于点E；②分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF，交边CD于G点．若AD＝13，DE＝10，则AG的长是．14．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P以2mm/s的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，经过秒后，△PBQ与△ABC相似．15．（4分）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之第3页（共25页）,间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．根据图象提供的信息，则轿车到达乙地时，此时两车间的距离为千米．16．（4分）如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，∠CHD＝60°．则下列结论：①△ABF≌△CAE，②∠AHC＝120°，③AH+CH＝DH，④AD2＝OD•DH中，正确的是．三.解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.在答题卡的相应位置内作答.）17．（8分）已知y与2x﹣3成正比例，且当x＝1时，y＝﹣1．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当y＝1时，求x的值．18．（8分）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图，要求它的顶点均在格点上．（1）在图①中画一个面积为10的正方形．（2）在图②中画一个面积为12的菱形，并直接写出这个菱形的周长．第4页（共25页）,19．（8分）阅读下列材料，完成相应的学习任务：已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．（1）直接写出点A、B、C的坐标；（2）求△ADE的面积．21．（8分）小俊奶茶店厂生产A．B两种奶茶，由于地处旅游景点区域，每天都供不应求．经过数学计算，小俊发现A种奶茶每杯生产时间为4分钟，B种奶茶每杯生产时间为1分钟，由于原料和运营时间限制，每天生产的总时间为300分钟．（1）设A种奶茶生产x杯，B种奶茶生产y杯，则y与x之间的函数关系式y＝．第5页（共25页）,（2）由于A种奶茶比较受顾客青睐，小俊决定每天生产A种奶茶不少于73杯，那么不同的生产方案有多少种？并写出每种生产方案．22．（10分）如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2．若∠BNC＝2∠DCM，求BC的长．23．（10分）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，以下是探究函数y＝2﹣2的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题：x…﹣2﹣10123456…y…00.831.462.472.903.293.664.00…（1）函数y＝2﹣2中自变量x的取值范围是；当x＝1时，y＝；（2）在平面直角坐标系xOy中，根据表中数值（x，y）画出该函数的图象；（3）观察画出的图象，写出该函数的一条性质：．24．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD于点E．（1）求证：△DAC∽△OBC；第6页（共25页）,（2）若BE⊥CD，求的值；（3）是否存在点E使DE＝1，CE＝2，若存在，求出OE的值，若不存在，请说明理由．25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1经过（0，2），（2，0）两点，直线l2的解析式是y＝kx+3+k（k＞﹣1）．（1）求直线l1的解析式；（2）求证：直线l2必过某一定点；（3）已知点T（t，0），过点T作x轴的垂线，分别交直线l1，l2于A，B两点，若点A，B之间的距离是3+3k，求点T的坐标．第7页（共25页）,2021-2022学年福建省福州市台江区华伦中学八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）下列曲线反映了变量y随变量x之间的关系，其中y是x的函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：∵对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，A、对于x的每一个取值，y都有两个值，故A错误；B、对于x的每一个取值，y都有两个值，故B错误；C、对于x的每一个取值，y都有两个值，故C错误；D、对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故D正确；故选：D．2．（4分）已知＝，那么下列等式中正确的是（）A．＝B．＝C．2a＝3bD．＝【解答】解：∵＝，∴＝＝；＝＝，2a＝3b；＝．故选：C．3．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，则下列结论不一定成立的是（）第8页（共25页）,A．AO＝DOB．CD＝ABC．∠BAD＝∠BCDD．AD∥BC，且AD＝BC【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，AD＝BC，AD∥BC，故选：A．4．（4分）对于函数y＝﹣3x+1，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点（1，3）B．y的值随x值的增大而增大C．当x＞0时，y＜0D．它的图象不经过第三象限【解答】解：A、当x＝1时，y＝﹣3×1+1＝﹣2，∴点（1，﹣2）在函数y＝﹣3x+1的图象，结论A不正确；B、∵k＝﹣3＜0，∴y随x的增大而减小，结论B不正确；C、当y＝0时，﹣3x+1＝0，解得：x＝，∴当0＜x＜时，y＞0，结论C不正确；D、∵k＝﹣3＜0，b＝1＞0，∴函数y＝﹣3x+1的图象经过第一、二、四象限，∴函数y＝﹣3x+1的图象不经过第三象限，结论D正确．故选：D．5．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝9：49，则DE：DC＝（）第9页（共25页）,A．2：5B．2：3C．3：7D．3：4【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∵E为DC上一点，∴DE∥BA，∴△DEF∽△ABF，∴＝＝，∴＝，∴＝，故选：C．6．（4分）如图，在直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以O为位似中心，按相似比为1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（2，﹣1）或（﹣2，1）B．（8，﹣4）或（﹣8，4）C．（2，﹣1）D．（8，﹣4）【解答】解：∵以O为位似中心，按相似比为1：2把△EFO缩小，点E（﹣4，2），∴点E的对应点E′的坐标为（﹣4×，2×）或（﹣4×（﹣），2×（﹣）），即（2，﹣1）或（﹣2，1），故选：A．7．（4分）在▱ABCD中，AC，BD交于点O，设∠DBC＝α°，∠BOC＝β°，若β关于α的函数解析式是β＝180﹣2α（0＜α＜90），则下列说法正确的是（）A．BO＝BCB．OC＝BCC．四边形ABCD是菱形D．四边形ABCD是矩形【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，第10页（共25页）,∵∠DBC＝α°，∠BOC＝β°，β＝180﹣2α，∴2α°+β°＝180°，∵∠DBC+∠BOC+∠OCB＝180°，即α°+β°+∠OCB＝180°，∴∠OCB＝α°，∴∠DBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选：D．8．（4分）在同一平面直角坐标系中，正比例函数y＝kx与一次函数y＝﹣kx﹣k（k≠0）的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：当k＞0时，正比例函数y＝kx的图象经过第一、三象限，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象经过第二、三、四象限；当k＜0时，正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，一次函数y＝﹣kx﹣k的图象经过第一、二、三象限．故选：C．9．（4分）如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三第11页（共25页）,角板使两直角边始终与BC，AB相交，交点分别为M，N．如果AB＝4，AD＝6，OM＝x，ON＝y．则y与x的关系是（）A．B．C．y＝xD．【解答】解：作OF⊥BC，OE⊥AB，则有∠OEN＝∠OFM＝90度．∵∠EOF＝90度，∴∠MOF＝∠EOF﹣∠EOM＝90°﹣∠EOM，∵∠NOE＝∠NOM﹣∠EOM＝90°﹣∠EOM，∴∠MOF＝∠NOE，∴△OEN与△OFM相似．∴OE：OF＝ON：OM，∴＝，∴y＝x．故选：D．10．（4分）定义max（a，b），当a≥b时，max（a，b）＝a，当a＜b时，max（a，b）＝b；已知函数y＝max（﹣x﹣3，2x﹣9），则该函数的最小值是（）A．﹣9B．﹣3C．﹣6D．﹣5【解答】解：当﹣x﹣3≥2x﹣9时，解得：x≤2，此时y＝﹣x﹣3，第12页（共25页）,∵﹣1＜0，∴y随x的增大而减小，当x＝2时，y最小值为﹣5；当﹣x﹣3＜2x﹣9时，解得：x＞2，此时y＝2x﹣9，∵2＞0，∴y随x的增大而增大，综上，当x＝2时，y最小值为﹣5，故选：D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）将一次函数y＝﹣2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为y＝﹣2x﹣4．【解答】解：由上加下减”的原则可知，将一次函数y＝﹣2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为：y＝﹣2x﹣4．故答案是：y＝﹣2x﹣4．12．（4分）小亮和他弟弟在阳光下散步，小亮的身高为1.75米，他的影子长2米．若此时他的弟弟的影子长为1.6米，则弟弟的身高为1.4米．【解答】解：∵同一时刻物高与影长成正比例，∴1.75：2＝弟弟的身高：1.6，∴弟弟的身高为1.4米．答：弟弟的身高为1.4米．13．（4分）如图，在▱ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，AD为半径作弧，交AB于点E；②分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F；③作射线AF，交边CD于G点．若AD＝13，DE＝10，则AG的长是24．第13页（共25页）,【解答】解：由题意得AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠AGD＝∠GAE，∴∠DAG＝∠AGD，∴AD＝DG＝13，连接DE交AG于H，∵AD＝AE，∴AF⊥DE，DH＝HE＝DE＝5，∴AH＝＝＝12，∵AD＝DG，DH⊥AG，∴AG＝2AH＝24，故答案为：24．14．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P以2mm/s的速度从A向B移动，（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向C移动，（不与C重合），若P、Q同时出发，经过3或秒后，△PBQ与△ABC相似．【解答】解：设x秒后△PBQ与△ABC相似，则AP＝xcm，PB＝（12﹣2x）（cm），BQ＝4xcm，∵∠PBQ＝∠ABC，∴当时，△BPQ∽△BAC，第14页（共25页）,即，解得x＝3；当时，△PBQ∽△CBA，即，解得x＝．即经过3秒或秒后，△PBQ与△ABC相似．故答案为：3或．15．（4分）一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．根据图象提供的信息，则轿车到达乙地时，此时两车间的距离为300千米．【解答】解：由图象可得，甲、乙两地的距离为：150×3＝450（千米），∵两车相遇时轿车比货车多行驶了90千米，∴轿车每小时比货车多行驶90÷3＝30（千米），∴轿车的速度为：（450÷3+30）÷2＝90（千米/小时），货车的速度为：（450÷3﹣30）÷2＝60（千米/小时），点C的实际意义是轿车出发450÷90＝5小时后到达乙地，此时两车间的距离为：（90+60）×（5﹣3）＝300（千米），故答案为：300．16．（4分）如图，菱形ABCD中，AB＝AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE＝BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O，∠CHD＝60°．则下列结论：①第15页（共25页）,△ABF≌△CAE，②∠AHC＝120°，③AH+CH＝DH，④AD2＝OD•DH中，正确的是①②③④．【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，即△ABC是等边三角形，同理：△ADC是等边三角形∴∠B＝∠EAC＝60°，在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS）；故①正确；②由①得∠BAF＝∠ACE，∵∠AEH＝∠B+∠BCE，∴∠AHC＝∠BAF+∠AEH＝∠BAF+∠B+∠BCE＝∠B+∠ACE+∠BCE＝∠B+∠ACB＝60°+60°＝120°；故②正确；③在HD上截取HK＝AH，连接AK，∵∠AHC+∠ADC＝120°+60°＝180°，∴点A，H，C，D四点共圆，∴∠AHD＝∠ACD＝60°，∠ACH＝∠ADH，∴△AHK是等边三角形，第16页（共25页）,∴AK＝AH，∠AKH＝60°，∴∠AKD＝∠AHC＝120°，在△AKD和△AHC中，，∴△AKD≌△AHC（AAS），∴CH＝DK，∴DH＝HK+DK＝AH+CH；故③正确；④∵∠OAD＝∠AHD＝60°，∠ODA＝∠ADH，∴△OAD∽△AHD，∴AD：DH＝OD：AD，∴AD2＝OD•DH．故④正确．故答案为：①②③④．三.解答题（本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.在答题卡的相应位置内作答.）17．（8分）已知y与2x﹣3成正比例，且当x＝1时，y＝﹣1．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当y＝1时，求x的值．【解答】解：（1）设y＝k（2x﹣3），把x＝1，y＝﹣1代入得：﹣1＝﹣k，即k＝1，则y＝2x﹣3，即y＝2x﹣3；（2）把y＝1，代入得：1＝2x﹣3，解得：x＝2．18．（8分）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，第17页（共25页）,以格点为顶点分别按下列要求画图，要求它的顶点均在格点上．（1）在图①中画一个面积为10的正方形．（2）在图②中画一个面积为12的菱形，并直接写出这个菱形的周长．【解答】解：（1）如图①中，正方形ABCD即为所求；（2）如图②中，菱形ABCD即为所求．∵AB＝＝，∴菱形ABCD的周长为4．19．（8分）阅读下列材料，完成相应的学习任务：已知角平分线分线段成比例定理内容：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例，如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E．请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分．【解答】证明：如图②，过C作CE∥DA，交BA的延长线于E，第18页（共25页）,则∠1＝∠E，∠DAC＝∠ACE，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠DAC，∴∠E＝∠ACE，∴AC＝AE，∵CE∥DA，∴＝，∴＝．20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D（0，﹣6）在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，直线CD交AB于点E．（1）直接写出点A、B、C的坐标；（2）求△ADE的面积．【解答】解：（1）由题意，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，令x＝0，得y＝4，∴点B的坐标为（0，4），令y＝0，得x＝3，∴点A的坐标为（3，0），第19页（共25页）,∴OB＝4，OA＝3，∴AB＝＝5，∵将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处，即AC＝AB＝5，∴OC＝5+3＝8，∴点C的坐标为（8，0）．（2）由翻折的性质可得，∠B＝∠C，∠BDA＝∠ADC，∵∠BAO＝∠CAE，∴∠AOB＝∠AEC＝90°，∴∠AOD＝∠AED，∵AD＝AD，∴△AOD≌△AED（AAS），∵点D（0，﹣6），∴OD＝6，∴S△ADE＝S△AOD＝＝9．21．（8分）小俊奶茶店厂生产A．B两种奶茶，由于地处旅游景点区域，每天都供不应求．经过数学计算，小俊发现A种奶茶每杯生产时间为4分钟，B种奶茶每杯生产时间为1分钟，由于原料和运营时间限制，每天生产的总时间为300分钟．（1）设A种奶茶生产x杯，B种奶茶生产y杯，则y与x之间的函数关系式y＝﹣4x+300．（2）由于A种奶茶比较受顾客青睐，小俊决定每天生产A种奶茶不少于73杯，那么不同的生产方案有多少种？并写出每种生产方案．【解答】解：（1）因为每天生产的时间为300分钟，所以4x+y＝300，y＝﹣4x+300，故答案为：﹣4x+300；（2）由题意得：，解得：73≤x≤75．∵x为正整数，∴x的值为73或74或75．方案一：A种73杯，B种8杯，第20页（共25页）,方案二：A种74杯，B种4杯，方案三：A种75杯，B种0杯．22．（10分）如图1，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2．若∠BNC＝2∠DCM，求BC的长．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，又∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD为矩形；（2）解：如图2，延长BA，CM交于点E，∵M为AD的中点，N为AB中点，∴AN＝BN＝2，AM＝MD，∴AB＝CD＝4，∵AE∥DC，第21页（共25页）,∴∠E＝∠DCM，在△AEM和△DCM中，，∴△AME≌△DCM（AAS），∴AE＝CD＝4，∵∠BNC＝2∠DCM＝∠E+∠NCE，∴∠NCE＝∠DCM＝∠E，∴CN＝EN＝AE+AN＝4+2＝6，∴BC＝＝＝4．23．（10分）通过课本上对函数的学习，我们积累了一定的经验，以下是探究函数y＝2﹣2的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列各题：x…﹣2﹣10123456…y…00.831.462.472.903.293.664.00…（1）函数y＝2﹣2中自变量x的取值范围是x≥﹣3；当x＝1时，y＝2；（2）在平面直角坐标系xOy中，根据表中数值（x，y）画出该函数的图象；（3）观察画出的图象，写出该函数的一条性质：当x≥﹣3时，y随x的增大而增大．【解答】解：（1）根据二次函数的双重非负性可知，x+3≥0，∴x≥﹣3；当x＝1时，y＝2﹣2＝2；故答案为：x≥﹣3；2．第22页（共25页）,（2）表中数值（x，y）先描出各个点，再顺次连接可得出该函数的图象，如下图所示：（3）当x≥﹣3时，y随x的增大而增大．（答案不唯一，合理即可）24．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD于点E．（1）求证：△DAC∽△OBC；（2）若BE⊥CD，求的值；（3）是否存在点E使DE＝1，CE＝2，若存在，求出OE的值，若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，∴△DAC∽△OBC；（2）解：如图，若BE⊥CD，在Rt△BCE中，∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，第23页（共25页）,∴∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°，过点D作DH⊥BC于点H，设AD＝CD＝2m，则BH＝AD＝2m，在Rt△DCH中，DC＝2m，∴CH＝m，∴BC＝BH+CH＝3m，∴；（3）解：假设存在，延长BE，AD交于点F，∵AD∥BC，∴△DEF∽△CEB，∴，在△AOF与△COB中，，∴△AOF≌△COB（AAS），∴BC＝AF，∴BC＝6，过点D作DH⊥BC于H，则CH＝CD＝3，出现矛盾，∴不存在E，使DE＝1，CE＝2．25．（14分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1经过（0，2），（2，0）两点，直线l2的解析式是y＝kx+3+k（k＞﹣1）．第24页（共25页）,（1）求直线l1的解析式；（2）求证：直线l2必过某一定点；（3）已知点T（t，0），过点T作x轴的垂线，分别交直线l1，l2于A，B两点，若点A，B之间的距离是3+3k，求点T的坐标．【解答】（1）解：设直线l1的解析式：y＝mx+n，代入（0，2），（2，0），得2m+n＝0，n＝2，∴m＝﹣1，∴直线l1的解析式：y＝﹣x+2；（2）证明：∵y＝kx+3+k＝（x+1）k+3，当x＝﹣1时，y＝3，∴直线l2必过（﹣1，3）；（3）解：根据题意，得A（t，﹣t+2），B（t，kt+3+k），∵AB＝3+3k，∴|（﹣t+2）﹣（kt+3+k）|＝3+3k，解得t＝﹣4或t＝2，∴T（﹣4，0）或（2，0）．第25页（共25页）