2021-2022学年福建省福州市鼓楼区格致中学八年级（下）期中数学试卷

2021-2022学年福建省福州市鼓楼区格致中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（4分）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（）A．5，12，13B．1，2，3C．3，3，3D．4，5，63．（4分）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差的数值如下表：选手甲乙丙丁平均数9.29.39.59.1方差0.0350.0150.0250.027则这四人中成绩发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．（4分）下列计算中正确的是（）A．B．C．D．5．（4分）已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（）A．4B．16C．D．4或6．（4分）函数y＝kx+b（k＜0，b＞0）的图象可能是下列图形中的（）A．B．C．D．7．（4分）真命题“若四边形ABCD是（甲），则四边形ABCD一定是（乙）”中，甲、乙两第1页（共22页） 空可以填（）A．平行四边形，矩形B．矩形，菱形C．正方形，平行四边形D．菱形，正方形8．（4分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是CD边中点，若OE＝3，则AD的长为（）A．3B．6C．9D．129．（4分）2021年的夏天，某地旱情严重．该地人日均用水量的变化情况如图所示．若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量不高于9千克时，政府将向当地居民送水．那么政府应开始送水的号数为（）A．23B．24C．25D．2610．（4分）如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN＝6，PN＝4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（）A．4B．2C．7D．8二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（4分）若点（m，n）在函数y＝2x﹣6的图象上，则2m﹣n的值是．13．（4分）某招聘考试分笔试和面试两部分，其中笔试按70%、面试按30%计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为90分，面试成绩为80分，那么小明的总成绩为分．14．（4分）写一个图象经过点（﹣1，2）且y随x的增大而减小的一次函数解析式．第2页（共22页） 15．（4分）如图，正方形ABCD的面积为18，菱形AECF的面积为6，则菱形的边长为．16．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N，有下列四个结论：①DF＝CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF＝3S△DEF．其中，正确的结论是．三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算：×（﹣）+|﹣2|﹣（）2．18．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．19．（8分）已知直线l1：y＝x+n﹣2与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，2）．（1）求m，n的值；（2）请结合图象直接写出不等式mx+n＞x+n﹣2的解集．20．（8分）学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学第3页（共22页） 生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表借阅图书0次1次2次3次4次及以的次数上人数713a103请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）a＝，b＝．（2）该调查统计数据的中位数是，众数是．（3）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；（4）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．21．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，且满足它是轴对称图形；（3）在图3中，画一个直角三角形，是它的三边长都是无理数．22．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．第4页（共22页） （1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OF，若AC＝4，∠ABC＝60°，求OF的长．23．（10分）某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？最大利润是多少？24．（13分）已知：在正方形ABCD中，点H在对角线BD上运动（不与B，D重合）连接AH，过H点作HP⊥AH于H交直线CD于点P，作HQ⊥BD于H交直线CD于点Q．（1）当点H在对角线BD上运动到图1位置时，则CQ与PD的数量关系是．（2）当H点运动到图2所示位置时①依据题意补全图形．②上述结论还成立吗？若成立，请证明．若不成立，请说明理由．（3）若正方形边长为，∠PHD＝30°，直接写出PC长．25．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点Q的坐标为（8，0），直线l与x轴，y轴分别交于A（10，0），B（0，10）两点，点P（x，y）是第一象限直线l上的动点．（1）求直线l的解析式；（2）设△POQ的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）当△POQ的面积等于20时，在y轴上是否存在一点C，使∠CPO＝22.5°，若存第5页（共22页） 在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．第6页（共22页） 2021-2022学年福建省福州市鼓楼区格致中学八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、＝5，故此选项错误；B、是最简二次根式，故此选项正确；C、＝，故此选项错误；D、＝2，故此选项错误；故选：B．2．（4分）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（）A．5，12，13B．1，2，3C．3，3，3D．4，5，6【解答】解：A．∵52+122＝132，∴可以构成直角三角形，故本选项符合题意；B．∵12+22≠32，∴不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵32+32＝32，∴不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵42+52≠62，∴不可以构成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．3．（4分）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差的数值如下表：选手甲乙丙丁平均数9.29.39.59.1方差0.0350.0150.0250.027则这四人中成绩发挥最稳定的是（）第7页（共22页） A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：∵这四人中方差最小的是乙，∴这四人中发挥最稳定的是乙，故选：B．4．（4分）下列计算中正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、+无法计算，故此选项不合题意；B、＝3，故此选项不合题意；C、÷＝2，故此选项不合题意；D、﹣＝，正确．故选：D．5．（4分）已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为（）A．4B．16C．D．4或【解答】解：当3和5都是直角边时，第三边长为：＝；当5是斜边长时，第三边长为：＝4．故选：D．6．（4分）函数y＝kx+b（k＜0，b＞0）的图象可能是下列图形中的（）A．B．C．D．【解答】解：∵k＜0，∴直线从左往右呈下降趋势，第8页（共22页） ∵b＞0，∴直线与y轴交于正半轴，故选：D．7．（4分）真命题“若四边形ABCD是（甲），则四边形ABCD一定是（乙）”中，甲、乙两空可以填（）A．平行四边形，矩形B．矩形，菱形C．正方形，平行四边形D．菱形，正方形【解答】解：A、若四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD一定是矩形，为假命题，故A选项不符合题意；B、若四边形ABCD是矩形，则四边形ABCD一定是菱形，为假命题，故B选项不符合题意；C、若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD一定是平行四边形，为真命题，故C选项符合题意；D、若四边形ABCD是菱形，则四边形ABCD一定是正方形，为假命题，故D选项不符合题意；故选：C．8．（4分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是CD边中点，若OE＝3，则AD的长为（）A．3B．6C．9D．12【解答】解：∵平行四边形ABCD∴OB＝OD，OA＝OC又∵点E是CD边中点∴AD＝2OE，即AD＝6故选：B．9．（4分）2021年的夏天，某地旱情严重．该地人日均用水量的变化情况如图所示．若该地10号、15号的人均用水量分别为18千克和15千克，并一直按此趋势直线下降．当人日均用水量不高于9千克时，政府将向当地居民送水．那么政府应开始送水的号数为（）第9页（共22页） A．23B．24C．25D．26【解答】解：设号数为x，用水量为y千克，直线解析式为y＝kx+b．根据题意得，解之得，所以直线解析式为y＝﹣，当y≤9时，有﹣≤9，解得x≥25，根据实际情况，应在25号开始送水．故选：C．10．（4分）如图，将矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使点M，N分别在AB，AD边上滑动，若MN＝6，PN＝4，在滑动过程中，点A与点P的距离AP的最大值为（）A．4B．2C．7D．8【解答】解：如图所示，取MN中点E，当点A、E、P三点共线时，AP最大，在Rt△PNE中，PN＝4，NE＝MN＝3，根据勾股定理得：PE＝＝5，第10页（共22页） 在Rt△AMN中，AE为斜边MN上的中线，∴AE＝MN＝3，则AP的最大值为AE+EP＝5+3＝8．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥3．【解答】解：根据题意得x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．12．（4分）若点（m，n）在函数y＝2x﹣6的图象上，则2m﹣n的值是6．【解答】解：∵点（m，n）在函数y＝2x﹣6的图象上，∴n＝2m﹣6，∴2m﹣n＝6．故答案为：6．13．（4分）某招聘考试分笔试和面试两部分，其中笔试按70%、面试按30%计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为90分，面试成绩为80分，那么小明的总成绩为87分．【解答】解：小明的总成绩90×70%+80×30%＝63+24＝87，故答案为87．14．（4分）写一个图象经过点（﹣1，2）且y随x的增大而减小的一次函数解析式y＝﹣x+1（答案不唯一）．【解答】解：∵y随x的增大而减小，∴k＜0，不妨设为y＝﹣x+b，把（﹣1，2）代入得，1+b＝2，解得b＝1，∴函数解析式为y＝﹣x+2．故答案为：y＝﹣x+1（答案不唯一）．15．（4分）如图，正方形ABCD的面积为18，菱形AECF的面积为6，则菱形的边长为．第11页（共22页） 【解答】解：因为正方形ABCD的面积为18，所以AC＝，因为菱形AECF的面积为6，所以EF＝，所以菱形的边长＝．故答案为：．16．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N，有下列四个结论：①DF＝CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF＝3S△DEF．其中，正确的结论是①②④．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF．由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，∵BF平分∠EBC，第12页（共22页） ∴CF＝MF．∴DF＝CF；故①正确．∵∠BFM＝90°﹣∠EBF，∠BFC＝90°﹣∠CBF，∴∠BFM＝∠BFC．∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN，∴∠BFE＝∠BFN．∵∠BFE+∠BFN＝180°，∴∠BFE＝90°．即BF⊥EN，故②正确．在△DEF和△CNF中，，∴△DEF≌△CNF（ASA）．∴EF＝FN．∴BE＝BN．假设△BEN是等边三角形，则∠EBN＝60°，∠EBA＝30°，则AE＝BE，又∵AE＝AD，则AD＝BC＝BE，而明显BE＝BN＞BC，∴△BEN不是等边三角形；故③错误．∵∠BFM＝∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM＝BC＝AD＝2DE＝2EM．∴BE＝3EM．∴S△BEF＝3S△EMF＝3S△DEF；故④正确．故答案为：①②④．第13页（共22页） 三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（8分）计算：×（﹣）+|﹣2|﹣（）2．【解答】解：×（﹣）+|﹣2|﹣（）2＝﹣2+2﹣﹣2＝﹣3．18．（8分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，求证：四边形AECF是平行四边形．【解答】证明：连接AC交BD于O，如图所示∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．19．（8分）已知直线l1：y＝x+n﹣2与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，2）．（1）求m，n的值；（2）请结合图象直接写出不等式mx+n＞x+n﹣2的解集．【解答】解：（1）把P（1，2）代入y＝x+n﹣2得1+n﹣2＝2，解得n＝3；把P（1，2）代入y＝mx+3得m+3＝2，解得m＝﹣1；第14页（共22页） （2）不等式mx+n＞x+n﹣2的解集为x＜1．20．（8分）学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表借阅图书0次1次2次3次4次及以的次数上人数713a103请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）a＝17，b＝20．（2）该调查统计数据的中位数是2次，众数是2次．（3）请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；（4）若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为13÷26%＝50人，∴a＝50﹣（7+13+10+3）＝17，b%＝×100%＝20%，即b＝20，故答案为：17、20；（2）由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据均为2次，所以中位数为2次，出现次数最多的是2次，所以众数为2次，故答案为：2次、2次；第15页（共22页） （3）扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为360°×20%＝72°；（4）估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为2000×＝120人．21．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，且满足它是轴对称图形；（3）在图3中，画一个直角三角形，是它的三边长都是无理数．【解答】解：（1）如图1；（2）如图2；（3）如图3．22．（10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OF，若AC＝4，∠ABC＝60°，求OF的长．第16页（共22页） 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）解：∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BO＝2，∵点O是BD的中点，∴BD＝4，在Rt△ADF中，OF＝BD＝2．23．（10分）某商店销售A型和B型两种型号的电脑，销售一台A型电脑可获利120元，销售一台B型电脑可获利140元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中第17页（共22页） B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍．设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？最大利润是多少？【解答】解：（1）由题意可得，A型电脑的总利润为：120x，B型电脑的总利润为：140（100﹣x），∴A、B电脑的总利润：y＝120x+140（100﹣x）＝﹣20x+14000，∴y与x的函数关系式为：y＝﹣20x+14000，又B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，∴100﹣x≤3x，解得：x≥25，∴自变量x的取值范围为：25≤x≤100，且x为正整数，∴y＝﹣20x+14000（25≤x≤100，且x为正整数）；（2）∵y＝﹣20x+14000，且﹣20＜0，∴y随x的增大而减小，∵25≤x≤100，且x为正整数，∴x＝25时，y有最大值为：﹣20×25+14000＝13500，∴A型电脑进货25台，B型电脑进货75台，销售利润最大为13500元．24．（13分）已知：在正方形ABCD中，点H在对角线BD上运动（不与B，D重合）连接AH，过H点作HP⊥AH于H交直线CD于点P，作HQ⊥BD于H交直线CD于点Q．（1）当点H在对角线BD上运动到图1位置时，则CQ与PD的数量关系是相等．（2）当H点运动到图2所示位置时①依据题意补全图形．②上述结论还成立吗？若成立，请证明．若不成立，请说明理由．（3）若正方形边长为，∠PHD＝30°，直接写出PC长．第18页（共22页） 【解答】解：（1）∵∠AHP＝∠DHQ＝90°，∴∠AHD＝∠PHQ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB＝∠BDC＝∠PQH＝45°，AD＝CD，则DH＝QH，∴△ADH≌△PQH（ASA），∴AD＝PQ＝CD，∴CQ＝PD，故答案为：相等．（2）①依题意补全如图所示，②结论成立，证明如下：证明：连接HC，∵正方形ABCD，BD为对角线，∴∠5＝45°，∵AD＝CD、DH＝DH，∴△ADH≌△CDH（SAS），∴∠1＝∠2，又∵QH⊥BD，∠5＝45°，∴∠4＝45°，第19页（共22页） ∴∠4＝∠5，∴QH＝HD，∠HQC＝∠HDP＝135°，∵AH⊥HP，AD⊥DP，∴∠AHP＝∠ADP＝90°，又∵∠AOH＝∠DOP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴△CQH≌△PDH（AAS）∴CQ＝PD．（3）如图2，连接AP，由（1）知△ADH≌△PQH，∴AH＝PH，∵∠AHP＝90°，∴∠APH＝45°，又∠ADH＝45°，∠PHD＝30°，∴∠DAP＝∠PHD＝30°，在Rt△ADP中，∵AD＝CD＝，∴PD＝ADtan30°＝1，则CP＝CD﹣PD＝﹣1；如图3，连接AP，第20页（共22页） 同理可得PD＝1，则CP＝+1，综上，PC的长度为﹣1或+1．25．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点Q的坐标为（8，0），直线l与x轴，y轴分别交于A（10，0），B（0，10）两点，点P（x，y）是第一象限直线l上的动点．（1）求直线l的解析式；（2）设△POQ的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）当△POQ的面积等于20时，在y轴上是否存在一点C，使∠CPO＝22.5°，若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），把A（10，0），B（0，10）分别代入，得．解得，故直线l的解析式为y＝﹣x+10；（2）如图1，∵点P（x，y）是直线l上的动点，∴y＝﹣x+10．如图1，由点Q的坐标为（8，0）知，OQ＝8．∵点P（x，y）是第一象限直线l上的动点，第21页（共22页） ∴S＝OQ•y＝8×（﹣x+10），即S＝﹣4x+40（x＞0）；（3）当△POQ的面积等于20时，S＝﹣4x+40＝20，此时x＝5，∴P（5，5）．∵A（10，0），B（0，10），∴点P是线段AB的中点，OA＝OB＝10，∴OP⊥AB，BP＝OP，AB＝10．如图2，过点P作PD⊥y轴于点D，则D（0，5），∠BPD＝∠OPD＝45°．∴OD＝5，PD＝5，∵∠CPO＝22.5°，∴∠CPO＝∠OPD，即点C在∠OPD的角平分线上．∴＝，即＝，∴OC＝10﹣5，∴C（0，10﹣5）．当点C位于y轴负半轴时，C（0，﹣5）．综上所述，点C的坐标是（0，10﹣5）或（0，﹣5）．第22页（共22页）