2021-2022学年福建省福州市鼓楼区延安中学八年级（下）期中数学试卷

2021-2022学年福建省福州市鼓楼区延安中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）下列函数中，是一次函数的是（）A．y＝x2+3B．C．D．y＝kx+b2．（4分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角互补B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．四边相等3．（4分）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3.6km，则M、C两点间的距离为（）A．1.8kmB．3.6kmC．3kmD．2km4．（4分）函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≥1B．x≤1C．x＞1D．x＜15．（4分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．OB＝OD，OA＝OCB．AD∥BC，AB＝CDC．AB∥CD，AD∥BCD．AB∥CD，AB＝CD6．（4分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为（）第1页（共24页）,A．x＞3B．x＜3C．x＞﹣1D．x＜﹣17．（4分）已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．以上都不对8．（4分）菱形ABCD的边长为8，有一个内角为120°，则较长的对角线的长为（）A．B．8C．D．49．（4分）如图，点C、B分别在两条直线y＝﹣3x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是正方形，则k的值为（）A．3B．2C．D．10．（4分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．若一次函数y＝x﹣3与y＝kx﹣k（k为整数）的图象的交点是整点，则k的不同取值的个数是（）A．3B．4C．5D．6二.填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）将函数y＝2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是．12．（4分）若一个菱形的两条对角线长为3和4，则菱形的面积为．13．（4分）一次函数y＝（3m﹣4）x+2的值随x值的增大而减小，则常数m的取值范围为．14．（4分）点P（a，b）在函数y＝4x+3的图象上，则代数式12a﹣3b+1的值等于．15．（4分）如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD第2页（共24页）,＝8，则四边形ABPE的周长是．16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（m，m﹣2），则AB+OB的最小值是．三.解答题（共9小题，满分86分）17．（8分）下表是某个一次函数的自变量x与y的三组对应值，求出该函数解析式及m的值．x﹣212y30m18．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，AE＝CF．求证：BE＝DF．19．（8分）如图，直线AC是一次函数y＝2x+3的图象，直线BC是一次函数y＝﹣2x﹣1的图象．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求△ABC的面积．第3页（共24页）,20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．试判断四边形ADCF的形状，并给予证明．21．（8分）如图1，在A、B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的路程y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象．（1）填空：A，B两地相距千米；货车的速度为千米/时；（2）求3小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；（3）试求客车与货车何时相距160千米？22．（10分）抗疫期间，某公司决定购买两种不同品牌的消毒湿巾供员工使用，经调查购买3包A品牌消毒湿巾比购买2包B品牌消毒湿巾多花15元，购买4包A品牌消毒湿巾与购买6包B品牌消毒湿巾所需款数相同．（1）求A，B两种品牌消毒湿巾的单价；（2）公司现计划购买两种品牌的消毒湿巾共100包，要求A品牌消毒湿巾的数量不少于B品牌消毒湿巾数量的9倍，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案并计算此时的花费．23．（10分）如图，▱ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图．（保留作图痕迹）第4页（共24页）,（1）在图1中，画出∠DAE的平分线；（2）在图2中，画出∠AEC的平分线，并说明理由．24．（13分）（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．应用图1的数学模型解决下列问题：（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式；（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．25．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与y＝kx+4分别交x轴于点A、B，两直线交于y轴上同一点C，点D的坐标为（﹣，0），点E是AC的中点，连接OE交CD于点F．第5页（共24页）,（1）求点F的坐标；（2）若∠OCB＝∠ACD，求k的值；（3）在（2）的条件下，过点F作x轴的垂线l，点M是直线BC上的动点，点N是x轴上的动点，点P是直线l上的动点，使得以B，P，M、N为顶点的四边形是菱形，求点P的坐标．第6页（共24页）,2021-2022学年福建省福州市鼓楼区延安中学八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）下列函数中，是一次函数的是（）A．y＝x2+3B．C．D．y＝kx+b【解答】解：A．y＝x2+3，是二次函数，故A不符合题意；B．y＝，是一次函数，故B符合题意；C．y＝，是反比例函数，故C不符合题意；D．y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），此时才是一次函数，故D不符合题意；故选：B．2．（4分）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）A．对角互补B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．四边相等【解答】解：A、菱形对角不互补，故本选项错误；B、矩形对角线不互相垂直，故本选项错误；C、平行四边形的对角线互相平分，以上三个图形都是平行四边形，故本选项正确；D、三个图形中，矩形四边不相等，故本选项错误．故选：C．3．（4分）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为3.6km，则M、C两点间的距离为（）A．1.8kmB．3.6kmC．3kmD．2km第7页（共24页）,【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵M点是AB的中点，AB＝3.6km，∴CM＝AB＝1.8km．故选：A．4．（4分）函数y＝中自变量x的取值范围是（）A．x≥1B．x≤1C．x＞1D．x＜1【解答】解：由题意得：x﹣1＞0，∴x＞1，故选：C．5．（4分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．OB＝OD，OA＝OCB．AD∥BC，AB＝CDC．AB∥CD，AD∥BCD．AB∥CD，AB＝CD【解答】解：A、∵OB＝OD，OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；B、∵AD∥BC，AB＝CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；C、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；D、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；故选：B．6．（4分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x+b的解集为（）第8页（共24页）,A．x＞3B．x＜3C．x＞﹣1D．x＜﹣1【解答】解：当x＜﹣1时，k2x＞k1x+b，所以不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜﹣1．故选：D．7．（4分）已知点A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．以上都不对【解答】解：∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，又∵点A（﹣2，y1），B（3，y2）在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，且﹣2＜3，∴y1＞y2．故选：A．8．（4分）菱形ABCD的边长为8，有一个内角为120°，则较长的对角线的长为（）A．B．8C．D．4【解答】解：在菱形ABCD中，∠BAO＝∠BAD＝×120°＝60°，又在△ABC中，AB＝BC，∴∠BCA＝∠BAC＝60°，∠ABC＝180°﹣∠BCA﹣∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝8，∴AO＝4，∴BO＝，∴BD＝2BO＝8，故选：A．第9页（共24页）,9．（4分）如图，点C、B分别在两条直线y＝﹣3x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，若四边形ABCD是正方形，则k的值为（）A．3B．2C．D．【解答】解：设点C的横坐标为m，则点C的坐标为（m，﹣3m），点B的坐标为（﹣，﹣3m），依题意，得：﹣﹣m＝﹣3m，解得：k＝，经检验，k＝是原方程的解，且符合题意．故选：D．10．（4分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．若一次函数y＝x﹣3与y＝kx﹣k（k为整数）的图象的交点是整点，则k的不同取值的个数是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：由题意得：，∴x﹣3＝kx﹣k，即（1﹣k）x＝3﹣k，∴x＝1+，∴y＝1+﹣3＝﹣2+，∵x，y均为整数，能被2整除的整数有±2，±1，∴k可取的数为﹣1，2，3共3个，第10页（共24页）,故选：A．二.填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）将函数y＝2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是y＝2x﹣4．【解答】解：由上加下减”的原则可知，将函数y＝2x的图象沿y轴向下平移4个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是：y＝2x﹣4．故答案是：y＝2x﹣4．12．（4分）若一个菱形的两条对角线长为3和4，则菱形的面积为6．【解答】解：菱形的面积＝＝6，故答案为6．13．（4分）一次函数y＝（3m﹣4）x+2的值随x值的增大而减小，则常数m的取值范围为m＜．【解答】解：根据题意，得3m﹣4＜0，解得m＜，故答案为：m＜．14．（4分）点P（a，b）在函数y＝4x+3的图象上，则代数式12a﹣3b+1的值等于﹣8．【解答】解：∵点P（a，b）在函数y＝4x+3的图象上，∴b＝4a+3，∴4a﹣b＝﹣3，∵12a﹣3b+1＝3（4a﹣b）+1＝3×（﹣3）+1＝﹣8．故答案为﹣8．15．（4分）如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长是18．第11页（共24页）,【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AC＝＝10，∴BP＝AC＝5，∵P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点，∴AE＝AD＝4，PE是△ACD的中位线，∴PE＝CD＝3，∴四边形ABPE的周长＝AB+BP+PE+AE＝6+5+3+4＝18；故答案为：18．16．（4分）在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（m，m﹣2），则AB+OB的最小值是2．【解答】解：∵B（m，m﹣2）∴点B在直线y＝x﹣2的图象上∵点O关于直线y＝x﹣2的对称点O'为（2，﹣2）∴AB+BO的最小值为AO'＝＝2故答案为2三.解答题（共9小题，满分86分）17．（8分）下表是某个一次函数的自变量x与y的三组对应值，求出该函数解析式及m的值．x﹣212y30m【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b，把（﹣2，3），（1，0）代入得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x+1，当x＝2时，m＝﹣2+1＝﹣1．18．（8分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，点E、F第12页（共24页）,在AC上，AE＝CF．求证：BE＝DF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵AE＝CF．∴OE＝OF，∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BE＝DF．19．（8分）如图，直线AC是一次函数y＝2x+3的图象，直线BC是一次函数y＝﹣2x﹣1的图象．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求△ABC的面积．【解答】证明：（1）在y＝2x+3中，令x＝0，解得：y＝3，则A点的坐标为（0，3），同理，B点的坐标为（0，﹣1），第13页（共24页）,∵解得．∴C点的坐标为（﹣1，1）；（2）∵AB＝4，∴＝2．20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．试判断四边形ADCF的形状，并给予证明．【解答】解：四边形ADCF是平行四边形，证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△BDE和△FAE中，，∴△BDE≌△FAE（AAS），∴AF＝BD，∵AB＝AC，D是线段BC的中点，∴BD＝CD，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，AF＝CD，∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，第14页（共24页）,∵∠ADC＝90°，∴四边形ADCF是矩形．21．（8分）如图1，在A、B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地，两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站的路程y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象．（1）填空：A，B两地相距600千米；货车的速度为40千米/时；（2）求3小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；（3）试求客车与货车何时相距160千米？【解答】解：（1）由函数图象可得，A，B两地相距：480+120＝600（km），货车的速度是：120÷3＝40（km/h）．故答案为：600；40；（2）y＝40（x﹣3）＝40x﹣120（x＞3）；（3）分两种情况：①相遇前：80x+40x＝600﹣160，解得x＝；②相遇后：80x+40x＝600+160，解得x＝（不合题意，舍去）；③客车到达C站时，40x﹣120＝160，解得x＝7，第15页（共24页）,综上所述：当行驶时间为小时或7小时，两车相距160千米．22．（10分）抗疫期间，某公司决定购买两种不同品牌的消毒湿巾供员工使用，经调查购买3包A品牌消毒湿巾比购买2包B品牌消毒湿巾多花15元，购买4包A品牌消毒湿巾与购买6包B品牌消毒湿巾所需款数相同．（1）求A，B两种品牌消毒湿巾的单价；（2）公司现计划购买两种品牌的消毒湿巾共100包，要求A品牌消毒湿巾的数量不少于B品牌消毒湿巾数量的9倍，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案并计算此时的花费．【解答】解：（1）设A品牌消毒湿巾的单价为x元，B品牌消毒湿巾的单价为y元，依题意，得，解得，答：A品牌消毒湿巾的单价为9元，B品牌消毒湿巾的单价为6元；（2）设购买m包A品牌消毒湿巾，则购买（100﹣m）包B品牌消毒湿巾，∵A品牌消毒湿巾的数量不少于B品牌消毒湿巾数量的9倍，∴m≥9（100﹣m），解得m≥90，设购买消毒湿巾需要的费用为w元．由题意可得：w＝9m+6（100﹣m）＝3m+600．∵m＝3＞0，∴w随m的增大而增大．∴当m＝90时，w有最小值，此时w＝870，100﹣m＝10，答：当公司购买90包A品牌消毒湿巾，10包B品牌消毒湿巾时最省钱，此时花费为870元．23．（10分）如图，▱ABCD中，点E在BC上，且AE＝EC，试分别在下列两个图中按要求使用无刻度直尺画图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，画出∠DAE的平分线；（2）在图2中，画出∠AEC的平分线，并说明理由．第16页（共24页）,【解答】解：（1）如图所示，连接AC，则AC平分∠DAE；（2）如图所示，连接AC，BD，交于点O，连接EO，则EO平分∠AEC．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC，BD交于点O，∴AO＝CO，又∵AE＝CE，∴EO平分∠AEC．24．（13分）（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．应用图1的数学模型解决下列问题：（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2；求直线l2的函数表达式；（3）如图3，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A、BC⊥轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD为等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标．第17页（共24页）,【解答】（1）证明：∵∠BCA＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE，∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠BEC＝90°＝∠CDA，∴∠CBE＝90°﹣∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△CAD中，，∴△BCE≌△CAD（AAS）；（2）解：过B作BE⊥AB交直线l2于E，过E作EF⊥y轴于F，如图：在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，3），∴OA＝2，OB＝3，∵将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，∴∠BAE＝45°，∵BE⊥AB，∴△ABE是等腰直角三角形，第18页（共24页）,∴AB＝EB，∵∠AOB＝90°＝∠EFB，∴∠EBF＝90°﹣∠ABO＝∠BAO，∴△AOB≌△BFE（AAS），∴OA＝BF＝2，OB＝EF＝3，∴OF＝OB+BF＝5，∴E（﹣3，5），设直线l2的函数表达式为y＝kx+b，将A（﹣2，0），E（﹣3，5）代入得：，解得，∴直线l2的函数表达式为y＝﹣5x﹣10；（3）解：点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内，△CPD为等腰直角三角形分两种情况：设D（m，﹣2m+1），P（3，n），①以D为直角顶点，过D作DW⊥x轴于W，交AB延长线于T，如图：∵∠CDP＝90°，∴∠CDW＝90°﹣∠PDT＝∠DPT，∵∠CWD＝90°＝∠PTD，CD＝PD，∴△CDW≌△DPT（AAS），∴DT＝CW，DW＝PT，第19页（共24页）,∴，解得，∴D（，﹣），②以C为直角顶点，过P作PK⊥y轴于K，过D作DR⊥y轴于R，如图：同理可得△PKC≌△CRD（AAS），∴PK＝CR，CK＝DR，∴，解得，∴D（4，﹣7），综上所述，D的坐标为：（，﹣）或（4，﹣7）．25．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与y＝kx+4分别交x轴于点A、B，两直线交于y轴上同一点C，点D的坐标为（﹣，0），点E是AC的中点，连接OE交CD于点F．第20页（共24页）,（1）求点F的坐标；（2）若∠OCB＝∠ACD，求k的值；（3）在（2）的条件下，过点F作x轴的垂线l，点M是直线BC上的动点，点N是x轴上的动点，点P是直线l上的动点，使得以B，P，M、N为顶点的四边形是菱形，求点P的坐标．【解答】解：（1）如图1，∵直线y＝x+4交x轴于A，交y轴于C，∴A（﹣4，0），C（0，4），∵AE＝EC，∵E（﹣2，2），∴直线OE的解析式为y＝﹣x，∵D（﹣，0），∴直线CD的解析式为y＝3x+4，由，解得，∴F（﹣1，1）；第21页（共24页）,（2）如图2，过点D作DT⊥CD交BC于点T，过点T作TH⊥x轴于点H，∵OA＝OC，故∠ACO＝45°，∵∠OCB＝∠ACD，∴∠DCB＝∠BCO+∠OCD＝∠ACD+∠DCO＝45°，故△CDT为等腰直角三角形，则CD＝TD，∵∠CDO+∠HDT＝90°，∠HDT+∠DTH＝90°，∴∠CDO＝∠DTH，∵∠COD＝∠DHT＝90°，CD＝TD，∴△DHT≌△COD（AAS），∴HT＝OD＝，DH＝CO＝4．则OH＝4﹣＝，∴T（，﹣），把T（，﹣）代入y＝kx+4，解得：k＝﹣2；（3）如图3，第22页（共24页）,当四边形BN1P1M1是菱形时，连接BP1交OC于K，作KH⊥BC于H．∵∠KBO＝∠KBH，KO⊥OB，KH⊥BC，∴KO＝KH，∵BK＝BK，∠KOB＝∠KHB＝90°，∴Rt△KBO≌Rt△KBH（HL），∴BO＝BH＝2，设OK＝KH＝x，∵BC＝＝＝2，∴CH＝2﹣2，在Rt△CHK中，CK2＝KH2+CH2，∴（4﹣x）2＝x2+（2﹣2）2，∴x＝﹣1，∴直线BK的解析式为y＝x+﹣1，当x＝﹣1时，y＝，∴P1（﹣1，）．当四边形BN2P2M2是菱形时，可得直线BP2的解析式为y＝x﹣﹣1，当x＝﹣1时，y＝，∴P2（﹣1，）．第23页（共24页）,当四边形BP3N3M3是菱形时，M3在直线x＝﹣1时，∴M3（﹣1，6），∵P3与M3关于x轴对称，∴P3（﹣1，﹣6），当点N在B的右侧，BP4M4N4为菱形时，设点P4的坐标为（﹣1，m），则点M4的坐标为（，m）．则P4B＝P4M4，即32+m2＝（2﹣）2，可得m＝﹣4．此时P4（﹣1，﹣4）．综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）或（﹣1，﹣6）或（﹣1，﹣4）．第24页（共24页）