2021-2022学年福建省福州市仓山区时代中学八年级（下）期中数学试卷

2021-2022学年福建省福州市仓山区时代中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）二次根式中字母x的取值可以是（）A．x＝5B．x＝3C．x＝2D．x＝12．（4分）下列函数的图象经过原点的是（）A．y＝﹣2x+2B．C．y＝4xD．y＝x2+53．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，平行四边形ABCD的面积为42，OA＝3，则BC的长为（）A．7B．8C．12D．134．（4分）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．轴对称图形C．对角线互相平分D．对角线平分每一组对角5．（4分）在△ABC中，点D在边BC上，若AD2+BD2＝AB2，则下列结论正确的是（）A．∠BAC＝90°B．∠BAD＝90°C．∠ABD＝90°D．∠ADB＝90°6．（4分）直角三角形斜边上的高与斜边上的中线分别为4和5，则这个直角三角形的面积为（）A．40B．30C．20D．107．（4分）对于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0），下列的说法错误的是（）A．y随着x的增大而减小B．点（﹣1，﹣2）可能在这个函数的图象上C．图象与y轴交于点（0，b）D．当时，y＜08．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝AB＝10，则AE的长为（）第1页（共21页）,A．10B．C．D．9．（4分）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（）A．m＞0，n＞0B．m＞0，n＜0C．m＜0，n＞0D．m＜0，n＜010．（4分）一次函数y1＝kx+3（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．当x＜2时，y1＞y2，则k取值范围（）A．k≤﹣2B．﹣2≤k≤1且k≠0C．k≥1D．﹣2＜k＜1且k≠0二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠A＝．12．（4分）已知，则m＝．13．（4分）已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为．14．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的坐标是．15．（4分）如图1，点Q为菱形ABCD边BC上一点，将菱形ABCD沿直线AQ翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上．动点M从点B出发，在射线BC上以每秒1个单位长度运动．设点M运动的时间为x，△APM的面积为y，图2为y关于x的函数图象，则菱形ABCD面积为．第2页（共21页）,16．（4分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3＝．三、解答题（本大题有9小题，共86分）17．（10分）计算：（1）；（2）．18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝4，CD＝8．求∠ADC的度数．19．（8分）如图，方格中每个小正方形的边长均为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB为边的正方形ABEF，点E和点F均在小正方形的顶点上；（2）画出等腰△CDG，使点G在小正方形的顶点上，且△CDG的周长为10+；（3）比较线段AE与DG的大小：AEDG．第3页（共21页）,20．（8分）如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，延长EF至点G，连接CG．（1）若EF＝FG，求证：四边形EBCG为平行四边形；（2）若CG平分△ABC的外角∠ACD，直接写出AG与CG有怎样的位置关系：．21．（9分）如图，已知直线y＝kx+b与坐标轴交于A（1，0），C（0，1）两点，直线y＝x+2与x轴交于点B．且与直线y＝kx+b相交于P点．（1）求k、b的值及点P的坐标．（2）求四边形PBOC的面积．22．（10分）“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打8折；（1）填表：购买量x/kg0123…付款金额y/05…元第4页（共21页）,（2）求付款金额y关于购买量x的函数解析式，并在给出的平面直角坐标系中画出函数图象；（3）一次性购买多少种子付款22元？23．（10分）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委会官方也推出了许多吉祥物的周边产品．现有以下两款：已知购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买1个冰墩墩和3个雪容融需要420元；（1）请问冰墩墩和雪容融每个的售价分别是多少元？（2）北京奥运官方特许零售店开始销售的第一天4个小时内全部售罄，于是从厂家紧急调配24000个商品，拟租用甲、乙两种车共6辆，一次性将商品送到指定地点，若每辆甲种车的租金为400元可装载4500个商品，每辆乙种车的租金为280元可装载3000个商品，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．24．（11分）在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是边BC延长线上的动点，过点E作EF⊥BD于F，且与CD、AD分别交于点G、H，连接OH．（1）如图，若AC⊥AB，OF＝OC，求证：FG＝CG；第5页（共21页）,（2）若在点E运动的过程中，存在四边形OCGH是菱形的情形，试探究▱ABCD的边和角需要满足的条件．25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．第6页（共21页）,2021-2022学年福建省福州市仓山区时代中学八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）二次根式中字母x的取值可以是（）A．x＝5B．x＝3C．x＝2D．x＝1【解答】解：∵x﹣4≥0，∴x≥4，∵5＞4，3＜4，2＜4，1＜4，∴二次根式中字母x的取值可以是4．故选：A．2．（4分）下列函数的图象经过原点的是（）A．y＝﹣2x+2B．C．y＝4xD．y＝x2+5【解答】解：A、当x＝0时，y＝2，不经过原点，故本选项不合题意；B、当x＝0时，y＝无意义，不经过原点，故本选项不合题意；C、当x＝0时，y＝0，经过原点，故本选项符合题意；D、当x＝0时，y＝5，不经过原点，故本选项不合题意；故选：C．3．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，平行四边形ABCD的面积为42，OA＝3，则BC的长为（）A．7B．8C．12D．13【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO＝6，∵AC⊥BC，平行四边形ABCD的面积为42，第7页（共21页）,∴AC•BC＝42，∴BC＝7，故选：A．4．（4分）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对角线相等B．轴对称图形C．对角线互相平分D．对角线平分每一组对角【解答】解：A．对角线相等既是正方形的性质也是矩形的性质，故选项A不符合题意；B．正方形与矩形都轴对称图形，故选项B不符合题意；C．正方形与矩形的对角线都互相平分，故选项C不符合题意；D．对角线平分每一组对角是正方形与菱形的性质，非正方形的矩形不具有该性质，故选项D符合题意；故选：D．5．（4分）在△ABC中，点D在边BC上，若AD2+BD2＝AB2，则下列结论正确的是（）A．∠BAC＝90°B．∠BAD＝90°C．∠ABD＝90°D．∠ADB＝90°【解答】解：∵AD2+BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，故选：D．6．（4分）直角三角形斜边上的高与斜边上的中线分别为4和5，则这个直角三角形的面积为（）A．40B．30C．20D．10【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线为5，∴斜边为10，∵直角三角形斜边上的高为4，∴这个直角三角形的面积＝×10×4＝20，故选：C．7．（4分）对于一次函数y＝kx+b（k＜0，b＞0），下列的说法错误的是（）A．y随着x的增大而减小B．点（﹣1，﹣2）可能在这个函数的图象上C．图象与y轴交于点（0，b）第8页（共21页）,D．当时，y＜0【解答】解：∵k＜0，∴y随x的增大而减小，A正确，不符合题意；假设点（﹣1，﹣2）在这个函数的图象上，则﹣2＝﹣k+b，∴b＝k﹣2，∴k＜0，∴k﹣2＜0，∴b＜0，这与b＞0不一致，∴B错误，符合题意，令x＝0时，y＝b，∴图象与y轴的交点为（0，b），C正确，不符合题意；当x＞﹣时，y＜0；∴D正确，不符合题意；故选：B．8．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF＝AB＝10，则AE的长为（）A．10B．C．D．【解答】解：设AE交BF于点O，连接EF，如图所示：由题意可知：AB＝AF，AE⊥BF，∴OB＝OF，∠BAE＝∠EAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∴∠EAF＝∠AEB，第9页（共21页）,∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE＝AF，∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形，∴OA＝OE，OB＝OF＝BF＝5，在Rt△AOB中，OA＝＝＝5，∴AE＝2OA＝10．故选：C．9．（4分）如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），那么一定有（）A．m＞0，n＞0B．m＞0，n＜0C．m＜0，n＞0D．m＜0，n＜0【解答】解：∵一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（3，m）、B（n，﹣2），∴点A，B分别在一、三象限，∴m＞0，n＜0．故选：B．10．（4分）一次函数y1＝kx+3（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．当x＜2时，y1＞y2，则k取值范围（）A．k≤﹣2B．﹣2≤k≤1且k≠0C．k≥1D．﹣2＜k＜1且k≠0【解答】解：∵一次函数y1＝kx+3（k为常数，且k≠0）和y2＝x﹣3，当x＜2时，y1＞y2，∴kx+3＞x﹣3，∴kx﹣x＞﹣6，第10页（共21页）,∴k﹣1＜0且﹣≥2且k≠0，当k﹣1＜0时，﹣≥2时，k≥﹣2，所以不等式组的解集为﹣2≤k＜1且k≠0；当k＝1时，也成立，故k的取值范围是﹣2≤k≤1且k≠0，故选：B．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝100°，则∠A＝50°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∵∠A+∠C＝100°，∴∠A＝50°，故答案为：50°．12．（4分）已知，则m＝．【解答】解：∵×＝3，∴＝，∴10m＝9．∴m＝．故答案为：．13．（4分）已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为（﹣2，0）．【解答】解：当y＝0时，ax﹣b﹣1＝0，∴ax﹣b＝1，∵关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），故答案为：（﹣2，0）．14．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的坐标是（5，0）．第11页（共21页）,【解答】解：连接AC，∵点A（4，﹣2），点C（1，2），∴AC＝＝5，∵四边形ABCO是矩形，∴OB＝AC＝5，∴点B的坐标为（5，0），故答案为：（5，0）．15．（4分）如图1，点Q为菱形ABCD边BC上一点，将菱形ABCD沿直线AQ翻折，点B的对应点P落在BC的延长线上．动点M从点B出发，在射线BC上以每秒1个单位长度运动．设点M运动的时间为x，△APM的面积为y，图2为y关于x的函数图象，则菱形ABCD面积为20．【解答】解：由题意可知，当x＝0时，点M与点B重合，此时y＝12，即•BP•AQ＝12；当x＝6时，点M与点P重合，即BP＝BM＝6，∴AQ＝4，第12页（共21页）,由折叠可知，BQ＝PQ＝3，∠AQB＝90°，由勾股定理可得AB＝5，∴BC＝AB＝5，∴菱形ABCD的面积为5×4＝20．故答案为：20．16．（4分）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1））．图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3＝12．【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG＝KG，CF＝DG＝KF，∴S21＝（CG+DG）＝CG2+DG2+2CG•DG＝GF2+2CG•DG，S22＝GF，S2223＝（KF﹣NF）＝KF+NF﹣2KF•NF，∴S222221+S2+S3＝GF+2CG•DG+GF+KF+NF﹣2KF•NF＝3GF＝12，故答案是：12．三、解答题（本大题有9小题，共86分）17．（10分）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）＝（2）2﹣（）2第13页（共21页）,＝20﹣3＝17；（2）＝3﹣6﹣3＝﹣6．18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，BC＝4，CD＝8．求∠ADC的度数．【解答】解：∵AB＝AD＝4，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，BD＝4，∵BC＝4，CD＝8．∴BD2+CD2＝42+82＝16+64＝80＝（4）2，∴△BDC是直角三角形，∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝60°+90°＝150°，即∠ADC的度数是150°．19．（8分）如图，方格中每个小正方形的边长均为1，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．（1）画出以AB为边的正方形ABEF，点E和点F均在小正方形的顶点上；（2）画出等腰△CDG，使点G在小正方形的顶点上，且△CDG的周长为10+；（3）比较线段AE与DG的大小：AE＜DG．【解答】解：（1）如图，正方形ABEF即为所求；（2）如图，△CDG即为所求；第14页（共21页）,（3）∵AE＝，DG＝，∴DG＞AE，故答案为：＜．20．（8分）如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，延长EF至点G，连接CG．（1）若EF＝FG，求证：四边形EBCG为平行四边形；（2）若CG平分△ABC的外角∠ACD，直接写出AG与CG有怎样的位置关系：AG⊥CG．【解答】（1）证明：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∵EF＝FG，∴EG＝BC，∴四边形EBCG为平行四边形；（2）解：AG⊥CG，理由如下：∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，AF＝CF，∴EF∥BC，∴∠FGC＝∠GCD．∵CG平分∠ACD，第15页（共21页）,∴∠FCG＝∠GCD，∴∠FCG＝∠FGC，∴FG＝CF．∴AF＝CF＝FG，∴FG是△ACG中AC边上的中线，且FG＝AC，∴△AGC是直角三角形，∠AGC＝90°，∴AG⊥CG，故答案为：AG⊥CG．21．（9分）如图，已知直线y＝kx+b与坐标轴交于A（1，0），C（0，1）两点，直线y＝x+2与x轴交于点B．且与直线y＝kx+b相交于P点．（1）求k、b的值及点P的坐标．（2）求四边形PBOC的面积．【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b与坐标轴交于A（1，0），C（0，1）两点，∴，解得，∴y＝﹣x+1，由，解得，∴P点的坐标为（﹣，）；（2）在y＝x+2中，令y＝0，则x+2＝0，解得x＝﹣2，∴B（﹣2，0），∵A（1，0），C（0，1），P（﹣，），第16页（共21页）,∴AB＝3，OC＝1，∴S四边形PBOC＝S△PAB﹣S△AOC＝﹣＝．22．（10分）“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子价格打8折；（1）填表：购买量x/kg0123…付款金额y/051014…元（2）求付款金额y关于购买量x的函数解析式，并在给出的平面直角坐标系中画出函数图象；（3）一次性购买多少种子付款22元？【解答】解：（1）由题意可得，当x＝2时，y＝5×2＝10，当x＝3时，y＝5×2+（3﹣2）×5×0.8＝14，故答案为：10，14；（2）由题意可得，当0＜x≤2时，y＝5x，当x＞2时，y＝5×2+（x﹣2）×5×0.8＝4x+2，由上可得，y＝，第17页（共21页）,函数图象如右图所示；（3）将y＝22代入y＝4x+2，得22＝4x+2，解得x＝5，答：一次性购买5kg种子付款22元．23．（10分）2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委会官方也推出了许多吉祥物的周边产品．现有以下两款：已知购买3个冰墩墩和2个雪容融需要560元；购买1个冰墩墩和3个雪容融需要420元；（1）请问冰墩墩和雪容融每个的售价分别是多少元？（2）北京奥运官方特许零售店开始销售的第一天4个小时内全部售罄，于是从厂家紧急调配24000个商品，拟租用甲、乙两种车共6辆，一次性将商品送到指定地点，若每辆甲种车的租金为400元可装载4500个商品，每辆乙种车的租金为280元可装载3000个商品，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．【解答】解：（1）设1个冰墩墩的售价为x元，1个雪容融的售价为y元，根据题意，得：第18页（共21页）,，解得，答：1个冰墩墩的售价为120元，1个雪容融的售价为100元；（2）设租用甲种车a辆，则租用乙种车（6﹣a）辆，总租金为w元，根据题意，得：w＝400a+280（6﹣a）＝120a+1680，由题意，得4500a+3000（6﹣a）≥24000，解得a≥4，∵120＞0，∴w随a的增大而增大，∴当a＝4时，w有最小值为2160，此时6﹣a＝2，即当租用甲种车4辆，租用乙种车2辆，总租金最低，最低费用为2160元．24．（11分）在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是边BC延长线上的动点，过点E作EF⊥BD于F，且与CD、AD分别交于点G、H，连接OH．（1）如图，若AC⊥AB，OF＝OC，求证：FG＝CG；（2）若在点E运动的过程中，存在四边形OCGH是菱形的情形，试探究▱ABCD的边和角需要满足的条件．【解答】（1）证明：连接OG，如图1所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵AC⊥AB，∴AC⊥CD，∴∠OCG＝90°，∵EF⊥BD，∴∠OFG＝90°，第19页（共21页）,在Rt△OFG和Rt△OCG中，，∴Rt△OFG≌Rt△OCG（HL），∴FG＝CG；（2）解：如图2所示：若四边形OCGH是菱形，则OH＝OC，OH∥CG，OC∥GH，∵EF⊥BD，∴AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，∴CD＝AD，OA＝OC，∴OA＝OH，∴∠OAH＝∠OHA，∵OH∥CG，∴∠OHA＝∠ADC，∵CD＝AD，∴∠CAD＝∠DCA，∴∠CAD＝∠ADC＝∠DCA，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°，即要使四边形OCGH是菱形，▱ABCD的边和角需要满足的条件是：CD＝AD，∠ADC＝60°．第20页（共21页）,25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A，B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C．（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．【解答】解：（1）令x＝0，y＝1，∴直线l与y轴的交点坐标（0，1）；（2）由题意，A（k，k2+1），B（，﹣k），C（k，﹣k），①当k＝2时，A（2，5），B（﹣，﹣2），C（2，﹣2），在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，﹣1），（1，0），（1，﹣1），（1，1），（1，2）；②由题意，点B的横坐标判断出点B始终直线x＝﹣1的右侧（也就是直线x＝﹣2在直线y＝k的右侧，点B的左侧），当k＞0时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意；当﹣1≤k＜0时，W内点的横坐标在﹣1到0之间，故﹣1≤k＜0时W内无整点；当﹣2≤k＜﹣1时，W内可能存在的整数点横坐标只能为﹣1，此时边界上两点坐标为M（﹣1，﹣k）和N（﹣1，﹣k+1），MN＝1；当k不为整数时，其上必有整点，但k＝﹣2时，只有两个边界点为整点，故W内无整点；当k≤﹣2时，横坐标为﹣2的边界点为（﹣2，﹣k）和（﹣2，﹣2k+1），线段长度为﹣k+1＞3，故必有整点．综上所述：﹣1≤k＜0或k＝﹣2时，W内没有整数点；第21页（共21页）