浙教版九下课后作业2.3 三角形的内切圆

2.3　三角形的内切圆　　　　　　　　　　　　　　　一、选择题1．如图，已知△ABC的内切圆⊙O与各边分别相切于点D，E，F，那么点O是△DEF的(　　)A．三条中线的交点B．三条高线的交点C．三边垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点2．等边三角形内切圆与外接圆的半径之比为(　　)A．1∶B．3∶C．1∶2D．1∶33．已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为(　　)A.B.C.D．24．如图是输油管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两条直角边长分别为6m和8m．按照输油中心O到三条支路的距离相等来连结管道，则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，中心O为点)是(　　)　　A．2mB．3mC．6mD．9m二、填空题5．如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝________度．6.如图，⊙O为△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，若∠DOB＝73°，∠DOE＝120°，则∠DOF的度数为______，∠C的度数为________，∠A的度数为________． 7．如图，点O在△ABC的内部，∠A＝40°，(1)若点O是△ABC的外心，则∠BOC的度数为________；(2)若点O是△ABC的内心，则∠BOC的度数为________．8．如图，小敏家厨房一墙角处有一自来水管，装修时为了美观，准备用木板从AB处将水管密封起来，互相垂直的两墙面与水管分别相切于D，E两点，经测量发现AD和BE的长恰是方程x2－25x＋150＝0的两根(单位：cm)，则该自来水管的半径为________cm.9．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形AOBC，反比例函数y＝的图象经过正方形AOBC两对角线的交点，半径为4－2的圆内切于△ABC，则k的值为________．　　　　三、解答题 10．如图，已知∠C＝90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，AB与⊙O相切于点D，AO的延长线交BC于点E.求证：AD·AE＝AO·AC.11．如图，在△ABC中，AB＝AC，其内切圆⊙O与边BC，AC，AB分别切于点D，E，F.(1)求证：BF＝CE；(2)若∠ACB＝30°，CE＝2，求AC的长．12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AF⊥BC于点F，点O在AF上，⊙O经过点F，并分别与AB，AC边切于点D，E，连结OD，DE.求：(1)△ADE的周长；(2)内切圆⊙O的面积.13.已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，若＝，如图①. (1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；(2)设AE与DF相交于点M，如图②，AF＝2FC＝4，求AM的长.14阅读学习定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内心．如图K－50－12①，PH＝PJ，PI＝PG，则点P就是四边形ABCD的准内心．(1)如图②，∠AFD，∠DEC的平分线FP，EP相交于点P.求证：点P是四边形ABCD的准内心；(2)分别画出图③中平行四边形和图④中梯形的准内心；(作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明)(3)同样，我们定义：到凸四边形一组对角顶点的距离相等，到另一组对角顶点的距离也相等的点叫凸四边形的准外心．若QA＝QC，QB＝QD，则点Q就是四边形ABCD的准外心．那么你认为Q是________和________的交点． 参考答案1．C　[解析]点O是△DEF的外接圆的圆心，即△DEF三边垂直平分线的交点．2．C　[解析]如图，连结OB，OD，∵等边三角形的内心、外心重合，∴OD为内切圆的半径，OB为外接圆的半径．在Rt△BOD中，∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∴sin∠OBD＝＝sin30°＝，即OD∶OB＝1∶2.3．C　[解析]如图，作三角形一边上的高，不妨作最长边BC上的高AD，设BD＝x，则CD＝8－x，则有h2＝52－x2＝72－(8－x)2，解得x＝，从而h＝，∴三角形的面积＝××8＝r×(5＋7＋8)，∴r＝.故选C.4．C5．906．146°　60°　86°[解析]由题意知，Rt△OBD≌Rt△OBF，∴∠BOD＝∠BOF＝73°，∴∠DOF＝73°＋73°＝146°.∵∠ODC＝∠OEC＝90°，∴∠C＝360°－90°×2－120°＝60°.又∵∠ABC＝360°－∠BDO－∠BFO－∠DOF＝360°－90°－90°－146°＝34°.∴∠A＝180°－∠ABC－∠C＝180°－34°－60°＝86°.7．80°　110°8．5[解析]设圆心为O，如图，连结OD，OE.解方程x2－25x＋150＝0，得x1＝10，x2＝15.∴设AD＝10，BE＝15，水管的半径为x，∴AB＝AD＋BE＝25，∴(AD＋x)2＋(BE＋x)2＝AB2，∴(10＋x)2＋(15＋x)2＝252，解得x＝5.9．410．证明：连结OD.∵AB与⊙O相切于点D，∴∠ADO＝90°.又∵∠C＝90°，∴∠ADO＝∠C.又∵点O是Rt△ABC的内心，∴∠DAO＝∠EAC， ∴△ADO∽△ACE，∴＝，即AD·AE＝AO·AC.11．(1)证明：连结AO并延长，∵AB＝AC，∴AO的延长线交BC于切点D，则BD＝CD.又由切线长定理，得BF＝BD，CD＝CE，∴BF＝CE.(2)解：∵CE＝2，∴CD＝2.又∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.又∵∠ACB＝30°，∴AC＝＝＝＝4.12．解：(1)∵AB＝AC，BC＝12，AF⊥BC于点F，∴BF＝FC＝6.∵⊙O经过点F，并分别与AB，AC边切于点D，E，∴BD＝BF＝6，CE＝CF＝6.∵AB＝AC＝10，∴AD＝AE＝4，∴AD∶AB＝AE∶AC.又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，∴DE∶BC＝AD∶AB，即DE∶12＝4∶10，∴DE＝4.8，∴△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝4＋4.8＋4＝12.8.(2)∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝90°.∵AB＝10，BF＝6，∴AF＝＝8.∵⊙O与AB边切于点D，∴∠ADO＝90°，∴∠ADO＝∠AFB.又∵∠OAD＝∠BAF，∴△ADO∽△AFB，∴AO∶AB＝OD∶BF，即(8－OD)∶10＝OD∶6，∴OD＝3，∴S⊙O＝π·OD2＝9π.13．解：(1)△ABC是等腰三角形．证明：∵AC，AB，BC是⊙O的切线，∴AF＝AD，CF＝CE，BE＝BD，∠CFO＝∠CEO＝90°. 连结CO，BO，则△CFO≌△CEO，∴∠COF＝∠COE，同理∠BOE＝∠BOD.∵＝，∴∠EOF＝∠EOD，∴∠COE＝∠BOE.又∠CEO＝∠BEO＝90°，OE＝OE，∴△COE≌△BOE，∴CE＝BE.∵CF＝CE，BE＝BD，∴CF＝BD.∵AF＝AD，∴AC＝AB，即△ABC是等腰三角形．(2)∵AC＝AB，CE＝BE，∴AE⊥BC，∠FAO＝∠DAO.∵AF＝AD，∴FM＝DM，FM⊥AM，∴AE过圆心O，DF∥BC，∴AF∶AC＝DF∶BC，即4∶6＝DF∶4，∴DF＝，∴FM＝，∴AM＝＝.14解：(1)证明：如图①，过点P作PI⊥FD，PJ⊥DE，PG⊥AF，PH⊥EC，垂足分别是I，J，G，H.∵EP平分∠DEC，∴∠PED＝∠PEC.在△PEJ和△PEH中，∴△PEJ≌△PEH，∴PJ＝PH.同理，可证△PGF≌△PIF，∴PG＝PI，∴点P是四边形ABCD的准内心．(2)平行四边形两条对角线的交点P1就是它的准内心，如图②；或者平行四边形两对边中点连线的交点P1就是它的准内心，如图③；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P2就是它的准内心，如图④. (3)根据凸四边形的准外心的定义即可得出四边形ABCD的准外心Q是AC的中垂线和BD的中垂线的交点．故答案为：AC的中垂线，BD的中垂线．