浙教版九下课后作业2.1 直线与圆的位置关系

2.1　直线与圆的位置关系（1）一、选择题1．如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是(　　)A．相离B．相交C．相切D．以上三种情况均有可能2．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是(　　)A．0＜r<6B．r＝6C．r>6D．r≥63．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为(　　)A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cm4．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是(　　)A．相切B．相交C．相离D．无法确定5．如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB＝60°，延长OB至点C，过点C作直线OA的垂线记为l，则下列说法正确的是(　　)　A．当BC等于0.5时，l与⊙O相离B．当BC等于2时，l与⊙O相切C．当BC等于1时，l与⊙O相交 D．当BC不为1时，l与⊙O不相切二、填空题6．若⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d，且＋＝0，则直线l与⊙O有________个公共点．7．如图所示，已知∠AOB＝45°，以点M为圆心，2cm为半径作⊙M，若点M在OB边上运动，则当OM＝________cm时，⊙M与射线OA相切．8．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以点A为圆心，4为半径作的⊙A与直线BC的位置关系是________．9．在△ABO中，若OA＝OB＝2，⊙O的半径为1，当∠AOB＝________时，直线AB与⊙O相切；当∠AOB满足________时，直线AB与⊙O相交；当∠AOB满足________时，直线AB与⊙O相离.10．如图，给定一个半径为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即OM＝d.我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m.如d＝0时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有四个到直线l的距离等于1的点，即m＝4，由此可知：(1)当d＝3时，m＝________；(2)当m＝2时，d的取值范围是________．三、解答题11．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.根据下列条件判断直线l与⊙O的位置关系：(1)d＝5，r＝4；(2)d＝，r＝；(3)d＝2，r＝4sin45°. 12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，以点C为圆心，r为半径画圆．若⊙C与斜边AB只有一个公共点，求r的取值范围．13．如图，已知⊙O与BC相切，点C不是切点，AO⊥OC，∠OAC＝∠ABO，且AC＝BO，判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．14．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E为AB上的一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？ 15．如图，要在某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知点C周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上．请判断公路MN是否会穿过原始森林保护区，并说明理由．(参考数据：≈1.732)16阅读学习已知点P(x0，y0)和直线y＝kx＋b，则点P到直线y＝kx＋b的距离d可用公式d＝计算． 例如：求点P(－1，2)到直线y＝3x＋7的距离．解：因为直线y＝3x＋7，其中k＝3，b＝7，所以点P(－1，2)到直线y＝3x＋7的距离为：d＝＝＝＝.根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P(1，－1)到直线y＝x－1的距离；(2)已知⊙Q的圆心Q的坐标为(0，5)，半径r为2，判断⊙Q与直线y＝x＋9的位置关系，并说明理由． 参考答案1．C　[解析]过点C作CD⊥AO于点D，∵∠O＝30°，OC＝6，∴DC＝3，∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是相切．故选C.2．C3．B4．B　过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N，∴AM·BC＝AC·AB，∴AM＝＝2.4.∵D，E分别是AC，AB的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝2.5，∴AN＝MN＝AM＝1.2.∵以DE为直径的圆的半径为1.25，1．25>1.2，∴以DE为直径的圆与BC的位置关系是相交．5．D　[解析]A．∵BC＝0.5，∴OC＝OB＋CB＝1.5.∵∠AOB＝60°，∴∠ACO＝30°，AO＝OC＝0.75＜1，∴l与⊙O相交，故A错误；B．∵BC＝2，∴OC＝OB＋CB＝3.∵∠AOB＝60°，∴∠ACO＝30°，AO＝OC＝1.5＞1，∴l与⊙O相离，故B错误；C．∵BC＝1，∴OC＝OB＋CB＝2.∵∠AOB＝60°，∴∠ACO＝30°，AO＝OC＝1，∴l与⊙O相切，故C错误；D．∵BC≠1，∴OC＝OB＋CB≠2.∵∠AOB＝60°，∴∠ACO＝30°，AO＝OC≠1，∴l与⊙O不相切，故D正确．故选D.6．17．2[解析]过点M作MD⊥OA，垂足为D.由于⊙M与OA相切，故MD＝2cm.因为∠BOA＝45°，所以OD＝MD＝2cm，所以OM＝＝2(cm)．8．相切　9．120°　120°＜∠AOB＜180°　0°＜∠AOB＜120°[解析]通过画草图，过点O作OC⊥AB于点C，由直线AB与⊙O相切，可得OC＝1，不难求得∠AOC＝60°，故∠AOB＝120°；另两种情况也不难确定． 10．(1)1　(2)1＜d＜311．解：(1)∵d>r，∴直线l与⊙O相离．(2)∵d<r，∴直线l与⊙O相交．(3)∵d＝r＝2，∴直线l与⊙O相切．12.解：如图所示，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB＝＝＝10(cm)．∵S△ABC＝AB·CD＝AC·BC，∴AB·CD＝AC·BC，∴10×CD＝6×8，∴CD＝4.8cm.观察图知，当⊙C的半径r＝4.8cm时，⊙C与斜边AB只有一个公共点；当6cm<r≤8cm时，⊙C与斜边AB只有一个公共点，∴当⊙C与斜边AB只有一个公共点时，半径r的取值范围是r＝4.8cm或6cm<r≤8cm.13．解：相离．理由：如图，延长BA至点D，使得BD＝OA，连结OD.在△OAC与△DBO中，∴△OAC≌△DBO(SAS)，∴OC＝OD，∠AOC＝∠ODB.∵AO⊥OC，∴∠ODB＝90°. ∵⊙O与BC相切，点C不是切点，∴OC＞半径，∴OD＞半径，∴直线AB与⊙O的位置关系是相离．14．解：如图，过点E作EF⊥CD于点F.∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，∠A＝∠B＝90°，∴EA＝EF＝EB＝AB，∴以AB为直径的圆，即⊙E的圆心E到直线CD的距离等于半径，∴以AB为直径的圆与边CD相切．15．[解析]过点C作CH⊥MN，比较CH的长与200米的大小即可，即判断直线MN与以点C为圆心，200米为半径的圆的位置关系．解：公路MN不会穿过原始森林保护区．理由如下：如图所示，过点C作CH⊥AB于点H.设CH＝x米，由已知得∠HAC＝45°，∠HBC＝30°.在Rt△ACH中，AH＝CH＝x米．在Rt△HBC中，tan∠HBC＝，∴BH＝＝＝x(米)．又∵AH＋BH＝AB，∴x＋x＝600，解得x＝≈220(米)>200米，故公路MN不会穿过原始森林保护区．16.解：(1)因为直线y＝x－1，其中k＝1，b＝－1，所以点P(1，－1)到直线y＝x－1的距离为： d＝＝＝＝.(2)⊙Q与直线y＝x＋9相切．理由如下：圆心Q(0，5)到直线y＝x＋9的距离为：d＝＝＝2.因为⊙Q的半径r为2，即d＝r，所以⊙Q与直线y＝x＋9相切． 2.1直线与圆的位置关系第2课时切线的判定与性质一、选择题1．经过⊙O的直径的一端能作⊙O的切线(　　)A．0条B．1条C．2条D．3条2．以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为(　　)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形3．在△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于点D，则直线AC与△BDC的外接圆的位置关系是(　　)A．相离B．相切C．相交D．无法确定4．在正方形ABCD中，P是对角线AC上的任意一点(不包括端点)，以点P为圆心的圆与AB相切，则AD与⊙P的位置关系是(　　)A.相离B.相切C．相交D．不能确定5．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若OC＝AB，则∠C的度数为(　　)A．15°B．30°C．45°D．60°6．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA＝4，OB＝3，则cos∠APO的值为(　　)　　A.B.C.D.7．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，∠A＝25°，过点C作⊙O的切线，交AB 的延长线于点D，则∠D的度数是(　　)A．25°B．40°C．50°D．65°8．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB，CD与小圆分别相切于点E，F，则弦AB与CD的大小关系是(　　)　　　A．AB>CDB．AB＝CDC．AB<CDD．无法确定9．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D.若OD＝2，tan∠OAB＝，则AB的长是(　　)A．4B．2C．8D．4二、填空题10．在平面直角坐标系中，以点(2，1)为圆心，1为半径的圆必与________轴相切．11．如图，⊙O的半径为4cm，BC是直径，若AB＝10cm，则当AC＝________cm时，AC与⊙O相切．12．如图，已知∠MAN＝30°，O为AN边上一点，以点O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x，当x＝________时，⊙O与AM相切． 13．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是________．(不添加其他字母和线段)14．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学们思考如下问题：已知：如图K－47－4，在△ABC中，∠A＝90°.求作：⊙P，使得点P在边AC上，且⊙P与AB，BC都相切．图K－47－4小轩的主要作法如下：如图，　　(1)作∠ABC的平分线BF，与AC交于点P；(2)以点P为圆心，AP长为半径作⊙P.则⊙P即为所求．老师说：“小轩的作法正确．”请回答：⊙P与BC相切的依据是________________________________________________.15．如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________°. 16．如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC＝8，则⊙O的半径为________．　　17．如图，点A，B，C均在⊙O上，切线CD与OB的延长线交于点D，连结OC.若∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径为________．18．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C.连结AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D.下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)　①△CPD∽△DPA；②若∠A＝30°，则PC＝BC；③若∠CPA＝30°，则PB＝OB；④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP的度数为定值．19．某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图．⊙O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且⊙O与矩形上下两边相切(E为上切点)，与左右两边相交(F，G为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，根据设计要求，若∠EOF＝45°，则此窗户的透光率(透光区域与矩形窗面的面积的比值)为________. 三、解答题20．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点O，以点O为圆心，BO的长为半径作圆．求证：AC是⊙O的切线．21．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，∠CBA＝50°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED＝EA.(1)求∠DOA的度数；(2)求证：直线ED与⊙O相切.22．如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求DE的长．23．如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD＝∠ACB. (1)求证：AB是圆的切线；(2)若E是BC上一点，已知BE＝4，tan∠AEB＝，AB∶BC＝2∶3，求圆的直径．24．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F.(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积(结果保留π).25探究应用：如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为N，连结AC，点E在AB上，且AE＝CE. (1)求证：AC2＝AE·AB；(2)过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；(3)设⊙O的半径为4，N为OC的中点，点Q在⊙O上，求线段PQ长的最小值．26．如图，已知AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，AB＝3cm，BC＝1cm，求⊙O的半径．27．如图，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆O于点D，连结OD.作BE⊥CD于点E，交半圆O于点F.已知CE＝12，BE＝9.(1)求证：△COD∽△CBE；(2)求半圆O的半径r.28．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E.(1)求证：∠1＝∠CAD； (2)若AE＝EC＝2，求⊙O的半径．29．如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD＝AB，AD，BC的延长线相交于点E.(1)求证：AD是半圆O的切线；(2)连结CD，求证：∠A＝2∠CDE；(3)若∠CDE＝27°，OB＝2，求的长．30．综合探究如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AC为直径，过点A作⊙O的切线交CB的延长线于点E，过AC的三等分点F(靠近点C)作CE的平行线交AB于点G，连结CG. (1)求证：AB＝CD；(2)求证：CD2＝BE·BC；(3)当CG＝，BE＝时，求CD的长． 参考答案1．B2．B3．B　4．B5．B　6．C　7．B　8．B　9．C　10．X11．612．213．答案不唯一，如CD＝BD14．角平分线上的点到角两边的距离相等；经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线(或：如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线与圆相切)15．5016．517．218．②③④19．20．证明：过点O作OE⊥AC于点E，∵AO平分∠BAC，∠B＝90°，∴OE＝OB，∴AC是⊙O的切线．21．解：(1)∵OD＝OB，∴∠DBO＝∠ODB＝50°，∴∠DOA＝2∠DBO＝100°.(2)证明：连结OE.在△EAO与△EDO中，∴△EAO≌△EDO，∴∠EAO＝∠EDO.∵∠BAC＝90°，∴∠EDO＝90°，∴直线ED与⊙O相切．22．解：(1)证明：如图，连结OD.∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAO，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.又∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线． (2)过点O作OF⊥AC于点F，∴AF＝CF＝3，∴OF＝＝＝4.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，∴四边形OFED是矩形，∴DE＝OF＝4.23．解：(1)证明：∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ACB＋∠DBC＝90°.∵∠ABD＝∠ACB，∴∠ABD＋∠DBC＝90°，∴∠ABC＝90°，即AB⊥BC，∴AB是圆的切线．(2)在Rt△AEB中，∵tan∠AEB＝，∴＝，即AB＝BE＝.在Rt△ABC中，＝，∴BC＝AB＝×＝10，∴圆的直径为10.24．解：(1)直线BC与⊙O相切．理由：连结OD.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD.又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.又∵BC过半径OD的外端点D，∴直线BC与⊙O相切．(2)设OF＝OD＝x，则OB＝OF＋BF＝x＋2，根据勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2，即(x＋2)2＝x2＋12，解得x＝2，即OD＝OF＝2，∴OB＝2＋2＝4.∵在Rt△ODB中，OD＝OB，∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，∴S扇形DOF＝＝， ∴S阴影＝S△ODB－S扇形DOF＝×2×2－π＝2－π.故阴影部分的面积为2－π.25解：(1)证明：如图，连结BC，∵CD⊥AB，∴CB＝CA，∴∠CAB＝∠CBA.又∵AE＝CE，∴∠CAE＝∠ACE，∴∠ACE＝∠ABC.又∵∠CAE＝∠BAC，∴△CAE∽△BAC，∴＝，即AC2＝AE·AB.(2)PB＝PE.理由如下：如图，连结BD，OB.∵CD是直径，∴∠CBD＝90°.∵BP是⊙O的切线，∴∠OBP＝90°，∴∠BCD＋∠D＝∠PBC＋∠OBC＝90°.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠PBC＝∠D.又∵∠A＝∠D，∴∠PBC＝∠A.∵∠ACE＝∠ABC，∠PEB＝∠A＋∠ACE，∠PBN＝∠PBC＋∠ABC，∴∠PEB＝∠PBN，∴PE＝PB.(3)如图，连结PO交⊙O于点Q，则此时线段PQ的长有最小值．∵N是OC的中点，∴ON＝2.∵OB＝4，∴∠OBN＝30°，∴∠PBE＝60°.又∵PE＝PB，∴△PEB是等边三角形，∴∠PEB＝60°，PB＝BE.在Rt△BON中，BN＝＝＝2，在Rt△CEN中，EN＝＝＝，∴BE＝BN＋EN＝，∴PB＝BE＝. ∴PQ＝PO－OQ＝－OQ＝－4＝－4.即线段PQ长的最小值为－4.26．解：连结OA，因为AB是⊙O的切线，所以∠OAB＝90°.在Rt△OAB中，设⊙O的半径为rcm，则有(r＋1)2＝r2＋32，解得r＝4.故⊙O的半径是4cm.27．解：(1)证明：∵CD切半圆O于点D，OD为半圆O的半径，∴CD⊥OD，∴∠CDO＝90°.∵BE⊥CD于点E，∴∠E＝90°，∴∠CDO＝∠E.又∵∠C＝∠C，∴△COD∽△CBE.(2)∵在Rt△BEC中，CE＝12，BE＝9，∴CB＝15.∵△COD∽△CBE，∴＝，即＝，∴r＝.28．(1)证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°.∵AC为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠BDO＝∠CAD.又∵∠1＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD.(2)解：∵∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD∶CA＝CE∶CD，∴CD2＝CA·CE.∵AE＝EC＝2，∴AC＝AE＋EC＝4，∴CD＝2.设⊙O的半径为x，则OA＝OD＝x， 在Rt△AOC中，OA2＋AC2＝OC2，∴x2＋42＝(2＋x)2，解得x＝.∴⊙O的半径为.29．(1)证明：如图，连结OD，BD.∵AB是半圆O的切线，∴AB⊥BC，即∠ABO＝90°.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵OB＝OD，∴∠DBO＝∠BDO，∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO，∴∠ADO＝∠ABO＝90°，即OD⊥AD.又∵OD是半圆O的半径，∴AD是半圆O的切线．(2)证明：由(1)知，∠ADO＝∠ABO＝90°，∴∠A＝360°－∠ADO－∠ABO－∠BOD＝180°－∠BOD，即∠A＝∠DOC.∵AD是半圆O的切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ODC＋∠CDE＝90°.∵BC是半圆O的直径，∴∠ODC＋∠BDO＝90°，∴∠BDO＝∠CDE.∵∠BDO＝∠OBD，∴∠DOC＝2∠BDO，∴∠DOC＝2∠CDE.∴∠A＝2∠CDE.(3)解：∵∠CDE＝27°，∴∠DOC＝2∠CDE＝54°，∴∠BOD＝180°－54°＝126°.∵OB＝2，∴的长＝＝π.30.(1)证明：∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ABC＋∠BAD＝180°， ∴BC∥AD，∴∠BCA＝∠CAD，∴AB＝CD.(2)证明：∵AE为⊙O的切线且O为圆心，∴OA⊥AE，即CA⊥AE，∴∠EAB＋∠BAC＝90°.而∠BAC＋∠BCA＝90°，∴∠EAB＝∠BCA.而∠EBA＝∠ABC＝90°，∴△EBA∽△ABC，∴＝，∴BA2＝BE·BC.由(1)知AB＝CD，∴CD2＝BE·BC.(3)解：由(2)知CD2＝BE·BC，即CD2＝BC.①∵FG∥BC，且F为AC的三等分点，∴G为AB的三等分点，即CD＝AB＝3BG.在Rt△CBG中，有CG2＝BG2＋BC2，即3＝＋BC2.②把①代入②，消去CD，得BC2＋BC－3＝0，解得BC＝或BC＝－2(舍去)，将BC＝代入①，得CD＝.