2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

- 1 -<br />4.6　函数的应用(二)<br />4.7　数学建模活动：生长规律的描述(略)<br />素养目标&middot;定方向<br />课程标准 学法解读<br />1.会利用已知函数模型解决实际问题．<br />2．能建立函数模型解决实际问题．<br />　通过本节内容的学习，使学生认识函数模<br />型的作用，提升学生数学建模、数据分析等<br />素养．<br />必备知识&middot;探新知<br />知识点<br />指数函数型模型<br /> (1)表达形式：f(x)＝abx＋C．<br />(2)条件：a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1．<br />知识点<br />对数函数型模型<br /> (1)表达形式：f(x)＝mlogax＋n．<br />(2)条件：m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1．<br />知识点<br />幂函数型模型<br /> (1)解析式：y＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)<br />(2)单调性：其增长情况由 xα中的α的取值而定．<br />思考：指数型、对数型函数模型都是递增的吗？<br />提示：不一定，也可能是递减的，根据底数的大小判断．<br />关键能力&middot;攻重难<br />题型探究<br />题型<br />指数函数模型<br />┃┃典例剖析__■<br /> <br />- 2 -<br />　典例 1　某城市现有人口总数为 100万人，如果年自然增长率为 1.2%，试解答<br />下列问题：<br />(1)写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式；<br />(2)计算 10年后该城市人口总数(精确到 0.1万人)；<br />(3)计算大约多少年后该城市人口将达到 120 万人(精确到 1 年)．(取 1.01210＝1.127，<br />log1.0121.20＝15)．<br />[分析]　具体列出一年后、二年后、三年后的人口总数，利用归纳的方法，确定函数关<br />系．<br />[解析]　(1)1年后该城市人口总数为：<br />y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；<br />2年后该城市人口总数为：<br />y＝100×(1＋1.2%)＋100×1.2%(1＋1.2%)<br />＝100(1＋1.2%)2；<br />3年后该城市人口总数为：<br />y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2&middot;1.2%<br />＝100(1＋1.2%)3；<br />x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x．<br />(2)10年后该城市人口数为：100×(1＋1.2%)10<br />＝112.7(万)．<br />(3)设 x年后该城市人口将达到 120万，即<br />100×(1＋1.2%)x＝120，<br />∴1.012x＝1.20.∴x＝log1.0121.20＝15(年)．<br />答：人口总数 y与年份 x间的函数关系是<br />y＝100×(1＋1.2%)x，<br />10年后的城市人口总数约为 112.7万，大约 15年后该城市人口将达到 120万人．<br />规律方法：有关增长(衰减)率问题<br />在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为 N，平均增长<br />率为 P，则对于时间 x 的总产值或总产量 y，可以用公式 y＝N(1＋P)x表示．解决平均增长率<br />的问题，要用到这个函数式．当增长率为负数即为降低率，此公式仍然适用，这里 P＜0(或 y<br />＝N(1－P)x，P＞0)．<br />┃┃对点训练__■<br />1．某公司预投资 100 万元，有两种投资方案可供选择：方案一：年利率 10%，按单利计<br />算，5年后收回本金和利息；方案二：年利率 9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利<br />息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资 5 年可多得利息多少元？(结果精确到 0.01<br /> <br />- 3 -<br />万元)<br />[解析]　本金 100 万元，年利率 10%，按单利计算，5 年后的本息和是 100×(1＋10%×5)＝<br />150(万元)．<br />本金 100万元，年利率 9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是<br />100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．<br />由此可见，方案二更有利，5年后多得利息约 3.86万元．<br />题型<br />对数函数模型<br />┃┃典例剖析__■<br />　典例 2　候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙，研究某种鸟类的专<br />家发现，该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q之间的关系为 v＝a＋blog3<br />Q<br />10<br />(其中<br />a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30个单位，而其耗氧量为 90个单<br />位时，其飞行速度为 1 m/s．<br />(1)求出 a、b的值；<br />(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？<br />[分析]　(1)根据已知列出方程组，解方程组求 a、b 的值；(2)由(1)列出不等式，解不<br />等式求 Q的最小值．<br />[解析]　(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30个单<br />位，故有 a＋blog3<br />30<br />10<br />＝0，即 a＋b＝0　①；当耗氧量为 90个单位时，速度为 1 m/s，故 a＋blog3<br />90<br />10<br />＝1，整理得 a＋2b＝1　②．<br />解方程组Error!，得Error!．<br />(2)由(1)知，v＝a＋blog3<br />Q<br />10<br />＝－...