2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

- 1 -<br />第 2 课时　指数函数的性质与图像的应用<br />素养目标&middot;定方向<br />课程标准 学法解读<br />1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质．<br />2．会求指数型函数的定义域、值域、最值，<br />以及能判断与证明单调性．<br />3．能够利用指数函数的图像和性质比较数的<br />大小、解不等式．<br />1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调<br />性及其应用，提升学生的逻辑推理素养．<br />2．借助指数函数的性质，研究指数型函数的<br />相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象<br />素养．<br />必备知识&middot;探新知<br />知识点<br />底数与指数函数图像的关系<br />(1)由指数函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)的图像与直线 x＝1 相交于点(1，a)可知，在 y 轴右<br />侧，图像从__下__到__上__相应的底数由小变大．<br />(2)由指数函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)的图像与直线 x＝－1 相交于点(－1，<br />1<br />a)可知，在 y<br />轴左侧，图像从下到上相应的底数__由大变小__．<br />如图所示，指数函数底数的大小关系为 0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1．<br />知识点<br />解指数型不等式<br />(1)形如 af(x)＞ag(x)的不等式，可借助 y＝ax(a＞0且 a≠1)的__单调性__求解；<br />(2)形如 af(x)＞b的不等式，可将 b化为以 a为底数的指数幂的形式，再借助 y＝ax(a＞0<br />且 a≠1)的__单调性__求解；<br />(3)形如 ax＞bx的不等式，可借助两函数 y＝ax(a＞0且 a≠1)，y＝bx(b＞0且 b≠1)的图<br />像求解．<br />知识点<br /> <br />- 2 -<br />与指数函数复合的函数单调性<br />一般地，形如 y＝af(x)(a＞0且 a≠1)函数的性质有：<br />(1)函数 y＝af(x)与函数 y＝f(x)有__相同__的定义域．<br />(2)当 a＞1时，函数 y＝af(x)与 y＝f(x)具有__相同__的单调性；当 0＜a＜1时，函数 y＝<br />af(x)与 y＝f(x)具有__相反__的单调性．<br />思考：(1)指数函数 y＝ax(a＞0且 a≠1)的单调性取决于哪个量？<br />(2)如何判断形如 y＝f(ax)(a＞0且 a≠1)的函数的单调性？<br />提示：(1)指数函数 y＝ax(a＞0且 a≠1)的单调性与其底数 a有关，当 a＞1时，y＝ax(a＞<br />0且 a≠1)在定义域上是增函数，当 0＜a＜1时，y＝ax(a＞0且 a≠1)在定义域上是减函数．<br />(2)①定义法，即&ldquo;取值&mdash;作差&mdash;变形&mdash;定号&rdquo;．其中，在定号过程中需要用到指数函数<br />的单调性；<br />②利用复合函数的单调性&ldquo;同增异减&rdquo;的规律．<br />关键能力&middot;攻重难<br />题型探究<br />题型<br />指数函数性质的简单应用<br />┃┃典例剖析__■<br />　典例 1　比较下列各组数的大小：<br />(1)1.72.5,1.73；<br />(2)0.8－0.1,0.8－0.2；<br />(3)1.70.3,0.93.1；<br />(4)5 5，3 3， 2．<br />[分析]　底数相同的幂值 ab与 ac比较大小，一般用 y＝ax的单调性；指数相同的幂值 ac<br />与 bc比较大小，可在同一坐标系中，画出 y＝ax与 y＝bx的图像考察 x＝c时，函数值的大小；<br />底数与指数均不同的一般考虑先化同底．不方便化时，常借助中间量 0、1等过渡．<br />[解析]　(1)考查指数函数 y＝1.7x，<br />由于底数 1.7＞1，所以指数函数 y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．<br /> 2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．<br />(2)考查函数 y＝0.8x，由于 0＜0.8＜1，<br />所以指数函数 y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．<br /> －0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．<br /> <br />- 3 -<br />(3)由指数函数的性质得<br />1．70.3＞1.70＝1，　　　<br />0.93.1＜0.90＝1，<br />∴1.70.3＞0.93.1．<br />(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作<br />比较．<br /> 2＝2<br />1<br />2<br /> <br />＝(23) <br />1<br />6<br /> <br />＝8<br />1<br />6<br /> <br />，3 3＝3<br />1<br />3<br /> <br />＝(32) <br />1<br />6<br /> <br />＝9<br />1<br />6<br /> <br />而 8＜9.∴8<br />1<br />6<br /> <br />＜9<br />1<br />6<br /> <br />，即 2＜<br />3 3，<br />又 2＝2<br />1<br />2<br /> <br />＝(25) <br />1<br />10<br /> <br />＝32<br />1<br />10<br /> <br />，<br />5 5＝5<br />1<br />5<br /> <br />＝(52) <br />1<br />10<br /> <br />，而 25＜32，∴5 5＜ 2．<br />总之，5 5＜ 2＜3 3．<br />规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：<br />1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．<br />2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选 1，两个数<br />都与这个中间量进行比较．<br />┃┃对点训练__■<br />1．比较下列各题中两个值的大小．<br />(1)0.3x与 0.3x＋1；<br />(2)(<br />1<br />2 )－2与 2<br />1<br />2<br /> <br />．<br />[解析]　(1) y＝0.3x为减函数，<br />又 x＜x＋1，∴0.3x＞0.3x＋1．<br />(2)化同底为：(<br />1<br />2<br />)－2＝22，与...