2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

- 1 -<br />4.2　对数与对数函数<br />4.2.1　对数运算<br />素养目标&middot;定方向<br />课程标准 学法解读<br />1.理解对数的概念．<br />2．知道自然对数和常用对数．<br />3．通过阅读材料，了解对数的发现历史以及<br />对简化运算的作用．<br />1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互<br />化．<br />2．理解和掌握对数的性质，会求简单的对数<br />值，发展数学抽象及数学运算素养．<br />必备知识&middot;探新知<br />知识点<br />对数的概念<br /> (1)定义：在代数式 ab＝N(a＞0 且 a≠1)，N∈(0，＋∞)中，幂指数 b 称为以 a 为底 N<br />的对数．<br />(2)记法：b＝__logaN__，a称为对数的__底数__，N称为对数的__真数__．<br />(3)范围：N＞0，即__负数和零没有对数__．<br />思考：(1)为什么负数和零没有对数？<br />(2)对数式 logaN是不是 loga与 N的乘积？<br />提示：(1)因为 b＝logaN 的充要条件是 ab＝N，当 a＞0 且 a≠1 时，由指数函数的值域可<br />知 N＞0，故负数和零没有对数．<br />(2)不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数．<br />知识点<br />对数恒等式<br /> (1)alogaN＝N．<br />(2)logaab＝B．<br />知识点<br />常用对数与自然对数<br /> (1)常用对数：log10N，简写为 lg N．<br />(2)自然对数：logeN，简写为 ln N，e＝2.718 28&hellip;．<br /> <br />- 2 -<br />关键能力&middot;攻重难<br />题型探究<br />题型<br />对数的概念<br />┃┃典例剖析__■<br />　典例 1　若 a2 020＝b(a＞0，且 a≠1)，则(　A　)<br />A．logab＝2 020 B．logba＝2 020<br />C．log2 020a＝b D．log2 020b＝a<br />(2)对数式 log(a－2)(5－a)中实数 a的取值范围是(　C　)<br />A．(－∞，5) B．(2,5)<br />C．(2,3)∪(3,5) D．(2，＋∞)<br />(3)下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　B　)<br />A．e0＝1与 ln 1＝0<br />B．log39＝2与 9<br />1<br />2<br /> <br />＝3<br />C．8－<br />1<br />3<br /> <br />＝<br />1<br />2<br />与 log8<br />1<br />2<br />＝－<br />1<br />3<br />D．log77＝1与 71＝7<br />[分析]　(1)根据对数的定义转化．<br />(2)对数式中底数大于 0且不等于 1，真数大于 0．<br />(3)根据对数式的定义判断．<br />[解析]　(1)若 a2020＝b(a＞0，且 a≠1)则 logab＝2 020．<br />(2)由题意得Error!解得 2＜a＜3或 3＜a＜5．<br />(3)由指、对数式的互化可知，A、C、D正确；对于 B选项 log39＝2可化为 32＝9，所以 B<br />选项错误．<br />规律方法：指数式与对数式互化的思路<br />(1)指数式化为对数式：<br />将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．<br />(2)对数式化为指数式：<br />将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．<br />┃┃对点训练__■<br />1．(1)如果 a5＝b(a＞0且 a≠1，b＞0)，则(　A　)<br /> <br />- 3 -<br />A．logab＝5 B．loga5＝b<br />C．log5a＝b D．log5b＝a<br />(2)若对数式 log(t－2)3有意义，则实数 t的取值范围是(　B　)<br />A．[2，＋∞) B．(2,3)∪(3，＋∞)<br />C．(－∞，2) D．(2，＋∞)<br />[解析]　(1)如果 a5＝b(a＞0，且 a≠1，b＞0)则化为对数式为 logab＝5．<br />(2)由题意得Error! ，解得 t＞2且 t≠3．<br />所以 t的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞)<br />题型<br />利用指数式与对数式关系求值<br />角度 1　利用指数式与对数式的互化求值<br />┃┃典例剖析__■<br />　典例 2　求下列各式的值：<br />(1)log381；<br />(2)log4<br />1<br />16<br />；<br />(3)log<br /> <br />1<br />2<br />8；<br />(4)lg 0.1．<br />[解析]　(1)因为 34＝81，所以 log381＝4．<br />(2)因为 4－2＝<br />1<br />16<br />，所以 log4<br />1<br />16<br />＝－2．<br />(3)因为(<br />1<br />2 )－3＝8，所以 log<br /> <br />1<br />2<br />8＝－3．<br />(4)因为 10－1＝0.1，所以 lg 0.1＝－1．<br />角度 2　两个特殊对数值的应用<br />　典例 3　已知 log2[log3(log4x)]＝<br />log3[log4(log2y)]＝0，求 x＋y的值．<br />[解析]　因为 log2[log3(log4x)]＝0，<br />所以 log3(log4x)＝1，所以 log4x＝3，<br />所以 x＝43＝64，同理求得 y＝16，所以 x＋y＝80．<br />规律方法：对数性质在求值中的应用<br />1．对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0．<br />2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符<br /> <br />- 4 -<br />号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．<br />┃┃对点训练__■<br />2．(1)log5[log3(log2x)]＝0，则 x－<br />1<br />2<br /> <br />等于(　C　)<br />A．<br />3<br />6<br />B．<br />3<br />9<br />C．<br />2<br />4<br />D．<br />2<br />3<br />(2)log3<br />1<br />27<br />＝__－3__；log5 625＝__4__．<br />[解析]　(1)因为 log5[log3(log2x)]＝0，...