2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

- 1 -<br />第 2 课时　对数函数的性质与图像的应用<br />素养目标&middot;定方向<br />课程标准 学法解读<br />1.进一步理解对数函数的图像和性质．<br />2．能运用对数函数的图像和性质解决相关问<br />题．<br />通过本节课的学习，理解对数函数的性质，<br />并能利用对数函数的性质解决比较对数式大<br />小、求最值、解不等式等综合问题，提升数<br />学抽象及数学运算素养．<br />必备知识&middot;探新知<br />知识点<br />y＝loga f(x)型函数性质的研究<br /> (1)定义域：由 f(x)＞0解得 x的取值范围，即为函数的定义域．<br />(2)值域：在函数 y＝loga f(x)的定义域中确定 t＝f(x)的值域，再由 y＝logat的单调性<br />确定函数的值域．<br />(3)单调性：在定义域内考虑 t＝f(x)与 y＝logat的单调性，根据__同增异减__法则判定<br />(或运用单调性定义判定)．<br />(4)奇偶性：根据奇偶函数的定义判定．<br />(5)最值：在 f(x)＞0的条件下，确定 t＝f(x)的值域，再根据 a确定函数 y＝logat的单<br />调性，最后确定最值．<br />知识点<br />loga f(x)＜logag(x)型不等式的解法<br /> (1)讨论 a与 1的关系，确定单调性．<br />(2)转化为 f(x)与 g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零．<br />关键能力&middot;攻重难<br />题型探究<br />题型<br />对数函数的图像<br /> <br />- 2 -<br />┃┃典例剖析__■<br />　典例 1<br />如图所示，曲线是对数函数 y＝logax 的图像，已知 a 取 3，<br />4<br />3<br />，<br />3<br />5<br />，<br />1<br />10<br />，则相应于 C1、C2、<br />C3、C4的 a值依次为(　A　)<br />A． 3、<br />4<br />3<br />、<br />3<br />5<br />、<br />1<br />10<br />　 B． 3、<br />4<br />3<br />、<br />1<br />10<br />、<br />3<br />5<br />C．<br />4<br />3<br />、 3、<br />3<br />5<br />、<br />1<br />10<br />D．<br />4<br />3<br />、 3、<br />1<br />10<br />、<br />3<br />5<br />[解析]　解法一：观察在(1，＋∞)上的图像，先排 C1、C2底的顺序，底都大于 1，当 x＞<br />1 时图像靠近 x 轴的底大，C1、C2对应的 a 分别为 3、<br />4<br />3<br />.然后考虑 C3、C4底的顺序，底都小<br />于 1，当 x＜1时图像靠近 x轴的底小，C3、C4对应的 a分别为<br />3<br />5<br />、<br />1<br />10<br />.综合以上分析，可得 C1、<br />C2、C3、C4的 a值依次为 3、<br />4<br />3<br />、<br />3<br />5<br />、<br />1<br />10<br />.故选 A．<br />解法二：作直线 y＝1与四条曲线交于四点，由 y＝logax＝1，得 x＝a(即交点的横坐标等<br />于底数)，所以横坐标小的底数小，所以 C1、C2、C3、C4对应的 a值分别为 3、<br />4<br />3<br />、<br />3<br />5<br />、<br />1<br />10<br />，故选<br />A．<br />规律方法：函数 y＝logax(a＞0且 a≠1)的底数变化对图像位置的影响．<br />观察图像，注意变化规律：<br />(1)上下比较：在直线 x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图像越靠近 x轴，0＜a＜1时，a<br />越小，图像越靠近 x轴．<br />(2)左右比较：比较图像与 y＝1 的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越<br /> <br />- 3 -<br />大．<br />┃┃对点训练__■<br />1． (1)如图，若 C1、C2分别为函数 y＝logax和 y＝logbx的图像，则(　B　)<br />A．0＜a＜b＜1　 B．0＜b＜a＜1<br />C．a＞b＞1 D．b＞a＞1<br />[解析]　如图，作直线 y＝1，则直线与 C1、C2的交点的横坐标分别为 a、b，易知 0＜b＜<br />a＜1．<br />(2)函数 f(x)＝loga(3x－2)＋2的图像恒过点__(1,2)__．<br />[解析]　根据题意，令 3x－2＝1，解得 x＝1，此时 y＝0＋2＝2，<br />所以函数 f(x)的图像过定点(1,2)．<br />题型<br />形如 y＝logaf(x)的函数的单调性<br />┃┃典例剖析__■<br />　典例 2　求函数 y＝log<br /> <br />1<br />2<br /> (1－x2)的单调区间．<br />[分析]　求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．<br />[解析]　要使函数有意义，应满足 1－x2＞0，<br />∴－1＜x＜1.∴函数的定义域为(－1,1)．<br />令 u＝1－x2，对称轴为 x＝0．<br />∴函数 u＝1－x2 在(－1,0]上为增函数，在[0,1)上为减函数，又 y＝log<br /> <br />1<br />2<br />u 为减函<br />数．<br />∴函数 y＝log<br /> <br />1<br />2<br /> (1－x2)的单调递增区间为[0,1)，递减区间为(－1,0]．<br />规律方法：1.求形如 y＝logaf(x)的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由 f(x)<br />＞0，先求定义域．<br /> <br />- 4 -<br />2．求此类型函数单调区间的两种思路：(1)利用定义求解；(2)借助函数的性质，研究函<br />数 t＝f(x)和 y＝logat在定义域上的单调性，从而判定 y＝logaf(x)的单调性．<br />┃┃对点训练__■<br />2．(1)函数 f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　D　)<br />A．(－∞，－2) B．(－∞，1)<br />C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)<br />[解析]　由 x2－2x－8＞0，得 x＜－2或 x＞4．<br />令 g(x)＝x2－2x－8...