2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

- 1 -<br />4.1.2　指数函数的性质与图像<br />NNN 第 1 课时　指数函数的性质与图像<br />素养目标&middot;定方向<br />课程标准 学法解读<br />1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数<br />的概念．<br />2．掌握指数函数的性质与图像．<br />3．初步学会运用指数函数来解决问题．<br />1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数<br />学抽象素养．<br />2．通过利用计算机软件作指数函数的图像，<br />发展直观想象素养．<br />3．通过指数函数的实际应用，提升数学建模<br />素养．<br />必备知识&middot;探新知<br />知识点<br />指数函数<br />函数__y＝ax__称为指数函数，其中 a是常数，a＞0且 a≠1．<br />思考：(1)为什么指数函数的底数 a＞0，且 a≠1?<br />(2)指数函数的解析式有什么特征？<br />提示：(1)①如果 a＝0，当 x＞0时，ax恒等于 0，没有研究的必要；当 x≤0时，ax无意<br />义．<br />②如果 a＜0，例如 f(x)＝(－4)x，这时对于 x＝<br />1<br />2<br />，<br />1<br />4<br />，&hellip;，该函数无意义．<br />③如果 a＝1，则 y＝1x是一个常量，没有研究的价值．<br />为了避免上述各种情况，所以规定 a＞0，且 a≠1．<br />(2)①a＞0，且 a≠1，②ax的系数为 1；③自变量 x的系数为 1．<br />指数函数的图像和性质<br />知识点 　 <br />0＜a＜1 a＞1<br />图像<br />定义域 实数集 R<br /> <br />- 2 -<br />值域 __(0，＋∞)__<br />过定点__(0,1)__<br />性质<br />是__减__函数 是__增__函数<br />思考：(1)对于指数函数 y＝2x，y＝3x，y＝(<br />1<br />2 )x，y＝(<br />1<br />3 )x，&hellip;，为什么一定过点<br />(0,1)?<br />(2)对于指数函数 y＝ax(a＞0且 a≠1)，在下表中，？处 y的范围是什么？<br />底数 x的范围 y的范围<br />x＞0 ？<br />a＞1<br />x＜0 ？<br />x＞0 ？<br />0＜a＜1<br />x＜0 ？<br />提示：(1)当 x＝0时，a0＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1)．<br />(2)<br />底数 x的范围 y的范围<br />x＞0 y＞1<br />a＞1<br />x＜0 0＜y＜1<br />x＞0 0＜y＜1<br />0＜a＜1<br />x＜0 y＞1<br />关键能力&middot;攻重难<br />题型探究<br />题型<br />指数函数的概念<br />┃┃典例剖析__■<br />　典例 1　(1)函数 y＝(a2－3a＋3)&middot;ax是指数函数，则 a的值为__2__．<br />(2)指数函数 y＝f(x)的图像经过点(π，e)，则 f(－π)＝__<br />1<br />e<br />__．<br />[分析]　(1)根据指数函数解析式的特征列方程求解．<br /> <br />- 3 -<br />(2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求 f(－π)．<br />[解析]　(1)由题意得 a2－3a＋3＝1，<br />即(a－2)(a－1)＝0，<br />解得 a＝2或 a＝1(舍)．<br />(2)设指数函数为 y＝ax(a＞0且 a≠1)，<br />则 e＝aπ，所以 f(－π)＝a－π＝(aπ)－1＝e－1＝<br />1<br />e<br />．<br />规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法<br />(1)把握指数函数解析式的特征：①底数 a＞0，且 a≠1；<br />②ax的系数为 1；③自变量 x的系数为 1．<br />(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如 y＝<br />1<br />3x<br />＝(<br />1<br />3 )x是指数函数．<br />2．求指数函数解析式的步骤<br />(1)设指数函数的解析式 f(x)＝ax(a＞0且 a≠1)．<br />(2)利用已知条件求底数 A．<br />(3)写出指数函数的解析式．<br />┃┃对点训练__■<br />1．(1)函数 f(x)＝(2a－3)ax是指数函数，则 f(1)＝(　D　)<br />A．8 B．<br />3<br />2<br />C．4 D．2<br />(2)指数函数 y＝f(x)的图像经过点(－2，<br />1<br />4)，那么 f(4)&middot;f(2)＝__64__．<br />[解析]　(1)因为 f(x)＝(2a－3)ax为指数函数，所以 2a－3＝1，解得 a＝2，所以 f(1)＝<br />21＝2．<br />(2)设指数函数的解析式为 y＝ax(a＞0且 a≠1)，<br />因为函数的图像经过点(－2，<br />1<br />4)，所以<br />1<br />4<br />＝a－2，所以 a＝2，<br />所以指数函数的解析式为 y＝2x，<br />所以 f(4)&middot;f(2)＝24×22＝26＝64．<br />题型<br />指数函数的图像问题<br />┃┃典例剖析__■<br /> <br />- 4 -<br />　典例 2　(1)函数 y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图像可能是(　D　)<br />(2)要得到函数 y＝23－x的图像，只需将函数 y＝(<br />1<br />2 )x的图像(　A　)<br />A．向右平移 3个单位 B．向左平移 3个单位<br />C．向右平移 8个单位 D．向左平移 8个单位<br />[分析]　(1)要注意对 a进行讨论，分 0＜a＜1和 a＞1两种情况讨论判断．<br />(2)先对解析式变形，再进行判断．<br />[解析]　(1)函数 y＝x＋a单调递增．<br />由题意知 a＞0且 a≠1．<br />当 0＜a＜1时，y＝ax单调递减，直线 y＝x＋a在 y轴上的截距大于 0且小于 1；<br />当 a＞1时，y＝ax单调递增，直线 y＝x＋a在 y轴上的截距大于 1.故选 D．<br />(2)因为 y＝23－x＝(<br />1<br />2 ) x－3，<br />所以 y＝(<br />1<br />2 )x...