2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

- 1 -<br />4.4　幂函数<br />素养目标&middot;定方向<br />课程标准 学法解读<br />1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析<br />式．<br />2．通过具体实例，结合 y＝x，y＝x2，y＝x3，<br />y＝x－1，y＝x<br />1<br />2<br /> <br />的图像，理解它们的变化规<br />律，了解幂函数．<br />以五个常见幂函数为载体，归纳幂函数的图<br />像与性质，发展学生的数学抽象、逻辑推理<br />素养．<br />必备知识&middot;探新知<br />知识点<br />幂函数的概念<br />形如__y＝xα__的函数称为幂函数，其中α是常数．<br />思考：(1)幂函数的解析式有什么特征？<br />(2)幂函数与指数函数解析式的区别是什么？<br />提示：(1)①系数为 1；②底数为 x自变量；③指数为常数．<br />(2)①自变量不同，幂函数的自变量为底数，指数函数的自变量为指数．②底数不同，幂<br />函数的底数是自变量，指数函数的底数是常数．<br />知识点<br />幂函数共同的性质<br /> (1)所有幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，在第一象限内都有图像，并且图像都通过<br />(1,1)．<br />(2)如果α＞0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．<br />(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内：当 x从右边趋<br />向于原点时，图像在 y 轴右方且无限地逼近 y 轴；当 x 趋向于＋∞时，图像在 x 轴上方且无<br />限地逼近 x轴．<br />思考：当α＜0时，幂函数的图像是否过原点？<br />提示：α＜0时，y＝xα在 x＝0时无意义，图像不过原点．<br /> <br />- 2 -<br />关键能力&middot;攻重难<br />题型探究<br />题型<br />幂函数的概念<br />┃┃典例剖析__■<br />　典例 1　(1)下列函数中不是幂函数的是(　C　)<br />A．y＝ x B．y＝x 3<br />C．y＝22x D．y＝x－1<br />(2)若 f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则 m＝__5或－1__．<br />[分析]　(1)根据幂函数的定义去判断，只有形如 y＝xα的函数才是幂函数．<br />(2)根据幂函数的特征，系数等于 1求解．<br />[解析]　(1)由幂函数的定义知 y＝ x＝x<br />1<br />2<br /> <br />，y＝x 3，y＝x－1均为幂函数，而 y＝22x＝<br />4x是指数函数．<br />(2)因为 f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，所以 m2－4m－4＝1，解得 m＝5或 m＝－1．<br />规律方法：判断一个函数是否为幂函数的方法<br />(1)幂函数同指数函数、对数函数一样，是一种&ldquo;形式定义&rdquo;的函数，也就是说必须完全<br />具备 y＝xα(α∈R)结构特征的函数才是幂函数．<br />(2)如果函数解析式以根式的形式给出，则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简<br />整理，再对照幂函数的定义进行判断．<br />┃┃对点训练__■<br />1．(1)函数 y＝(m2＋2m－2)x<br />1<br />m - 1<br /> <br />是幂函数，则 m＝(　B　)<br />A．1 B．－3<br />C．－3或 1 D．2<br />(2)以下四个函数：y＝x0；y＝x－2；y＝(x＋1)2；y＝2&middot;x<br />1<br />3<br /> <br />中是幂函数的有(　B　)<br />A．1个 B．2个<br />C．3个 D．4个<br />[解析]　(1)由题意，得Error!解得 m＝－3．<br />(2)形如 y＝xα(α为常数)的函数为幂函数，所以只有 y＝x0；y＝x－2为幂函数．<br />题型<br /> <br />- 3 -<br />幂函数的图像及应用<br />┃┃典例剖析__■<br />典例 2　 (1)如图的曲线是幂函数 y＝xn在第一象限内的图像，已知 n 分别取<br />±1，<br />1<br />2<br />，2四个值，相应的曲线 C1，C2，C3，C4的 n依次为(　B　)<br />A．－1，<br />1<br />2<br />，1,2 B．2,1，<br />1<br />2<br />，－1<br />C．<br />1<br />2<br />，－1,2,1 D．2，<br />1<br />2<br />，－1,1<br />(2)已知函数 f(x)＝xk(k 为常数)，在下列函数图像中，不是函数 y＝f(x)的图像的是<br />(　C　)<br />[分析]　(1)根据各个函数的图像特征选取．<br />(2)根据幂函数图像所在的象限判断．<br />[解析]　(1)函数 y＝x－1在第一象限内单调递减，对应的图像为 C4；y＝x 对应的图像为<br />一条过原点的直线，对应的图像为 C2；y＝x2对应的图像为抛物线，对应的图像应为 C1；y＝x<br />1<br />2<br />在第一象限内的图像是 C3，所以曲线 C1，C2，C3，C4的 n依次为 2,1，<br />1<br />2<br />，－1．<br />(2)函数 f(x)＝xk(k为常数)为幂函数，图像不过第四象限，所以 C中函数图像不是函数 y<br />＝f(x)的图像．<br />规律方法：解决幂函数图像问题应把握的两个原则<br />(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图像<br />越靠近 x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离 x 轴(简记<br />为指大图高)．<br />(2)依据图像确定幂指数α与 0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似<br />于 y＝x－1或 ...