2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

- 1 -<br />4.3　指数函数与对数函数的关系<br />素养目标&middot;定方向<br />课程标准 学法解读<br />1．理解反函数的概念，了解存在反函数的条<br />件，会求简单函数的反函数．<br />2．理解互为反函数图像间的关系．<br />3．知道指数函数 y＝ax与对数函数 y＝logax<br />互为反函数(a＞0且 a≠1)．<br />1．通过学习反函数的概念，提升数学抽象素<br />养．<br />2．通过求反函数，提升数学运算素养．<br />3．通过互为反函数图像间关系的应用，提升<br />直观想象素养．<br />必备知识&middot;探新知<br />知识点<br />反函数的概念<br /> (1)一般地，如果在函数 y＝f(x)中，给定值域中__任意一个 y__的值，只有__唯一__的<br />x 与之对应，那么 x 是 y 的函数，这个函数称为 y＝f(x)的反函数．此时，称 y＝f(x)存在反<br />函数，可以记作 x＝f－1(y)．<br />(2)一般地，对于函数 y＝f(x)的反函数 x＝f－1(y)，习惯上反函数的自变量仍用 x表示，<br />因变量仍用 y表示，则函数 y＝f(x)的反函数记作 y＝f－1(x)．<br />思考：函数 f(x)＝x2有反函数吗？为什么？<br />提示：没有．若令 y＝f(x)＝1，则 x＝±1，即 x值不唯一，不符合反函数的定义．<br />知识点<br />求反函数的两种方法<br /> (1)可以通过对调 y＝f(x)中的 x 与 y，然后从 x＝f(y)中求出 y 得到反函数 y＝f－<br />1(x)．<br />(2)从 y＝f(x)反解得到 x＝f－1(y)，然后把 x＝f－1(y)中的 x，y对调得到 y＝f－1(x)．<br />知识点<br />互为反函数的图像与性质<br /> (1)图像<br />y＝f(x)与 y＝f－1(x)的图像关于直线__y＝x__对称．<br />(2)性质<br />①y＝f(x)的定义域与 y＝f－1(x)的__值域__相同，y＝f(x)的值域与 y＝f－1(x)的__定义<br />域__相同．<br />②如果 y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数 y＝f－1(x)一定存在．此时，如果 y＝f(x)<br /> <br />- 2 -<br />是增函数，则 y＝f－1(x)也是__增函数__；如果 y＝f(x)是__减函数__，则 y＝f－1(x)也是减<br />函数．<br />关键能力&middot;攻重难<br />题型探究<br />题型<br />判断函数是否有反函数<br />┃┃典例剖析__■<br />　典例 1　(1)下列函数中，存在反函数的是(　D　)<br />A．<br />x x＞0 x＝0 x＜0<br />f(x) 1 0 －1<br />B．<br />x x是有理数 x是无理数<br />g(x) 1 0<br />C．<br />x 1 2 3 4 5<br />h(x) －1 2 0 4 2<br />D．<br />x 1 2 3 4 5<br />l(x) －2 －1 0 3 4<br />(2)判断下列函数是否有反函数．<br />①f(x)＝<br />x＋1<br />x－1<br />；<br />②g(x)＝x2－2x．<br />[分析]　根据反函数的定义进行判断．<br />[解析]　(1)因为 f(x)＝1时，x为任意的正实数，即对应的 x不唯一，因此 f(x)的反函<br />数不存在；<br />因为 g(x)＝1时，x为任意的有理数，即对应的 x不唯一，<br />因此 g(x)的反函数不存在；<br />因为 h(x)＝2时，x＝2或 x＝5，即对应的 x不唯一，<br />因此 h(x)的反函数不存在；<br /> <br />- 3 -<br />因为 l(x)的值域{－2，－1,0,3,4}中任意一个值，都只有唯一的 x 与之对应，因此 l(x)<br />的反函数存在．<br />(2)①令 y＝f(x)，因为 y＝<br />x＋1<br />x－1<br />＝1＋<br />2<br />x－1<br />，是由反比例函数 y＝<br />2<br />x<br />向右平移一个单位，向<br />上平移一个单位得到，在(－∞，1)，(1，＋∞)上都是减函数，因此任意给定值域中的一个<br />值，只有唯一的 x与之对应，所以 f(x)存在反函数．<br />②令 g(x)＝3，即 x2－2x－3＝0，解得 x＝－1或 x＝3，<br />即对应的 x不唯一，因此 g(x)的反函数不存在．<br />规律方法：判定函数存在反函数的方法<br />(1)逐一考查值域中函数值对应的自变量的取值，如果都是唯一的，则函数的反函数存<br />在．<br />(2)确定函数在定义域上的单调性，如果函数是单调函数，则函数的反函数存在．<br />(3)利用原函数的解析式，解出自变量 x，如果 x是唯一的，则函数的反函数存在．<br />┃┃对点训练__■<br />1．判断下列函数是否存在反函数．<br />(1)y＝<br />1<br />x＋1<br />－2；<br />(2)y＝－2x2＋4x，x∈(1，＋∞)．<br />[解析]　(1)y＝<br />1<br />x＋1<br />－2 是由函数 y＝<br />1<br />x<br />向左平移 1 个单位，向下平移 2 个单位得到，在<br />(－∞，－1)，(－1，＋∞)上是减函数，因此任意给定值域中的一个值，只有唯一的 x 值与<br />之对应，所以函数存在反函数．<br />(2)y＝－2x2＋4x＝－2(x－1)2＋2，对称轴为 x＝1，在(1，＋∞)上是减函数，因此任意<br />给定值域中的一个值，只有唯一的 x值与之对应，所以函数存在反函数．<br />题型<br />求反函数<br />┃┃典例剖析__■<br />　典例 2　求下列函数的...