2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

- 1 -<br />4.2.2　　对数运算法则<br />素养目标&middot;定方向<br />课程标准 学法解读<br />1.理解积、商、幂的对数，能进行简单的对<br />数运算．<br />2．知道对数的换底公式，能将一般对数转化<br />为自然对数和常用对数，并能进行简单的化<br />简、计算．<br />通过本节课的学习，掌握对数的运算法则及<br />换底公式，会用对数的运算法则进行化简求<br />值，进一步提升数学抽象与数学运算素养．<br />必备知识&middot;探新知<br />知识点<br />积、商、幂的对数<br />若 a＞0，且 a≠1，M＞0，N＞0，则有<br />(1)积的对数：__loga(MN)＝logaM＋logaN__．<br />(2)商的对数：__loga<br />M<br />N<br />＝logaM－logaN__．<br />(3)幂的对数：__logaMn＝nlogaM__．<br />思考：在积的对数运算性质中，三项的乘积式 loga(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么<br />样的结论？<br />提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到 n 项的乘<br />积．<br />知识点<br />换底公式<br />若 a＞0，且 a≠1，c＞0，且 c≠1，b＞0，则有__logab＝<br />logcb<br />logca<br />__．<br />思考：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？<br />(2)你能用换底公式推导出结论 logNnMm＝<br />m<br />n<br />logNM吗？<br />提示：(1)logab＝<br />lg b<br />lg a<br />，logab＝<br />ln b<br />ln a<br />．<br />(2)logNnMm＝<br />lg Mm<br />lg Nn<br />＝<br />mlg M<br />nlg N<br />＝<br />m<br />n<br />&middot;<br />lg M<br />lgN<br />＝<br />m<br />n<br />logNM．<br /> <br />- 2 -<br />关键能力&middot;攻重难<br />题型探究<br />题型<br />利用对数的运算法则求值<br />┃┃典例剖析__■<br />　典例 1　计算：<br />(1)loga2＋loga<br />1<br />2<br />(a＞0且 a≠1)；<br />(2)log318－log32；<br />(3)2log510＋log50.25；<br />(4)2log525＋3log264；<br />(5)log2(log216)；<br />(6)62log63－20log71＋log4<br />1<br />16<br />．<br />[解析]　(1)loga2＋loga<br />1<br />2<br />＝loga(2×<br />1<br />2<br />)＝loga1＝0．<br />(2)log318－log32＝log3(18÷2)＝log39＝2．<br />(3)2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25<br />＝log5(100×0.25)＝log525＝2．<br />(4)2log525＋3log264＝2log552＋3log226＝4＋18＝22．<br />(5)log2(log216)＝log24＝2．<br />(6)原式＝6log69－20×0＋log44－2＝9－2＝7．<br />规律方法：对于同底的对数的化简，常用的方法：<br />(1)&ldquo;收&rdquo;，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．<br />(2)&ldquo;拆&rdquo;，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．<br />┃┃对点训练__■<br />1．计算 log535＋2log2 2－log5<br />1<br />50<br />－log514的值．<br />[解析]　log535＋2log2 2－log5<br />1<br />50<br />－log514<br />＝log535＋2×<br />1<br />2<br />＋log550－log514<br />＝log5<br />35 × 50<br />14<br />＋1＝3＋1＝4．<br />题型<br /> <br />- 3 -<br />利用对数的运算法则化简<br />┃┃典例剖析__■<br />　典例 2　用 lg x，lg y，lg z表示下列各式：<br />(1)lg (xyz)；(2)lg<br />xy2<br />z<br />；(3)lg<br />xy3<br />z<br />；(4)lg<br />x<br />y2z<br />．<br />[解析]　(1)lg (xyz)＝lg x＋lg y＋lg z．<br />(2)lg<br />xy2<br />z<br />＝lg (xy2)－lg z＝lg x＋2lg y－lg z．<br />(3)lg<br />xy3<br />z<br />＝lg (xy3)－lg z＝lg x＋3lg y－<br />1<br />2<br />lg z．<br />(4)lg<br />x<br />y2z<br />＝lg x－lg (y2z)＝<br />1<br />2<br />lg x－2lg y－lg z．<br />规律方法：关于对数式的化简<br />首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、幂的对数运算法<br />则依次展开．<br />┃┃对点训练__■<br />2．lg 2＝a，lg 3＝b，试用 a、b表示 lg 108，lg<br />18<br />25<br />．<br />[解析]　lg 108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg 33＋lg 22＝3lg 3＋2lg 2＝2a＋3B．<br />lg<br />18<br />25<br />＝lg 18－lg 25＝lg (2×32)－lg<br />102<br />22<br />＝lg 2＋lg 32－lg 102＋lg 22＝lg 2＋2lg 3－<br />2＋2lg 2＝3a＋2b－2．<br />题型<br />换底公式及其应用<br />┃┃典例剖析__■<br />　典例 3　(1)已知 log189＝a,18b＝5，用 a、b表示 log3645的值；<br />(2)设 3x＝4y＝6z＞1，求证：<br />1<br />z<br />－<br />1<br />x<br />＝<br />1<br />2y<br />．<br />[分析]　在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出 x，y，<br />z，并结合换底公式与对数的运算性质证明．<br />[解析]　(1)由 18b＝5，得 log185＝b，<br />∴log3645＝<br />log1845<br />log1836<br />＝<br />log185＋log189<br />1＋log182<br />＝<br />b＋a<br />1＋1－log189<br />＝<br />a＋b<br />2－a<br />．<br />(2)设 3x＝4y＝6z＝t， 3x＝4y＝6z＞1，<br />∴t＞1，∴x＝<br />lg t<br />lg 3<br />，y＝<br />lg t<br />lg 4<br />，z＝<br />lg t<br />lg 6<br />，<br /> <br />- 4 -<br />∴<br />1<br />z<br />－<br />1<br />x<br />＝<br />lg 6<br />lg t<br />－<br />lg 3<br />lg t<br />＝<br />lg 2<br />lg t<br />＝<br />lg 4<br />2lg t<br />＝<br />1<br />2y<br />．<br />∴<br />1<br />z<br />－<br />1<br />x<br />＝<br />1<br />2y<br />．<br />规律方法：换...