2020_2021学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4

- 1 -<br />4.5　增长速度的比较<br />素养目标&middot;定方向<br />课程标准 学法解读<br />1.能利用函数的平均变化率，说明函数的增<br />长速度．<br />2．比较对数函数、一元一次函数、指数函数<br />增长速度的差异，理解&ldquo;对数增长&rdquo;&ldquo;直线<br />上升&rdquo;&ldquo;指数爆炸&rdquo;等术语的现实含义.<br />通过本节课的学习，使学生体会常见函数的<br />增长速度，提升学生数学抽象、逻辑推理等<br />素养．<br />必备知识&middot;探新知<br />知识点<br />函数的平均变化率<br /> (1)定义：函数 y＝f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为<br />Δf<br />Δx<br />＝__<br />fx2－fx1<br />x2－x1<br />__．<br />(2)实质：___函数值__的改变量与自变量的改变量之比．<br />(3)理解：自变量每增加 1个单位，函数值将增加__<br />Δy<br />Δx<br />__个单位．<br />(4)应用：比较函数值变化的快慢．<br />思考：对于函数 f(x)＝x＋1，g(x)＝4x－3，当Δx足够大时，对于 x∈R，f(x0＋Δx)，<br />g(x0＋Δx)的大小关系能确定吗？<br />提示：当Δx足够大时，f(x0＋Δx)＜g(x0＋Δx)．<br />知识点 <br />三种常见函数模型的增长差异<br />　　函数<br />性质　　　<br />y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝kx(k＞0)<br />在(0，＋∞)上的<br />增减性<br />__增函数__ 增函数 __增函数__<br /> 图像的<br />变化<br />随 x的增大<br />逐渐变&ldquo;陡&rdquo;<br />随 x的增大<br />逐渐趋于稳定<br />随 x的增大<br />匀速上升<br />增长速度 y＝ax的增长快于 y＝kx的增长，y＝kx的增长快于 y＝logax的增长<br />增长后果 会存在一个 x0，当 x＞x0时，有 ax＞kx＞logax<br /> <br />- 2 -<br />思考：指数增长和线性增长中增长速度哪一个大？<br />提示：指数增长．<br />关键能力&middot;攻重难<br />题型探究<br />题型<br />比较函数值增加的快慢<br />┃┃典例剖析__■<br />　典例 1　已知函数 y＝4x，分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均变化率，<br />并说明，当自变量每增加 1个单位时，函数值的变化规律．<br />[分析]　按照平均变化率的公式进行计算，再说明变化规律．<br />[解析]　因为<br />Δy<br />Δx<br />＝<br />4x2－4x1<br />x2－x1<br />＝<br />4x14x2－x1－1<br />x2－x1<br />，所以 y＝4x在区间[1,2]上的平均变化<br />率为<br />4142－1－1<br />2－1<br />＝12，在区间[3,4]上的平均变化率为<br />4344－3－1<br />4－3<br />＝192，所以当自变量<br />每增加 1个单位时，区间的左端点越大，函数值增加越快．<br />规律方法：平均变化率在研究函数值增加快慢中的应用<br />(1)计算函数在不同区间上的平均变化率，利用平均变化率的大小比较函数值增加的快慢．<br />(2)平均变化率的大小也代表了区间的端点处的曲线上两点连线斜率的大小，通过直线可<br />以直观观察函数值的变化对曲线变化趋势的影响．<br />┃┃对点训练__■<br />1．已知函数 y＝x2－2x－3．<br />(1)分别计算函数在区间[1,2]与[3,4]上的平均变化率，分析当自变量每增加 1个单位时，<br />函数值变化的规律；<br />(2)设 f(x)＝x2－2x－3.记 A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，比较直<br />线 AB的斜率与直线 CD的斜率的大小关系．<br />[解析]　(1)<br />Δy<br />Δx<br />＝<br />x2－2x2－3－x21－2x1－3<br />x2－x1<br />＝x2＋x1－2，所以在区间[1,2]上的平均<br />变化率为 1，在区间[3,4]上的平均变化率为 5，所以自变量每增加 1 个单位，区间长不变的<br />条件下，端点之和越大，函数值增加越快．<br />(2)直线 AB的斜率为 1，直线 CD的斜率为 5，直线 AB的斜率小于直线 CD的斜率．<br />题型<br />比较函数的平均变化率大小<br /> <br />- 3 -<br />┃┃典例剖析__■<br />　典例 2　已知函数 f(x)＝3x，g(x)＝2x，h(x)＝log3x，比较这三个函数在区间<br />[a，a＋1](a＞1)上的平均变化率的大小．<br />[分析]　计算出平均变化率，再利用指数函数、对数函数的性质比较大小．<br />[解析]　因为<br />Δf<br />Δx<br />＝<br />3a＋1－3a<br />a＋1－a<br />＝2×3a，<br />Δg<br />Δx<br />＝<br />2a＋1－2a<br />a＋1－a<br />＝2，<br />Δh<br />Δx<br />＝<br />log3a＋1－log3a<br />a＋1－a<br />＝log3(1＋<br />1<br />a )，<br />又因为 a＞1，所以 2×3a＞2×31＝6，<br />log3(1＋<br />1<br />a )＜log3(1＋<br />1<br />1 )＝log32＜log33＝1＜6，<br />因此在区间[a，a＋1]上，f(x)的平均变化率最大，h(x)的平均变化率最小．<br />规律方法：不同函数平均变化率大小的比较<br />计算不同的函数在同一个区间上的平均变化率；利用指数、对数函数的性质比较大小，<br />一般选取一个中间值进行比较，以确定平均变化率的大小．<br />┃┃对点训练__■<br />2．已知函数 f(x)＝4x，g(x)＝5x，分别计算这两个函数...