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上海市浦东新区高一(上)期末数学试卷
上海市浦东新区高一(上)期末数学试卷
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2022-2022学年上海市浦东新区高一(上)期末数学试卷 一、填空题(本大题满分36分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得零分.1.函数y=ax(a>0且a≠1)的图象均过定点 .2.请写出“好货不便宜”的等价命题: .3.若集合A={x|x≤1},B={x|x≥a}满足A∩B={1},则实数a= .4.不等式2|x﹣1|﹣1<0的解集是 .5.若f(x+1)=2x﹣1,则f(1)= .6.不等式的解集为 .7.设函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则a= .8.已知函数f(x)=,g(x)=,则f(x)•g(x)= .9.设α:x≤﹣5或x≥1,β:2m﹣3≤x≤2m+1,若α是β的必要条件,求实数m的取值范围 .10.函数的值域是 .11.已知ab>0,且a+4b=1,则的最小值为 .12.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是 . 二、选择题(本大题满分12分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,每题答对得3分,否则一律得零分.13.函数y=x的大致图象是( )12/13A.B.C.D.14.已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x﹣1,则x<0时f(x)=( )A.﹣x﹣1B.x+1C.﹣x+1D.x﹣115.证券公司提示:股市有风险,入市需谨慎.小强买的股票A连续4个跌停(一个跌停:比前一天收市价下跌10%),则至少需要几个涨停,才能不亏损(一个涨停:比前一天收市价上涨10%).( )A.3B.4C.5D.616.给定实数x,定义[x]为不大于x的最大整数,则下列结论中不正确的是( )A.x﹣[x]≥0B.x﹣[x]<1C.令f(x)=x﹣[x],对任意实数x,f(x+1)=f(x)恒成立D.令f(x)=x﹣[x],对任意实数x,f(﹣x)=f(x)恒成立 三、解答题(本大题满分52分)本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤.17.已知,求实数m的取值范围.18.如图,矩形草坪AMPN中,点C在对角线MN上.CD垂直于AN于点D,CB垂直于AM于点B,|CD|=|AB|=3米,|AD|=|BC|=2米,设|DN|=x米,|BM|=y米.求这块矩形草坪AMPN面积的最小值.12/1319.设a是实数,函数f(x)=a﹣(x∈R),(1)若已知(1,2)为该函数图象上一点,求a的值.(2)证明:对于任意a,f(x)在R上为增函数.20.已知函数f(x)=x2﹣2ax+1.(1)若对任意的实数x都有f(1+x)=f(1﹣x)成立,求实数a的值;(2)若f(x)在区间[1,+∞)上为单调递增函数,求实数a的取值范围;(3)当x∈[﹣1,1]时,求函数f(x)的最大值.21.在区间D上,如果函数f(x)为减函数,而xf(x)为增函数,则称f(x)为D上的弱减函数.若f(x)=(1)判断f(x)在区间[0,+∞)上是否为弱减函数;(2)当x∈[1,3]时,不等式恒成立,求实数a的取值范围;(3)若函数g(x)=f(x)+k|x|﹣1在[0,3]上有两个不同的零点,求实数k的取值范围. 12/132022-2022学年上海市浦东新区高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题(本大题满分36分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得零分.1.函数y=ax(a>0且a≠1)的图象均过定点 (0,1) .【考点】指数函数的图象与性质.【分析】根据指数函数的性质判断即可.【解答】解:∵a0=1,a>0且a≠1,∴函数y=ax(a>0且a≠1)的图象均过定点(0,1),故答案为:(0,1). 2.请写出“好货不便宜”的等价命题: 便宜没好货 .【考点】四种命题.【分析】写出原命题的逆否命题,可得答案.【解答】解:“好货不便宜”即“如果货物为好货,则价格不便宜”,其逆否命题为:“如果价格便宜,则货物不是好货”,即“便宜没好货”,故答案为:便宜没好货 3.若集合A={x|x≤1},B={x|x≥a}满足A∩B={1},则实数a= 1 .【考点】交集及其运算.【分析】由A,B,以及两集合的交集,确定出a的值即可.【解答】解:∵A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∩B={1},∴a=1,故答案为:1 4.不等式2|x﹣1|﹣1<0的解集是 .12/13【考点】绝对值不等式的解法.【分析】先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解.【解答】解:①若x≥1,∴2(x﹣1)﹣1<0,∴x<;②若x<1,∴2(1﹣x)﹣1<0,∴x>;综上<x<.故答案为:<x<. 5.若f(x+1)=2x﹣1,则f(1)= ﹣1 .【考点】函数的值.【分析】f(1)=f(0+1),由此利用f(x+1)=2x﹣1,能求出结果.【解答】解:∵f(x+1)=2x﹣1,∴f(1)=f(0+1)=2×0﹣1=﹣1.故答案为:﹣1. 6.不等式的解集为 (﹣∞,2)∪[3,+∞) .【考点】其他不等式的解法.【分析】首先将不等式化为整式不等式,然后求解集.【解答】解:原不等式等价于(x﹣3)(x﹣2)≥0且x﹣2≠0,所以不等式的解集为(﹣∞,2)∪[3,+∞);故答案为:(﹣∞,2)∪[3,+∞) 7.设函数f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则a= ﹣1 .【考点】函数奇偶性的性质.【分析】因为函数为偶函数,则根据偶函数定义f(﹣x)=f(x)得到等式解出a即可.【解答】解:∵函数为偶函数得f(1)=f(﹣1)得:2(1+a)=0∴a=﹣1.12/13故答案为:﹣1. 8.已知函数f(x)=,g(x)=,则f(x)•g(x)= x,x∈(﹣1,0)∪(0,+∞) .【考点】函数解析式的求解及常用方法.【分析】直接将f(x),g(x)代入约分即可.【解答】解:∵函数f(x)=,g(x)=,∴f(x)•g(x)=x,x∈(﹣1,0)∪(0,+∞),故答案为:x,x∈(﹣1,0)∪(0,+∞). 9.设α:x≤﹣5或x≥1,β:2m﹣3≤x≤2m+1,若α是β的必要条件,求实数m的取值范围 m≤﹣3或m≥2 .【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m的范围即可.【解答】解:α:x≤﹣5或x≥1,β:2m﹣3≤x≤2m+1,若α是β的必要条件,则2m﹣3≥1或2m+1≤﹣5,故m≥2或m≤﹣3,故答案为:m≥2或m≤﹣3. 10.函数的值域是 (0,4] .【考点】函数的值域.【分析】换元得出设t=x2﹣2≥﹣2,y=()t,求解即可得出答案.【解答】解:设t=x2﹣2≥﹣2,∵y=()t为减函数,∴0<()t≤()﹣2=4,12/13故函数的值域是(0,4],故答案为:(0,4]. 11.已知ab>0,且a+4b=1,则的最小值为 9 .【考点】基本不等式.【分析】把“1”换成4a+b,整理后积为定值,然后用基本不等式求最小值【解答】解:∵ab>0,且a+4b=1,∴=()(a+4b)=1+4++≥5+2=9,当且仅当a=,b=时取等号,∴的最小值为9,故答案为:9. 12.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是 (﹣∞,0) .【考点】函数单调性的性质.【分析】由条件利用函数的单调性的性质,可得1﹣2a>1,且a<0,由此求得a的取值范围.【解答】解:由于函数f(x)=是R上的增函数,∴1﹣2a>1,且a<0,求得a<0,故答案为:(﹣∞,0). 二、选择题(本大题满分12分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,每题答对得3分,否则一律得零分.12/1313.函数y=x的大致图象是( )A.B.C.D.【考点】函数的图象.【分析】根据函数的奇偶性和函数值得变化趋势即可判断.【解答】解:y=f(﹣x)===f(x),∴函数y=x为偶函数,∴图象关于y轴对称,故排除C,D,∵>1,∴当x>0时,y=x的变化是越来越快,故排除B故选:A 14.已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x﹣1,则x<0时f(x)=( )A.﹣x﹣1B.x+1C.﹣x+1D.x﹣1【考点】函数奇偶性的性质.【分析】根据x>0时函数的表达式,可得x<0时f(﹣x)=﹣x﹣1,再利用奇函数的定义,即可算出当x<0时函数f(x)的表达式.【解答】解:设x<0,则﹣x>0,∵当x>0时,f(x)=x﹣1,12/13∴当x<0时,f(﹣x)=﹣x﹣1,又∵f(x)是R上的奇函数,∴f(x)=﹣f(﹣x),∴当x<0时,f(x)=﹣f(﹣x)=x+1,故选B. 15.证券公司提示:股市有风险,入市需谨慎.小强买的股票A连续4个跌停(一个跌停:比前一天收市价下跌10%),则至少需要几个涨停,才能不亏损(一个涨停:比前一天收市价上涨10%).( )A.3B.4C.5D.6【考点】函数的值.【分析】设小强买的股票A时买入价格为a,连续4个跌停后价格为a(1﹣10%)4=0.6561a,设至少需要x个涨停,才能不亏损,则0.6564a(1+10%)x≥a,由此能求出结果.【解答】解:设小强买的股票A时买入价格为a,连续4个跌停后价格为a(1﹣10%)4=0.6561a,设至少需要x个涨停,才能不亏损,则0.6564a(1+10%)x≥a,整理得:1.1x≥1.5235,∵1.15=1.6105,1.14=1.4641.∴至少需要5个涨停,才能不亏损.故选:C. 16.给定实数x,定义[x]为不大于x的最大整数,则下列结论中不正确的是( )A.x﹣[x]≥0B.x﹣[x]<1C.令f(x)=x﹣[x],对任意实数x,f(x+1)=f(x)恒成立D.令f(x)=x﹣[x],对任意实数x,f(﹣x)=f(x)恒成立【考点】函数的值;函数解析式的求解及常用方法.【分析】利用[x]为不大于x的最大整数,结合函数性质求解.12/13【解答】解:在A中,∵[x]为不大于x的最大整数,∴x﹣[x]≥0,故A正确;在B中,∵[x]为不大于x的最大整数,∴x﹣[x]<1,故B正确;在C中,∵[x]为不大于x的最大整数,f(x)=x﹣[x],∴对任意实数x,f(x+1)=f(x)恒成立,故C正确;在D中,∵[x]为不大于x的最大整数,f(x)=x﹣[x],∴f(﹣3.2)=﹣3.2﹣[﹣3.2]=﹣3.2+4=0.8,f(3.2)=3.2﹣[3.2]=3.2﹣3=0.2,∴对任意实数x,f(x+1)=f(x)不成立,故D错误.故选:D. 三、解答题(本大题满分52分)本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤.17.已知,求实数m的取值范围.【考点】幂函数的性质.【分析】根据函数的单调性得到关于m的不等式,解出即可.【解答】解:(1)设函数,函数为R上的单调递增函数…得,m2+m≤﹣m+3…即,m2+2m﹣3≤0…得,(m﹣1)(m+3)≤0所以,m的取值范围为:m∈[﹣3,1]… 18.如图,矩形草坪AMPN中,点C在对角线MN上.CD垂直于AN于点D,CB垂直于AM于点B,|CD|=|AB|=3米,|AD|=|BC|=2米,设|DN|=x米,|BM|=y米.求这块矩形草坪AMPN面积的最小值.12/13【考点】基本不等式在最值问题中的应用.【分析】由题意,表示出矩形的面积,利用基本不等式,即可求得结论.【解答】解:由题意….SAMPN=(x+2)(y+3)=xy+3x+2y+6=12+3x+2y….….当且仅当3x=2y,即x=2,y=3时取得等号.….面积的最小值为24平方米.…. 19.设a是实数,函数f(x)=a﹣(x∈R),(1)若已知(1,2)为该函数图象上一点,求a的值.(2)证明:对于任意a,f(x)在R上为增函数.【考点】函数的图象.【分析】(1)代值计算即可求出a(2)运用函数的定义判断证明函数的单调性,先在取两个值x1,x2后进行作差变形,确定符号,最后下结论即可.【解答】解:(1).(2)证明:设任意x1,x2∈R,x1<x2,则f(x1)﹣f(x2)===,由于指数函数y=2x在R上是增函数,且x1<x2,所以即,又由2x>0,得,,∴f(x1)﹣f(x2)<0即f(x1)<f(x2),所以,对于任意a,f(x)在R上为增函数. 12/1320.已知函数f(x)=x2﹣2ax+1.(1)若对任意的实数x都有f(1+x)=f(1﹣x)成立,求实数a的值;(2)若f(x)在区间[1,+∞)上为单调递增函数,求实数a的取值范围;(3)当x∈[﹣1,1]时,求函数f(x)的最大值.【考点】函数的最值及其几何意义;二次函数的性质.【分析】(1)由题意可得x=1为对称轴,求得f(x)的对称轴方程,即可得到a;(2)求得f(x)的递增区间,[1,+∞)为它的子区间,可得a的范围;(3)由函数图象开口向上,对称轴x=a,可得最大值只能在端点处取得,讨论a=0,a>0,a<0,即可得到所求最大值.【解答】解:(1)由对任意的实数x都有f(1+x)=f(1﹣x)成立,知函数f(x)=x2﹣2ax+1的对称轴为x=a,即a=1;(2)函数f(x)=x2﹣2ax+1的图象的对称轴为直线x=a,由f(x)在[a,+∞)上为单调递增函数,y=f(x)在区间[1,+∞)上为单调递增函数,得,a≤1;(3)函数图象开口向上,对称轴x=a,可得最大值只能在端点处取得.当a<0时,x=1时,函数取得最大值为:2﹣2a;当a>0时,x=﹣1时,函数取得最大值为:2+2a;当a=0时,x=1或﹣1时,函数取得最大值为:2. 21.在区间D上,如果函数f(x)为减函数,而xf(x)为增函数,则称f(x)为D上的弱减函数.若f(x)=(1)判断f(x)在区间[0,+∞)上是否为弱减函数;(2)当x∈[1,3]时,不等式恒成立,求实数a的取值范围;(3)若函数g(x)=f(x)+k|x|﹣1在[0,3]上有两个不同的零点,求实数k的取值范围.【考点】函数单调性的性质.【分析】(1)利用初等函数的性质、弱减函数的定义,判断是[0,+12/13∞)上的弱减函数.(2)根据题意可得,再利用函数的单调性求得函数的最值,可得a的范围.(3)根据题意,当x∈(0,3]时,方程只有一解,分离参数k,换元利用二次函数的性质,求得k的范围.【解答】解:(1)由初等函数性质知,在[0,+∞)上单调递减,而在[0,+∞)上单调递增,所以是[0,+∞)上的弱减函数.(2)不等式化为在x∈[1,3]上恒成立,则,而在[1,3]单调递增,∴的最小值为,的最大值为,∴,∴a∈[﹣1,].(3)由题意知方程在[0,3]上有两个不同根,①当x=0时,上式恒成立;②当x∈(0,3]时,则由题意可得方程只有一解,根据,令,则t∈(1,2],方程化为在t∈(1,2]上只有一解,所以. 12/13
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