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上海市徐汇区高一(上)期末数学试卷
上海市徐汇区高一(上)期末数学试卷
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2022-2022学年上海市徐汇区高一(上)期末数学试卷 一、填空题:本大题共12小题,每小题3分,共20分).1.已知A={x|x≤7},B={x|x>2},则A∩B= .2.不等式的解集是 .3.函数f(x)=的定义域是 .4.若x>0,则函数f(x)=+x的最小值为 .5.若函数,,则f(x)+g(x)= .6.不等式|2x﹣1|<3的解集为 .7.设f(x)是R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2﹣x,则f(1)= .8.已知函数,则方程f﹣1(x)=4的解x= .9.若函数f(x)=x2+为偶函数,则实数a= .10.函数y=的值域是 .11.已知函数f(x)=,且函数F(x)=f(x)+x﹣a有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是 .12.关于x的方程4x﹣k•2x+k+3=0,只有一个实数解,则实数k的取值范围是 . 二、选择题:本大题共4小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.13.“x+y=3”是“x=1且y=2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也必要条件14.下列各对函数中,相同的是( )A.f(x)=lgx2,g(x)=2lgxB.f(x)=lg,g(x)=lg(x+1)﹣lg(x﹣1)14/15C.f(u)=,g(v)=D.f(x)=x,g(x)=15.设a,b是非零实数,若a<b,则下列不等式成立的是( )A.a2<b2B.ab2<a2bC.D.16.若f(x)是R上的奇函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,则下列结论:①y=|f(x)|是偶函数;②对任意的x∈R都有f(﹣x)+|f(x)|=0;③y=f(﹣x)在(﹣∞,0]上单调递增;④y=f(x)f(﹣x)在(﹣∞,0]上单调递增.其中正确结论的个数为( )A.1B.2C.3D.4 三、解答题:本大题共5小题,共44分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.17.已知全集为R,集合A={x|≤0},集合B={x||2x+1|>3}.求A∩(∁RB).18.设函数f(x)=a﹣(a∈R).(1)请你确定a的值,使f(x)为奇函数;(2)用单调性定义证明,无论a为何值,f(x)为增函数.19.关于x的不等式>1+(其中k∈R,k≠0).(1)若x=3在上述不等式的解集中,试确定k的取值范围;(2)若k>1时,上述不等式的解集是x∈(3,+∞),求k的值.20.已知f(x)=()2(x>1)(1)求f(x)的反函数及其定义域;(2)若不等式(1﹣)f﹣1(x)>a(a﹣)对区间x∈[,]恒成立,求实数a的取值范围.14/1521.设a∈R,函数f(x)=x|x﹣a|+2x.(1)若a=3,求函数f(x)在区间[0,4]上的最大值;(2)若存在a∈(2,4],使得关于x的方程f(x)=t•f(a)有三个不相等的实数解,求实数t的取值范围. 14/152022-2022学年上海市徐汇区高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题:本大题共12小题,每小题3分,共20分).1.已知A={x|x≤7},B={x|x>2},则A∩B= {x|2<x≤7} .【考点】交集及其运算.【分析】由A与B,求出两集合的交集即可.【解答】解:∵A={x|x≤7},B={x|x>2},∴A∩B={x|2<x≤7},故答案为:{x|2<x≤7} 2.不等式的解集是 (﹣4,2) .【考点】其他不等式的解法.【分析】由不等式可得(x﹣2)(x+4)<0,解此一元二次不等式求得原不等式的解集.【解答】解:由不等式可得<0,即(x﹣2)(x+4)<0,解得﹣4<x<2,故不等式的解集为(﹣4,2),故答案为(﹣4,2). 3.函数f(x)=的定义域是 {x|x≥﹣2且x≠1} .【考点】函数的定义域及其求法.【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零,列出不等式组求解,最后要用集合或区间的形式表示.【解答】解:由题意,要使函数有意义,则,解得,x≠1且x≥﹣2;14/15故函数的定义域为:{x|x≥﹣2且x≠1},故答案为:{x|x≥﹣2且x≠1}. 4.若x>0,则函数f(x)=+x的最小值为 2 .【考点】基本不等式.【分析】由x>0,直接运用基本不等式,计算即可得到最小值.【解答】解:x>0,则函数f(x)=+x≥2=2,当且仅当x=时,f(x)取得最小值2.故答案为:2. 5.若函数,,则f(x)+g(x)= 1(0≤x≤1) .【考点】函数解析式的求解及常用方法.【分析】容易求出f(x),g(x)的定义域,求交集便可得出f(x)+g(x)的定义域,并可求得f(x)+g(x)=.【解答】解:;解得,0≤x≤1;∴(0≤x≤1).故答案为:. 6.不等式|2x﹣1|<3的解集为 {x|﹣1<x<2} .【考点】不等式;绝对值不等式.【分析】将2x﹣1看成整体,利用绝对值不等式将原不等式转化成整式不等式,最后利用不等式基本性质求解即可.【解答】解:∵|2x﹣1|<3⇔﹣3<2x﹣1<3⇔﹣1<x<2,∴不等式|2x﹣1|<3的解集为{x|﹣1<x<2}.14/15故答案为:{x|﹣1<x<2}. 7.设f(x)是R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2﹣x,则f(1)= ﹣3 .【考点】函数的值.【分析】根据函数奇偶性的性质求f(﹣1)即可求出f(1)的值.【解答】解:∵f(x)是R上的奇函数,∴f(﹣1)=﹣f(1),∵当x≤0时,f(x)=2x2﹣x,∴f(﹣1)=2+1=3,∴f(1)=﹣f(﹣1)=﹣3.故答案为:﹣3. 8.已知函数,则方程f﹣1(x)=4的解x= 1 .【考点】反函数;对数的运算性质.【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知,欲求满足f﹣1(x)=4的x值,即求f(4)的值.【解答】解:由题意得,即求f(4)的值∵,,∴f(4)=log3(1+2)=1,∴f(4)=1.即所求的解x=1.故答案为1. 9.若函数f(x)=x2+为偶函数,则实数a= 1 .【考点】函数奇偶性的性质.【分析】根据偶函数的定义建立方程关系进行求解即可.【解答】解:∵函数f(x)=x2+为偶函数,14/15∴f(﹣x)=f(x),即x2﹣=x2+,则=0,则a=1,故答案为:1 10.函数y=的值域是 (﹣1,) .【考点】函数的值域.【分析】分离常数后,根据指数函数的值域即可求函数y的范围.【解答】解:函数y===﹣1.∵2x+3>3,∴0<.∴函数y=的值域是(﹣1,)故答案为(﹣1,) 11.已知函数f(x)=,且函数F(x)=f(x)+x﹣a有且仅有两个零点,则实数a的取值范围是 a≤1 .【考点】函数零点的判定定理.【分析】根据函数与方程的关系,将函数问题转化为两个函数的交点问题,利用数形结合进行求解即可.【解答】解:由F(x)=f(x)+x﹣a=0得f(x)=﹣x+a,作出函数f(x)和y=﹣x+a的图象如图:当直线y=﹣x+a经过点A(0,1)时,两个函数有两个交点,此时1=﹣0+a,即a=1,要使两个函数有两个交点,则a≤1即可,14/15故实数a的取值范围是a≤1,故答案为:a≤1 12.关于x的方程4x﹣k•2x+k+3=0,只有一个实数解,则实数k的取值范围是 (﹣∞,﹣3)∪{6} .【考点】函数的零点.【分析】首先换元,令t=2x,则关于t方程t2﹣kt+k+3=0只有一个正根,根据根与系数的关系写出一元二次方程要满足的条件,得到结果.【解答】解:设t=2x,t>0x的方程4x﹣k•2x+k+3=0转化为t2﹣kt+k+3=0,设f(t)=t2﹣kt+k+3,原方程只有一个根,则换元以后的方程有一个正根,∴f(0)<0,或△=0,∴k<﹣3,或k=6故答案为(﹣∞,﹣3)∪{6}. 二、选择题:本大题共4小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.13.“x+y=3”是“x=1且y=2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.14/15【解答】解:当x=0,y=3时,满足x+y=3,但x=1且y=2不成立,即充分性不成立,若x=1且y=2,则x+y=3成立,即必要性成立,即“x+y=3”是“x=1且y=2”的必要不充分条件,故选:B 14.下列各对函数中,相同的是( )A.f(x)=lgx2,g(x)=2lgxB.f(x)=lg,g(x)=lg(x+1)﹣lg(x﹣1)C.f(u)=,g(v)=D.f(x)=x,g(x)=【考点】判断两个函数是否为同一函数.【分析】对于A,通过定义域判断是不是相同的函数;对于B求出函数的定义域,即可判断是不是相同的函数;对于C:判断是否满足相同函数的要求即可;对于D:通过对应关系以及值域即可判断是不是相同的函数.【解答】解:对于A:f(x)=lgx2,g(x)=2lgx两个函数的定义域不同,不是相同的函数;对于B:f(x)=lg,g(x)=lg(x+1)﹣lg(x﹣1)函数底的定义域不同,不是相同的函数;对于C:f(u)=,g(v)=,满足相同函数的要求,是相同的函数;对于D:f(x)=x,g(x)=,定义域相同,都是对应关系以及值域不同,不是相同的函数.故选C. 15.设a,b是非零实数,若a<b,则下列不等式成立的是( )A.a2<b2B.ab2<a2bC.D.14/15【考点】一元二次不等式的应用;不等关系与不等式.【分析】由不等式的相关性质,对四个选项逐一判断,由于a,b为非零实数,故可利用特例进行讨论得出正确选项【解答】解:A选项不正确,因为a=﹣2,b=1时,不等式就不成立;B选项不正确,因为a=1,b=2时,不等式就不成立;C选项正确,因为⇔a<b,故当a<b时一定有;D选项不正确,因为a=1,b=2时,不等式就不成立;选项正确,因为y=2x是一个增函数,故当a>b时一定有2a>2b,故选C. 16.若f(x)是R上的奇函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,则下列结论:①y=|f(x)|是偶函数;②对任意的x∈R都有f(﹣x)+|f(x)|=0;③y=f(﹣x)在(﹣∞,0]上单调递增;④y=f(x)f(﹣x)在(﹣∞,0]上单调递增.其中正确结论的个数为( )A.1B.2C.3D.4【考点】命题的真假判断与应用.【分析】由f(x)是R上的奇函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,知:y=|f(x)|是偶函数;对任意的x∈R,不一定有f(﹣x)+|f(x)|=0;y=f(﹣x)在(﹣∞,0]上单调递减;y=f(x)f(﹣x)=﹣[f(x)]2在(﹣∞,0]上单调递减.【解答】解:∵f(x)是R上的奇函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴y=|f(x)|是偶函数,故①正确;对任意的x∈R,不一定有f(﹣x)+|f(x)|=0,故②不正确;y=f(﹣x)在(﹣∞,0]上单调递减,故③不正确;y=f(x)f(﹣x)=﹣[f(x)]2在(﹣∞,0]上单调递增,故④正确.故选B. 14/15三、解答题:本大题共5小题,共44分.解答写出文字说明、证明过程或演算过程.17.已知全集为R,集合A={x|≤0},集合B={x||2x+1|>3}.求A∩(∁RB).【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】化简集合A、B,根据补集与交集的定义写出A∩(∁RB)即可.【解答】解:全集为R,集合A={x|≤0}={x|﹣1<x≤3},集合B={x||2x+1|>3}={x|2x+1>3或2x+1<﹣3}={x|x>1或x<﹣2},所以∁RB={x|﹣2≤x≤1},A∩(∁RB)={x|﹣1<x≤1}. 18.设函数f(x)=a﹣(a∈R).(1)请你确定a的值,使f(x)为奇函数;(2)用单调性定义证明,无论a为何值,f(x)为增函数.【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.【分析】(1)根据函数奇偶性的定义进行判断即可.(2)根函数单调性的定义进行证明即可.【解答】解:(1)∵函数f(x)是R上的奇函数,∴f(0)=a﹣=0,∴a=1;(2)证明:任取:x1<x2∈R,∴f(x1)﹣f(x2)=a﹣﹣a+=2•∵x1<x2,∴,又>0,,∴f(x1)﹣f(x2)<0,14/15即f(x1)<f(x2),∴f(x)在R上的单调递增. 19.关于x的不等式>1+(其中k∈R,k≠0).(1)若x=3在上述不等式的解集中,试确定k的取值范围;(2)若k>1时,上述不等式的解集是x∈(3,+∞),求k的值.【考点】其他不等式的解法.【分析】(1)若x=3在上述不等式的解集中,即x=3,求解关于k的不等式>1+即可.(2)根据不等式与方程的思想求解,移项通分,化简,利用x=3求解k的值.【解答】解:(1)由题意:x=3时,不等式>1+化简为,即,可得(5﹣k)k>0,解得:0<k<5.∴当x=3在上述不等式的解集中,k的取值范围是(0,5)(2)不等式>1+化简可得(其中k∈R,k≠0).∵k>1,可得:⇔kx+2k>k2+x﹣3不等式的解集是x∈(3,+∞),∴x=3是方程kx+2k=k2+x﹣3的解.即3k+2k=k2,∵k≠0,∴k=5.故得若k>1时,不等式的解集是x∈(3,+∞)时k的值为5. 14/1520.已知f(x)=()2(x>1)(1)求f(x)的反函数及其定义域;(2)若不等式(1﹣)f﹣1(x)>a(a﹣)对区间x∈[,]恒成立,求实数a的取值范围.【考点】函数恒成立问题;反函数.【分析】(1)求出f(x)的值域,即f﹣1(x)的定义域,令y=()2,解得x=,可得f﹣1(x).(2)不等式(1﹣)f﹣1(x)>a(a﹣)在区间x∈[,]恒成立⇔在区间x∈[,]恒成立,对区间x∈[,]恒成立.【解答】解;(1)∵x>1,∴0<f(x)<1.令y=()2(x>1),解得x=,∴f﹣1(x)=(0<x<1);(2)∵f﹣1(x)=(0<x<1),∴不等式(1﹣)f﹣1(x)>a(a﹣)在区间x∈[,]恒成立⇔在区间x∈[,]恒成立,对区间x∈[,]恒成立.当a=﹣1时,不成立,当a>﹣1时,a<在区间x∈[,]恒成立,a<()min,﹣1<a<.当a<﹣1时,a>在区间x∈[,]恒成立,a>()max,a无解. 综上:实数a的取值范围:﹣1<a<. 21.设a∈R,函数f(x)=x|x﹣a|+2x.(1)若a=3,求函数f(x)在区间[0,4]上的最大值;14/15(2)若存在a∈(2,4],使得关于x的方程f(x)=t•f(a)有三个不相等的实数解,求实数t的取值范围.【考点】分段函数的应用;根的存在性及根的个数判断.【分析】(1)求出f(x)的分段函数式,运用二次函数的性质,可得单调区间,求得最大值;(2)将x分区间进行讨论,去绝对值写出解析式,求出单调区间,将a分区间讨论,求出单调区间解出即可.【解答】解:(1)当a=3,x∈[0,4]时,f(x)=x|x﹣3|+2x=,可知函数f(x)在区间[0,]递增,在(,3]上是减函数,在[3,4]递增,则f()=,f(4)=12,所以f(x)在区间[0,4]上的最大值为f(4)=12.(2)f(x)=,①当x≥a时,因为a>2,所以<a.所以f(x)在[a,+∞)上单调递增.②当x<a时,因为a>2,所以<a.所以f(x)在(﹣∞,)上单调递增,在[,a]上单调递减.当2<a≤4时,知f(x)在(﹣∞,]和[a,+∞)上分别是增函数,在[,a]上是减函数,当且仅当2a<t•f(a)<时,方程f(x)=t•f(a)有三个不相等的实数解.即1<t<=(a++4).令g(a)=a+,g(a)在a∈(2,4]时是增函数,故g(a)max=5.14/15∴实数t的取值范围是(1,).14/15
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发布时间:2022-08-25 20:18:40
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