2020-2021学年上海市杨浦区高一(上)期末数学试卷【含答案】
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2020-2021学年上海市杨浦区高一(上)期末数学试卷一、填空题(每小题3分,共36分))1.函数的定义域为集合________.2.设函数y=ax-4,(a>0, a≠1),若其零点为2,则a=________.3.求函数f(x)=x+1x(x>0)的值域________.4.全集U={x||x-1|<3, x∈Z},A={1, 2, 3},则=________.5.已知函数f(x)=(a2-a+1)xa+2为幂函数,且为奇函数,则实数a的值________.6.函数f(x)=|3-x|+|x-7|的最小值等于________.7.函数y=loga(x+3)-4(a>0,且a≠1)图象恒过定点P,点P的坐标为________.8.已知y=f(x)是定义在R上的偶函数,且它在[0, +∞)上单调递增,那么使得f(-2)≤f(a)成立的实数a的取值范围是________.9.若函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,,则函数y=f(x)在R上的解析式为f(x)=________.10.若f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=log2(2-x),则f(0)+f(6)=________.11.已知函数f(x)=ax+1-2(a>0且a≠1)的图象不经过第四象限,则a的取值范围为________.12.定义区间[x1, x2](x1<x2)的长度为x2-x1,已知函数y=|log12x|的定义域为[a, b],值域为[0, 2],则区间[a, b]长度的最大值与最小值的差为________.二、选择题(每小题3分,共12分))13.“m∈{1, 2}“是“lnm<1”成立的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.关于函数,下列说法正确的是()A.是奇函数且在区间[0, +∞)上是严格增函数B.是偶函数且在区间[0, +∞)上是严格增函数C.是非奇非偶函数且在区间[0, +∞)上是严格增函数D.是非奇非偶函数且在区间[0, +∞)上是严格减函数15.函数的大致图象是()试卷第7页,总8页
A.B.C.D.16.定义在[t, +∞)上的函数f(x)、g(x)是严格增函数,f(t)=g(t)=M,若对任意k>M,存在x1<x2,使得f(x1)=g(x2)=k成立,则称g(x)是f(x)在[t, +∞)上的“追逐函数”已知f(x)=x2,下列四个函数:①g(x)=x;②g(x)=lnx+1;③g(x)=2x-1;④.其中是f(x)在[1, +∞)上的“追逐函数”的是()A.①②④B.①②③C.①④D.①②三、解答题:(5大题,共52分))17.已知函数f(x)=ln1+x1-x的定义域为集合A,集合B=(a, a+1),且B⊆A.(1)求实数a的取值范围;(2)求证:函数f(x)是奇函数但不是偶函数.18.科学家发现某种特别物质的温度y(单位:摄氏度)随时间x(时间:分钟)的变化规律满足关系式:y=m⋅2x+21-x(0≤x≤4, m>0).(1)若m=2,求经过多少分钟,该物质的温度为5摄氏度;(2)如果该物质温度总不低于2摄氏度,求m的取值范围.19.设函数fm(x)=log2(x+m)(m∈R).(1)解不等式;(2)关于x的方程+λ在区间[-2, 6]上有实数解,求实数λ的取值范围.20.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:在定义域内存在x0,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立.(1)函数f(x)=是否属于集合M?说明理由;(2)设函数f(x)=lg∈M,求a的取值范围;(3)设函数y=2x图象与函数y=-x的图象有交点且交点横坐标为a,证明:函数f(x)=2x+x2∈M,并求出对应的x0(结果用a表示出来).21.某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为,x∈[0, 24),其中a试卷第7页,总8页
是与气象有关的参数,且,若用每天f(x)的最大值为当天的综合污染指数,并记作M(a).(1)令,x∈[0, 24),求t的取值范围;(2)求M(a)的表达式,(3)规定当M(a)≤2时为综合污染指数不超标,求当a在什么范围内时,该市市中心的综合污染指数不超标.试卷第7页,总8页
参考答案与试题解析2020-2021学年上海市杨浦区高一(上)期末数学试卷一、填空题(每小题3分,共36分)1.(0, +∞)2.23.[2, +∞)4.{-1, 0}5.16.47.(-2, -4)8.(-∞,-2]∪[2,+∞)9.10.-311.[2, +∞)12.3二、选择题(每小题3分,共12分)13.A14.C15.A16.D三、解答题:(5大题,共52分)17.令1+x1-x>0,解得-1<x<1,所以A=(-1, 1),因为B⊆A,所以a≥-1a+1≤1 ,解得-1≤a≤0,即实数a的取值范围是[-1, 0];证明:函数f(x)的定义域A=(-1, 1),定义域关于原点对称,f(-x)=ln1-x1+x=ln(1+x1-x)-1=-ln1+x1-x=-f(x),而f(12)=ln3,f(-12)=ln13,所以f(-12)≠f(12),所以函数f(x)是奇函数但不是偶函数.18.由题意,当m=2,则2⋅2x+21-x=5,解得x=1或x=-1; 由x≥0,∴x=1,故经过1时间,温度为5摄氏度.试卷第7页,总8页
由题意得m2x+21-x≥2对一切x≥0恒成立,则 由2x>0,得 m≥22x,令t=2-x则0<t≤1,f(t)=-2t2+2t=-2(t-12)2+12,当t=12时,取得最大值为12.∴m≥12,故的取值范围为[12, +∞).19.由题意知,不等式即 ,则,化简得,故有 ,∴原等式的解集为.关于x的方程+λ,即 ,由于函数λ在[-3,x=-2时,λmin=1;x=7时,.所以,实数λ的取值范围是.20.若,则在定义城内存在x0,使得.∵方程无解,∴.试卷第7页,总8页
因为,所以(a-2)x2+4ax+2(a-1)=4有解,当a≠2时,;当a≠2时,由△≥0,得,∴证明:∵=,又∵函数y=2x图象与函数y=-x的图象交点的横坐标为a,即6a+a=0,因此取x0=a+7,即得∴存在x0∈R使得f(x7+1)=f(x0)+f(1),即f(x)=5x+x2∈M,其中x0=a+2.21.,①当x=8时,t=0,②当0<x<24时,t==,∵x+=2即x=3时,∴,即6<t,综上所述,.试卷第7页,总8页
当时,由(1),,则,所以,于是,g(t)在t∈[0,在是严格增函数,所以,因为,,解,得,所以,当时,;当时,,即.由M(a)≤2,得或或,综上试卷第7页,总8页
.所以,当时,综合污染指数不超标.试卷第7页,总8页
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