2020-2021学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷【含答案】

2020-2021学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一.填空题)1.已知集合＝‴㈱⸷㈱⸷，＝‴㈱‴‴＝，则＝________．2.不等式的解集为________．3.函数，的值域为________．4.计算：＝________．5.用“二分法”求方程‴‴‴＝在区间㈱⸷内的实根，首先取区间中点‴＝㈱‸㠲进行判断，那么下一个取的点是‴＝________．6.已知条件‴㈱‴㈱‴，‴‴댳，且是的必要条件，则实数的取值范围为________．7.不等式㈱‴㈱㈱‴‴㈱㈱㠲的解集为________．8.已知函数‴＝‴的反函数为＝‴㈱‴，若函数＝‴㈱‴的图象过点⸷，则实数的值为________．9.已知函数‴＝㈱‴‴㈱在区间㈱⸷上是严格增函数，则实数的取值范围为________．10.已知集合＝‴㈱㈱‴‴㈱댳，其中‴，，且ᦙ，＝‴㈱㈱‴㈱댳，其中‴，，且ᦙ，则的元素个数为________.（用含正整数的式子表示）11.若集合＝‴㈱‴㠲‴‴＝，＝‴㈱‴＝⸷，且，则满足条件的实数的取值集合为________．12.已知函数，若‴ᦙ，则实数的取值范围为________．13.已知函数＝‴是定义在实数集上的偶函数，若‴在区间⸷上是严格增函数，且＝，则不等式的解集为________．二.选择题)14.ᦙ.是ᦙ.的（）试卷第1页，总8页 A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件‴㈱15.函数‴的图象()‴A.关于轴对称B.关于‴轴对称C.关于原点对称D.关于直线‴对称16.已知全集＝及集合＝㈱‴댳，且，＝.㈱..‴㈱ᦙ⸷其中.，则的元素个数为（）A.B.C.D.㈱17.已知函数＝‴‴，＝ln‴‴，＝lg‴‴的零点依次为‴、‴、‴，则‴、‴、㈱㈱‴的大小关系为（）A.‴㈱댳‴댳‴B.‴댳‴㈱댳‴C.‴댳‴댳‴㈱D.‴㈱댳‴댳‴18.设‴是定义在上的奇函数，且当‴时，‴‴，若对任意的‴쳌⸷쳌，不等式‴쳌‴恒成立，则实数쳌的取值范围是A.，B.⸷C.⸷D.‴，‴㈱⸷19.若函数＝‴㈱‴‴㈱与在区间㈱⸷上都是严格减函数，则实数的取值范围为（）A.‴⸷B.‴㈱⸷⸷㈱C.⸷㈱D.⸷㈱三.解答题)20.已知、.是任意实数，求证：...，并指出等号成立的条件．21.某居民小区欲在一块空地上建一面积为㈱的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽，东西的人行通道宽，如图所示（图中单位：），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？22.已知函数．（1）作出这个函数的大致图象；试卷第2页，总8页 （2）讨论关于‴的方程的根的个数．23.已知函数‴㈱‴ᦙ⸷㈱是定义在上的奇函数．‴㈱㈱求实数的值及函数‴的值域；若不等式쳌‴‴‴在‴㈱⸷上恒成立，求实数쳌的取值范围．24.已知函数．（1）判断函数＝‴的奇偶性；（2）对任意的实数‴㈱、‴，且‴㈱‴ᦙ，求证：‴㈱‴ᦙ；（3）若关于‴的方程有两个不相等的正根，求实数取值范围．25.设是正常数，函数满足‴㈱㈱＝．（1）求的值，并判断函数＝‴的奇偶性；（2）是否存在一个正整数，使得ᦙ‴对于任意恒成立？若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由．附加题)26.对于定义在上的函数‴，设区间⸷是的一个子集，若存在‴⸷，使得函数‴在区间⸷‴上是严格减函数，在区间‴⸷上是严格增函数，则称函数‴在区间⸷上具有性质．（1）若函数‴.‴在区间⸷㈱上具有性质，写出实数、.所满足的条件；（2）设是常数，若函数‴‴‴在区间㈱⸷上具有性质，求实数的取值范围．试卷第3页，总8页 参考答案与试题解析2020-2021学年上海市虹口区高一（上）期末数学试卷一.填空题1.‴㈱2.‴⸷㈱3.4.5.㈱‸㠲6.‴⸷‴7.‴⸷8.‴9.‴⸷㈱10.11.12.㈱ᦙ㈱或댳‴13.‴⸷‴⸷二.选择题14.B15.A16.B17.D18.A19.D三.解答题20.证明：.‴㠲.‴.＝‴..‴.，＝‴...‴＝‴.‴.㠲，＝‴...＝‴.）.，即...，当且仅当＝.时，等号成立．试卷第4页，总8页 21.设矩形车场南北侧边长为‴，则其东西侧边长为，人行道占地面积为＝‴）‴㈱＝‴＝㠲，当且仅当‴＝，即‴＝时取等号，＝，此时，min所以矩形停车场的南北侧边长为，则其东西侧边长为，最小面积是㠲．22.∵＝，首先将＝-的图象向左平移㈱个单位，得到＝‴的图象的图象在‴轴下方的部分翻折到‴轴上方，便可得到的图象；当쳌댳时，方程；当쳌＝或쳌＝时，的根的个数为㈱；当댳쳌댳或쳌ᦙ时，的根的个数为．23.解：㈱由，解得：，反之时，试卷第5页，总8页 ‴‴㈱‴㈱‴，‴㈱‴㈱‴‴‴‴，符合题意，故，由‴㈱‴，‴㈱当‴时，‴‴㈱，当‴时，‴㈱，故函数的值域是‴㈱⸷㈱；‴㈱‴在‴㈱⸷递增，‴㈱㈱故‴⸷，㠲‴‴㈱故쳌‴，‴‴㈱‴‴㈱故쳌‴‴‴㈱max，令‴‴㈱，⸷，‴‴㈱则‴‴‴随的增大而增大，‴‴㈱㈱㠲最大值是，㈱㠲故实数쳌的取值范围是⸷．24.＝log㈱＝．当‴ᦙ时，‴‴댳，即‴‴＝‴‴．当‴댳时，‴‴ᦙ，即‴‴＝‴‴．综上，函数‴是上的奇函数；证明：∵函数＝log‴是⸷上的严格增函数，函数＝‴在上也是严格增函数，故函数＝log㈱‴在⸷上是严格增函数．由知，函数＝‴在上为奇函数，＝在‴⸷上也是严格增函数．由‴㈱‴ᦙ，得‴㈱ᦙ‴‴，∴‴㈱ᦙ‴‴＝‴‴㠲，即‴㈱‴ᦙ；（1）由（2）知，＝‴是上的奇函数试卷第6页，总8页 ．令‴＝쳌，则当‴ᦙ时，于是关于쳌的方程有两个不等的正根．即댳댳㈱或ᦙ㠲．因此，实数的取值范围是（，．25.由‴㈱㈱＝得：log（‴log（＝log‴＝，解得：＝㈱，∵ᦙ，∴＝㈱（‴，又‴‴＝log（‴‴＝‴log＝‴log（‴＝‴‴，∴‴为奇函数；由（1）知：‴＝log（‴，设任意的‴，‴满足㈱‴댳‴，则有댳‴㠲댳‴，㈱∴댳댳‴，∴‴㈱＝log（‴댳‴＝log（‴，∴函数＝‴在㈱，]上单调递增，∴‴max＝（）＝log），又由ᦙ‴对于任意恒成立可得：ᦙ‴max＝log），∵为正整数，∴存在，且min＝．试卷第7页，总8页 附加题26.当‴.‴在⸷㈱上具有性质时，由其图象在上是抛物线，.故此抛物线开口向上即ᦙ，且对称轴‴‴⸷㈱，于是，实数，.满足的条件‴댳.댳；记‴‴‴‴，设‴，‴是区间㈱⸷上任意给定的两个实数，㈱总有‴‴‴‴‴‴‴‴‴‴‴，㈱㈱㈱㈱若，当‴댳‴时，总有‴‴‴댳且‴‴‴‴‴ᦙ，㈱㈱㈱㈱故‴㈱‴‴댳，因此‴‴‴在区间㈱⸷上单调递增，不符合题意，若㈱，‴댳‴时，总有‴‴‴댳且‴‴‴‴‴댳，㈱㈱㈱㈱故‴㈱‴‴ᦙ，因此‴‴‴在区间㈱⸷上单调递减，不符合题意，若댳댳㈱，当‴㈱댳‴，且‴㈱，‴㈱⸷时，总有‴㈱‴‴댳且‴㈱‴㈱‴‴‴ᦙ，故‴㈱‴‴ᦙ，因此‴‴‴在区间㈱⸷上单调递减，当‴㈱댳‴，且‴㈱，‴，时，总有‴㈱‴‴댳且‴㈱‴㈱‴‴‴댳，故‴㈱‴‴댳，因此‴‴‴在区间㈱⸷上单调递增，故댳댳㈱．综上，的范围⸷㈱试卷第8页，总8页