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上海市浦东新区高二(上)期末数学试卷
上海市浦东新区高二(上)期末数学试卷
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2022-2022学年上海市浦东新区高二(上)期末数学试卷 一、填空题(本大题共36分,共有12题,每题3分)1.数1与9的等差中项是______.2.若线性方程组的增广矩阵为,则该线性方程组的解是______.3.行列式中元素8的代数余子式的值为______.4.若向量=(1,2),=(﹣1,3),=3﹣,则向量的单位向量=______.5.等差数列{an}中,a1=﹣1,a3=3,an=9,则n=______.6.已知向量=(1,2),=(1+x,x),且⊥,则x的值为______.7.已知=﹣,若实数λ满足=λ,则λ的值为______.8.一个算法的程序框图如图所示,则该算法运行后输出的结果为______.9.关于x的方程=0的解为______.10.若无穷等比数列{an}的各项和为3,则首项a1的取值范围为______.11.已知正方形ABCD的边长为1,M是正方形ABCD四边上或内部的动点,则•的取值范围是______.12.定义=(n∈N*)为向量=(xn,yn)到向量=(xn+1,yn+1)的一个矩阵变换,设向量=(cosα,sinα),O为坐标原点,则||=______. 二、选择题(本大题满分12分,共4题,每题3分)13/1413.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=”时,在验证n=1成立时,左边应该是( )A.1+a+a2B.1+a+a2+a3C.1+aD.114.下列命题正确的是( )A.若(an•bn)=a≠0,则an≠0且bn≠0B.若(an•bn)=0,则an=0或bn=0C.若无穷数列{an}有极限,且它的前n项和为Sn,则=a1+a2+…+anD.若无穷数列{an}有极限,则an=an+115.如图,A,B,C,D是平面上的任意四点,下列式子中正确的是( )A.+=+B.+=+C.+=+D.+=+16.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若已知S6<S7,S7>S8,则下列叙述中正确的个数有( )①S7是所有Sn(n∈N*)中的最大值;②a7是所有an(n∈N*)中的最大值;③公差d一定小于0;④S9一定小于S6.A.1个B.2个C.3个D.4个 三、解答题17.已知,x,y的方程组.(1)求D,Dx,Dy;(2)当实数m为何值时方程组无解;(3)当实数m为何值时方程组有解,并求出方程组的解.18.已知等比数列{an}的首项为1,公比为q(0<q≤1),它的前n项和为Sn,且Tn=,求Tn的值.19.已知向量=(1,7),=(5,1),=(2,1)(其中O为坐标原点),点P是直线OC上的一个动点.(1)若∥,求的坐标;(2)当•取最小值时,求cos∠APB的值.13/1420.已知无穷等数列{an}中,首项a1=1000,公比q=,数列{bn}满足bn=(lga1+lga2+…+lgan).(1)求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和的最大值.21.设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=pSn+q(n∈N*,p,q为常数),a1=2,a2=1,a3=q﹣3p.(1)求p,q的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)记集合M={n|λ≥,n∈N*},若M中仅有3个元素,求实数λ的取值范围. 13/142022-2022学年上海市浦东新区高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共36分,共有12题,每题3分)1.数1与9的等差中项是 5 .【考点】等差数列的通项公式.【分析】由等差中项的定义可得2a=1+9,解之可得.【解答】解:解:设1与9两数的等差中项为a,则可得2a=1+9,解得a=5,故答案为:5. 2.若线性方程组的增广矩阵为,则该线性方程组的解是 .【考点】二元一次方程组的矩阵形式.【分析】首先应理解方程增广矩阵的涵义,由增广矩阵写出原二元线性方程组,根据方程解出x,y,即可【解答】解:由二元线性方程组的增广矩阵为可得到二元线性方程组的表达式∴故答案为 3.行列式中元素8的代数余子式的值为 ﹣1 .【考点】三阶矩阵.【分析】由代数余子式的定义A12=﹣=﹣1即可求得答案.【解答】解:设A=,元素8的代数余子式A12=﹣=﹣1;13/14故答案为:﹣1. 4.若向量=(1,2),=(﹣1,3),=3﹣,则向量的单位向量= (,)或(﹣,﹣) .【考点】平面向量的坐标运算.【分析】利用平面向量坐标运算公式求解.【解答】解:∵向量=(1,2),=(﹣1,3),=3﹣,∴=(3,6)﹣(﹣1,3)=(4,3),∴向量的单位向量==±=±(,).故答案为:(,)或(﹣,﹣). 5.等差数列{an}中,a1=﹣1,a3=3,an=9,则n= 6 .【考点】等差数列的通项公式.【分析】根据等差数列的通项公式先求出d,然后在利用等差数列的通项公式求解即可.【解答】解:等差数列{an}中,a1=﹣1,a3=3,∴a3=﹣1+2d=3,∴d=2,∵an=9=﹣1+(n﹣1)×2,解得n=6,故答案为6. 6.已知向量=(1,2),=(1+x,x),且⊥,则x的值为 .【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由⊥,可得•=0,即可得出.【解答】解:∵⊥,∴•=(1+x)+2x=1+3x=0,解得x=,故答案为:﹣. 7.已知=﹣,若实数λ满足=λ,则λ的值为 ﹣3 .【考点】向量的线性运算性质及几何意义.【分析】根据向量关系作出平面图形,由线段长度比值可得出答案.13/14【解答】解:∵=﹣,∴P,P1,P2三点共线,且P2在线段P1P的反向延长线上,P2P1=P2P,∴=﹣3,故答案为:﹣3. 8.一个算法的程序框图如图所示,则该算法运行后输出的结果为 1320 .【考点】程序框图.【分析】框图首先先给i赋值12,给s赋值1,然后判断判断框中的条件是否满足,满足则执行s=s×i,i=i﹣1,不满足则跳出循环输出s的值.【解答】解:框图首先给i赋值12,给s赋值1.判断12≥10成立,执行s=1×12=12,i=12﹣1=11;判断11≥10成立,执行s=12×11=132,i=11﹣1=10判断10≥10成立,执行s=132×10=1320,i=10﹣1=9;判断9≥10不成立,跳出循环,输出s的值为1320.故答案为:1320. 9.关于x的方程=0的解为 x=2或x=3 .【考点】三阶矩阵.【分析】将行列式展开,整理得=x2﹣5x+6,由x2﹣5x+6=0,即可求得x的值.13/14【解答】解:=1×2×9+x×4×1+1×3×x2﹣2×1×x2﹣1×9×x﹣1×3×4=x2﹣5x+6,∴x2﹣5x+6=0,解得:x=2或x=3,故答案为:x=2或x=3. 10.若无穷等比数列{an}的各项和为3,则首项a1的取值范围为 (0,3)∪(3,6) .【考点】数列的极限.【分析】依题意知|q|<1且q≠0,由Sn==3⇒q=1﹣∈(﹣1,1),从而可求得a1的取值范围.【解答】解:设等比数列的公比为q,依题意知|q|<1且q≠0,∴Sn=,∴Sn==3,可得q=1﹣∈(﹣1,1),即﹣1<﹣1<1且﹣1≠0,解得0<a1<3或3<a1<6.故答案为:(0,3)∪(3,6). 11.已知正方形ABCD的边长为1,M是正方形ABCD四边上或内部的动点,则•的取值范围是 [0,1] .【考点】平面向量数量积的运算.【分析】如图所示,由数量积的意义可得:当点M位于边AD时,•取得最小值;当点M位于边BC时,•取得最大值.即可得出.【解答】解:如图所示,由数量积的意义可得:当点M位于边AD时,•取得最小值0;当点M位于边BC时,•取得最大值:1.∴•的取值范围是[0,1].故答案为:[0,1].13/14 12.定义=(n∈N*)为向量=(xn,yn)到向量=(xn+1,yn+1)的一个矩阵变换,设向量=(cosα,sinα),O为坐标原点,则||= ()n﹣1 .【考点】几种特殊的矩阵变换.【分析】由题意可知,分别求得||,代入求得=(cosx﹣sinx,cosx+sinx),及||,进而求得,,,及||,||,||,即可求得||=()n﹣1.【解答】解:由=,∴,当n=1,=(cosα,sinα),||=cos2α+sin2α=1=()0,∴,=(cosx﹣sinx,cosx+sinx),||===(),=2(﹣sinx,cosx),||==2=()2,=2(﹣sinx﹣cosx,sinx﹣cosx),13/14||=2=2=()3,=4(﹣sinx,﹣cosx),||=4=4=()4,…∴||=()n﹣1,故答案为:()n﹣1. 二、选择题(本大题满分12分,共4题,每题3分)13.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=”时,在验证n=1成立时,左边应该是( )A.1+a+a2B.1+a+a2+a3C.1+aD.1【考点】数学归纳法.【分析】在验证n=1时,左端计算所得的项.只需把n=1代入等式左边即可得到答案.【解答】解:用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=”,在验证n=1时,把当n=1代入,左端=1+a+a2.故选:A. 14.下列命题正确的是( )A.若(an•bn)=a≠0,则an≠0且bn≠0B.若(an•bn)=0,则an=0或bn=0C.若无穷数列{an}有极限,且它的前n项和为Sn,则=a1+a2+…+anD.若无穷数列{an}有极限,则an=an+1【考点】数列的极限.【分析】对于A,可举an=n,bn=,由数列极限的公式即可判断;对于B,可举an=n,bn=,运用数列极限的公式即可判断;对于C,可举an=()n﹣1,Sn=,求出极限即可判断;对于D,可举an=,求出极限,结合n,n+1趋向于无穷,即可判断.13/14【解答】解:对于A,若(an•bn)=a≠0,可举an=n,bn=,即有an不存在,=0,故A错;对于B,若(an•bn)=0,可举an=n,bn=,则an不存在,bn=0,故B错;对于C,若无穷数列{an}有极限,且它的前n项和为Sn,可举an=()n﹣1,Sn=,即有an=0,Sn=2,显然=a1+a2+…+an不成立,故C错;对于D,若无穷数列{an}有极限,可举an=,=0,显然=0,故D正确.故选:D. 15.如图,A,B,C,D是平面上的任意四点,下列式子中正确的是( )A.+=+B.+=+C.+=+D.+=+【考点】向量的加法及其几何意义;向量的减法及其几何意义.【分析】用不同的方法表示出同一向量,然后对式子进行化简验证.【解答】解:∵=,,∴,∴.故选:B. 16.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若已知S6<S7,S7>S8,则下列叙述中正确的个数有( )①S7是所有Sn(n∈N*)中的最大值;②a7是所有an(n∈N*)中的最大值;③公差d一定小于0;④S9一定小于S6.A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】数列的函数特性.【分析】利用等差数列的性质求解.【解答】解:∵a7>0,a8<0,∴S7最大,故①正确;∵d<0,∴a1最大,故②错误;由s6<s7,S7>S8可得S7﹣S6=a7>0,S8﹣S7=a8<0∴a8﹣a7=d<0,故③正确;S9﹣S6=a7+a8+a9=3a8<0,故④正确.13/14故选:C. 三、解答题17.已知,x,y的方程组.(1)求D,Dx,Dy;(2)当实数m为何值时方程组无解;(3)当实数m为何值时方程组有解,并求出方程组的解.【考点】线性方程组解的存在性,唯一性.【分析】(1)根据方程组得解法求得D=m﹣4,Dx=﹣2,Dy=m﹣2;(2)由线性方程组解得存在性,当丨A丨=0时,方程组无解;根据行列式的展开,求得m的值;(3)由当≠0,方程组有唯一解,由(1)即可求得方程组的解.【解答】解:(1)=,D=m﹣4,Dx=﹣2,Dy=m﹣2(2)由A=,当丨A丨=0,即=m﹣4=0,解得:m=4,∴当m=4,方程组无解(3)当≠0,解得:m≠4,方程组有唯一解,由,①﹣4×②解得:y=,代入求得x=,∴方程的解集为:. 18.已知等比数列{an}的首项为1,公比为q(0<q≤1),它的前n项和为Sn,且Tn=,求Tn的值.【考点】数列的极限.【分析】对q讨论,分q=1,0<q<1,运用等比数列的求和公式,以及数列极限的公式计算即可得到所求值.【解答】解:(1)当;(2)当,13/14由.综上得. 19.已知向量=(1,7),=(5,1),=(2,1)(其中O为坐标原点),点P是直线OC上的一个动点.(1)若∥,求的坐标;(2)当•取最小值时,求cos∠APB的值.【考点】平面向量数量积的运算;平面向量的坐标运算.【分析】(1)点P是直线OC上的一个动点.可设=(2x,x).利用向量坐标运算、向量共线定理,即可得出.(2)利用数量积运算性质、二次函数的单调性、向量夹角公式即可得出.【解答】解:(1)∵点P是直线OC上的一个动点.∴可设=(2x,x),==(1﹣2x,7﹣x),=﹣=(5﹣2x,1﹣x),∵∥,∴(1﹣2x)(1﹣x)﹣(7﹣x)(5﹣2x)=0,解得x=.∴=.(2),∴k=2时,•取的最小值﹣8,此时,∴. 20.已知无穷等数列{an}中,首项a1=1000,公比q=,数列{bn}满足bn=(lga1+lga2+…+lgan).(1)求数列{bn}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和的最大值.【考点】数列的求和.【分析】(1)利用等比数列的通项公式可得an,再利用等差数列的前n项和公式即可得出.(2)利用等差数列的前n项和公式及其二次函数的单调性即可得出.【解答】解:(1)an=1000×=104﹣n,=,13/14∴lgan=4﹣n,∴.(2)设数列{bn}的前n项之和为Tn,则=﹣+,当n=6,7时,Tn取得最大值. 21.设数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn+1=pSn+q(n∈N*,p,q为常数),a1=2,a2=1,a3=q﹣3p.(1)求p,q的值;(2)求数列{an}的通项公式;(3)记集合M={n|λ≥,n∈N*},若M中仅有3个元素,求实数λ的取值范围.【考点】数列递推式.【分析】(1)由题意列关于p,q的方程组,求解方程组得p,q的值;(2)把(1)中求得的p,q值代入Sn+1=pSn+q,取n=n﹣1得另一递推式,作差后可得数列{an}是等比数列,进一步得到通项公式;(3)求出数列{an}的前n项和,代入λ≥,构造函数,利用作差法判断函数单调性,由单调性求得实数λ的取值范围.【解答】解:(1)由题意,得,即,解得;(2)由(1)知,,①当n≥2时,,②①﹣②,得(n≥2),又,∴数列{an}是首项为2,公比为的等比数列.∴{an}的通项公式为(n∈N*);(3)由,得,13/14得,令,∵,∴f(n)为递增数列,且,∴f(3)≤λ<f(4)即可,即. 13/14
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高中 - 数学
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