2014-2015学年上海市宝山区高一（上）期末数学试卷【含答案可编辑】

2014-2015学年上海市宝山区高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．)1.函数y=log2(x-1)的定义域是________．2.设全集U=R，集合S={x|x≥-1}，则∁US=________．3.设关于x的函数y=(k-2)x+1是R上的增函数，则实数k的取值范围是________．4.已知x=log75，用含x的式子表示log7625，则log7625=________．5.函数y=x(4-x)的最大值为________．6.若函数f(x)=23x+1-a是奇函数，则实数a的值为________．7.若不等式x2-mx+n<0(m, n∈R)的解集为(2, 3)，则m-n=________．8.设α:0≤x≤1，β:m≤x≤2m+5，若α是β的充分条件，则实数m的取值范围是________．9.设a，b均为正数，则函数f(x)=(a2+b2)x+ab的零点的最小值为________．10.给出下列命题：①直线x=a与函数y=f(x)的图象至少有两个公共点；②函数y=x-2在(0, +∞)上是单调递减函数；③幂函数的图象一定经过坐标原点；④函数f(x)=ax-2(a>0, a≠1)的图象恒过定点(2, 1)．⑤设函数y=f(x)存在反函数，且y=f(x)的图象过点(1, 2)，则函数y=f-1(x)-1的图象一定过点(2, 0)．其中，真命题的序号为________．11.设函数f(x)(x∈R)满足|f(x)+(1-x21+x2)2|≤13，且|f(x)-(2x1+x2)2|≤23．则f(0)=________．12.若F(x)=a⋅f(x)g(x)+b•[f(x)+g(x)]+c（a，b，c均为常数），则称F(x)是由函数f(x)与函数g(x)所确定的“a→b→c”型函数．设函数f1(x)=x+1与函数f2(x)=x2-3x+6，若f(x)是由函数f1-1(x)+1与函数f2(x)所确定的“1→0→5”型函数，且实数m，n满足f(m)=12f(n)=6，则m+n的值为________．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．)13.“a>1”是“a>0”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.函数y=x+4x(x>0)的递减区间为 （）A.(0, 4]B.[2, 4]C.[2, +∞)D.(0, 2]试卷第7页，总7页 15.如图为函数f(x)=t+logax的图象（a，t均为实常数），则下列结论正确的是 （）A.0<a<1，t<0B.0<a<1，t>0C.a>1，t<0D.a>1，t>016.设g(x)=|f(x+2m)-x|，f(t)为不超过实数t的最大整数，若函数g(x)存在最大值，则正实数m的最小值为 （）A.116B.112C.18D.14三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．)17.解不等式组：x2+3x-10<0x+1x>1．18.某“农家乐”接待中心有客房200间，每间日租金为40元，每天都客满．根据实际需要，该中心需提高租金．如果每间客房日租金每增加4元，客房出租就会减少10间．（不考虑其他因素）（1）设每间客房日租金提高4x元(x∈N+, x<20)，记该中心客房的日租金总收入为y，试用x表示y；（2）在（1）的条件下，每间客房日租金为多少时，该中心客房的日租金总收入最高？19.已知f(x)=|x+a|(a>-2)的图象过点(2, 1)．（1）求实数a的值；（2）如图所示的平面直角坐标系中，每一个小方格的边长均为1．试在该坐标系中作出函数y=f(x-a)+af(x)的简图，并写出（不需要证明）它的定义域、值域、奇偶性、单调区间．20.设函数f(x)=logm(1+mx)-logm(1-mx)(m>0，且m≠1)．（1）判断f(x)的奇偶性；试卷第7页，总7页 （2）当m=2时，解方程f(6x)=1；（3）如果f(u)=u-1，那么，函数g(x)=x2-ux的图象是否总在函数h(x)=ux-1的图象的上方？请说明理由．21.对于四个正数x，y，z，w，如果xw<yz，那么称(x, y)是(z, w)的“下位序对”．（1）对于2，3，7，11，试求(2, 7)的“下位序对”；（2）设a，b，c，d均为正数，且(a, b)是(c, d)的“下位序对”，试判断cd，ab，a+cb+d之间的大小关系；（3）设正整数n满足条件：对集合{t|0<t<2014}内的每个m∈N+，总存在k∈N+，使得(m, 2014)是(k, n)的“下位序对”，且(k, n)是(m+1, 2015)的“下位序对”．求正整数n的最小值．试卷第7页，总7页 参考答案与试题解析2014-2015学年上海市宝山区高一（上）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1.(1, +∞)2.{x|x<1}3.(2, +∞)4.4x5.26.17.-18.[-2, 0]9.-1210.②④⑤11.-2312.2二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．13.A14.D15.C16.D三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17.解：原不等式组可化为(x+5)(x-2)<01x>0，解得-5<x<2x>0，从而有0<x<2，所以，原不等式的解集为(0, 2)．18.若每间客房日租金提高4x元，则将有10x间客房空出，故该中心客房的日租金总收入为y＝(40+4x)(200-10x)＝40(10+x)(20-x)，（这里x∈N⋅且x<20）．∵y＝40(10+x)(20-x)≤40（(10+x+20-x2)2=40×225＝9000，当且仅当10+x＝20-x，即x＝5时，y的最大值为9000，即每间客房日租金为40+4×5＝60（元）时，该中心客房的日租金总收入最高，其值为9000元．19.解：（1）依题意得f(2)=1，即|2+a|=1，∵试卷第7页，总7页 a>-2，∴2+a=1，解得a=-1，（2）由（1）可得f(x)=|x-1|，故y=f(x-a)+af(x)=|x|-1|x-1|，即y=1+2x-1，x<0-1,0≤x<11,x>1． 定义域：(-∞, -1)∪(1, +∞)，值  域：[-1, 1]，奇偶性：非奇非偶函数，单调（递减）区间：(-∞, 0]．20.解：（1）函数f(x)的定义域为(-1m, 1m)，关于原点对称；又f(-x)=logm(1-mx)-logm(1+mx)-f(x)，即f(-x)=-f(x)，故f(x)为定义域(-1m, 1m)上的奇函数．（2）当m=2时，f(x)=log2(1+2x)-log2(1-2x)，由f(6x)=1得log2(1+2⋅6x)-log2(1-2⋅6x)=1，去对数得1+2⋅6x=2(1-2⋅6x)，解得6x=16，从而x=-1．经检验，x=-1为原方程的解．（3）方法一：注意到f(x)的定义域为(-1m, 1m)．若m>1，则-1m<u<1m，即u2<1；若0<m<1，则考虑函数F(x)=f(x)-x+1．因logm(1+mx)在(-1m, 1m)上递减，而logm(1-mx)在(-1m, 1m)上递增，故f(x)在(-1m, 1m)上递减，又-x在(-1m, 1m)上递减，所以F(x)在(-1m, 1m)上也递减；注意到F(0)=1>0，F(1)=f(1)<0，所以函数F(x)在(0, 1)上存在唯一零点，即满足f(u)=u-1的u∈(0, 1)（且u唯一），故u2<1．综上所述，u2<1．于是g(x)-h(x)=(x2-ux)-(ux-1)=(x-u)2+1-u2≥1-u2>0，即g(x)-h(x)>0，即对于任一x∈R，均有g(x)>h(x)，故函数g(x)=x2-ux的图象总在函数h(x)=ux-1图象的上方．方法二：注意到f(x)的定义域为(-1m, 1m)．若m>1，则-1m<u<1m，即u2<1；若0<m<1，设函数G(x)=1+mx1-mx-mx-1=21-mx-mx-1-1，注意到21-mx在(-1m, 1m)上递增，mx-1在(-1m, 1m)试卷第7页，总7页 上递减，故G(x)在(-1m, 1m)上递增，又G(0)=1-1m<0，G(1)=1+m1-m-1>0，所以函数G(x)在(0, 1)上存在唯一零点，又G(x)=0，即f(x)=x-1，于是，满足f(u)=u-1的u∈(0, 1)（且u唯一），故u2<1．综上所述，u2<1．于是g(x)-h(x)=(x2-ux)-(ux-1)=(x-u)2+1-u2≥1-u2>0，即g(x)-h(x)>0，即对于任一x∈R，均有g(x)>h(x)，故函数g(x)=x2-ux的图象总在函数h(x)=ux-1图象的上方．21.解：（1）∵3×7<11×2，∴(2, 7)的下位序对是(3, 11)．（2）∵(a, b)是(c, d)的“下位序对”，∴ad<bc，∵a，b，c，d均为正数，故a+cb+d-ab=bc-ad(b+d)b>0，即a+cb+d-ab>0，所以a+cb+d>ab；同理a+cb+d<cd．综上所述，ab<a+cb+d<cd．（3）依题意，得mn<2014k(m+1)n>2015k，注意到m，n，l整数，故mn+1≤2014kmn+n-1≥2015k，于是2014(mn+n-1)≥2014×2015k≥2015(mn+1)，∴n≥40292014-m，该式对集合{t|0<t<2014}内的每个m∈N+的每个正整数m都成立∴n≥40292014-2013=4029，∵m2014<kn<m+12015，∴m2014<m+m+12014+2015<m+12015，∴m2014<2m+14029<m+12015，∴对集合{t|0<t<2014}试卷第7页，总7页 内的每个m∈N+，总存在k∈N+，使得(m, 2014)是(k, n)的“下位序对”，且(k, n)是(m+1, 2015)的“下位序对”．正整数n的最小值为4029试卷第7页，总7页