2019-2020学年上海市某校高一（上）期末数学试卷【含答案可编辑】

2019-2020学年上海市某校高一（上）期末数学试卷一.填空题)1.已知集合＝‴㈱㈱，＝ᦙ䁡ᦙ＝ᦙ㈱ᦙ，则＝________．2.写出命题“若，则”的否命题________．3.已知关于ᦙ的不等式ᦙᦙ൅的解集是㈱䁃，䁃，则的值为________．4.设函数ᦙ䁃的图象关于原点对称，且存在反函数‴ᦙ䁃．若已知䁛䁃，则‴䁃________．5.已知幂函数ᦙ䁃ᦙ的部分对应值如下表，则不等式䁡ᦙ䁡䁃的解集是________．ᦙ‴‴ᦙ‴䁃6.函数ᦙ䁃＝lnᦙᦙ的值域是________．ᦙ‴7.已知当ᦙ൅时，函数ᦙ䁃‴䁃൅，且䁃的值总大于‴，则函数ᦙᦙᦙ的单调增区间是________．8.乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：乔经理的采购价ᦙ（元/吨）与采购量ᦙ（吨）之间函数关系的图象如图中的折线段所示（不包含端点，但包含端点）．已知老陈种植水果的成本是的元/吨，那么乔经理的采购量为________吨时，老陈在这次买卖中所获的利润最大．9.已知且，则关于ᦙ的不等式的解集为________．10.已知函数ᦙ䁃的定义域为＝‴㈱㈱㈱䁛㈱㈱，值域为＝㘠㈱的㈱，且对任意的ᦙᦙ，恒有ᦙ䁃ᦙ䁃，则满足条件的不同函数共有________个．11.若不等式ᦙ䁡ᦙ͸䁡对于恒成立，则实数͸的取值范围是________．12.设、、是三个正实数，且＝，则的最大值为________．试卷第1页，总7页 二.选择题)13.设ᦙ䁡ᦙ‴㈱，ᦙ䁡ᦙ䁛㈱，则下列关系正确的是（）A.B.C.D.与没有公共元素14.函数ᦙᦙ‴ᦙ䁃的反函数是（）A.ᦙᦙ‴䁃ᦙ‴䁃B.ᦙᦙ‴䁃ᦙ‴䁃C.ᦙᦙ‴䁃ᦙ䁃D.ᦙᦙ‴䁃ᦙ䁃15.设函数ᦙ䁃的定义域为，有下列四个命题：（1）若存在常数，使得对任意ᦙ，有ᦙ䁃，则是函数ᦙ䁃的最大值；（2）若对任意ᦙ，有ᦙ䁃ᦙ䁃＝，则ᦙ䁃图象是中心对称图形，且对称中心为‴㈱‴䁃；（3）若对任意ᦙ，有ᦙ‴䁃ᦙ䁃＝，则ᦙ䁃图象是轴对称图形，且对称轴为ᦙ＝‴；（4）已知ᦙ＝ᦙ䁃是上的奇函数，则ᦙ䁃䁛ᦙ䁃＝；这些命题中，真命题的个数是（）A.‴个B.个C.个D.䁛个‴16.已知ᦙ䁃为奇函数，当ᦙ㈱‴时，ᦙ䁃‴䁡ᦙ䁡，当ᦙ㈱‴,ᦙ䁃‴‴ᦙ，若关于ᦙ的不等式ᦙ䁃൅ᦙ䁃有解，则实数的取值范围为（）A.‴㈱䁃㈱䁃B.㈱䁃㈱䁃‴‴C.㈱ln㈱‴㈱䁃D.㈱ln㈱㈱䁃三.解答题)17.解下列方程：（1）ᦙ＝ᦙ‴；（2）．18.设函数ᦙ䁃＝lgᦙ䁃的定义域为集合，函数的定义域为集合．求：（1）集合，；（2）集合，䁃．ᦙ‴19.已知函数ᦙ䁃＝log䁃‴൅㈱‴䁃的图象恒经过与无关的定点．（1）求点的坐标；（2）若偶函数ᦙ䁃ᦙᦙ，ᦙ‴㈱的图象过点，求、、的值．试卷第2页，总7页 20.已知䁃是定义在‴㈱‴上的奇函数．（1）求实数的值；（2）求证：ᦙ䁃在‴㈱‴上是单调递减函数；（3）若‴䁃䁃，求实数的取值范围．21.设ᦙ䁃是定义在㈱‴上的函数，若存在ᦙ㈱‴䁃使得ᦙ䁃在㈱ᦙ上单调递增，在ᦙ㈱‴上单调递减，则称ᦙ䁃为㈱‴上的单峰函数，ᦙ为峰点，包含峰点的区间为ᦙ䁃的含峰区间．（1）判断下列函数是否为㈱‴上的单峰函数：①，ᦙ㈱‴；②，ᦙ㈱‴；③，ᦙ㈱‴；④，ᦙ㈱‴；对任意的㈱‴上的单峰函数ᦙ䁃，下面研究缩短其含峰区间长度（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）；（2）证明：对任意的ᦙ‴，ᦙ㈱‴䁃，ᦙ‴ᦙ，若ᦙ‴䁃ᦙ䁃，则㈱ᦙ䁃为含峰区间，若ᦙ‴䁃ᦙ䁃，则ᦙ‴㈱‴䁃为含峰区间；（3）对给定的ݎ䁃，证明：存在ᦙ‴，ᦙ㈱‴䁃，满足ᦙᦙ‴，使得由（2）所确定的含峰区间的长度不大于ݎ．试卷第3页，总7页 参考答案与试题解析2019-2020学年上海市某校高一（上）期末数学试卷一.填空题1.㈱䁛㈱2.若，则3.4.䁛5.ᦙ䁡䁛ᦙ䁛6.㈱ln7.㈱‴䁃（或㈱‴䁃8.9.㈱䁃10.‴11.（）12.二.选择题13.B14.B15.若存在常数，使得对任意ᦙ，必须满足ᦙ䁃＝，则是函数ᦙ䁃的最大值．若对任意ᦙ，有ᦙ䁃ᦙ䁃䁛＝，整理得ᦙ䁃＝ᦙ䁃，‴䁃对称．若对任意ᦙ，有ᦙ‴䁃的ᦙ䁃＝，且对称轴为ᦙ＝；故正确A16.A三.解答题17.根据题意，ᦙ＝ᦙ‴，变形可得ᦙ䁃㘠＝的ᦙ，又由ᦙ൅，则䁛ᦙ＝，解可得：ᦙ＝的；试卷第4页，总7页 ，即log㘠ᦙ䁃logᦙ䁃＝的，变形可得：logᦙ䁃logᦙ䁃＝，解可得logᦙ＝‴或logᦙ＝-，则有ᦙ＝或．18.∵函数ᦙ䁃＝lgᦙ䁃的定义域为集合，∴，∵函数的定义域为集合．∴＝ᦙ䁡ᦙ‴或ᦙ的，∴＝ᦙ䁡‴ᦙ．∵，＝ᦙ䁡ᦙ‴或ᦙ的，∴＝ᦙ䁡ᦙ，＝ᦙ䁡ᦙ‴或ᦙ൅}，∴．ᦙ‴19.令‴，可得ᦙ‴，ᦙ‴，ᦙ‴可得函数ᦙ䁃＝log䁃‴൅㈱‴䁃的图象恒经过‴㈱‴䁃．∵ᦙ䁃ᦙᦙ，ᦙ‴㈱，是偶函数，∴ᦙ䁃ᦙ䁃，∴．且有‴，求得‴，故ᦙ䁃ᦙ‴．再根据它的图象经过定点‴㈱‴䁃，可得‴‴，∴．综上可得，，，‴．20.∵ᦙ䁃为定义在‴㈱‴上奇函数，∴䁃＝䁛＝，即＝‴，证明：由可得，ᦙ䁃＝，设‴ᦙ‴ᦙ‴，试卷第5页，总7页 则ᦙ‴䁃ᦙ䁛䁃＝，＝＝（）൅，∴ᦙ‴䁃൅ᦙ䁃，即ᦙ䁃在㈱‴上为单调递减函数，（1）∵ᦙ䁃为奇函数，∴‴䁃䁃等价于䁃‴䁃＝䁃，∵ᦙ䁃在‴㈱‴上为单调递减函数，∴‴䁛‴，解可得，．故不等式的解集䁡}21.根据单峰函数的定义可以判断，①在㈱ݎ䁃上单调递增，‴䁃上单调递减；②在㈱的ݎ䁃上单调递增，‴䁃上单调递减；③在䁛，）上单调递增，‴䁃上单调递减；④在㈱ݎ䁃上单调递减，‴䁃上单调递增；故①③是单峰函数；证明：设ᦙ为ᦙ䁃的峰点，则由单峰函数定义可知，ᦙ䁃在，在ᦙ．当ᦙ‴䁃ᦙ䁃时，假设ᦙ㈱ᦙ䁃，则ᦙ‴ᦙᦙ，从而ᦙ䁃ᦙ䁃൅ᦙ‴䁃，这与ᦙ䁃ᦙ䁃矛盾，所以ᦙ㈱ᦙ的䁃，即㈱ᦙ䁃是含峰区间．当ᦙ䁃ᦙ䁃时，假设ᦙᦙ‴㈱的䁃，则ᦙᦙ‴ᦙ，从而ᦙ䁃ᦙ的䁃൅ᦙ䁃，这与ᦙ‴䁃ᦙ䁃矛盾，所以ᦙᦙ‴㈱‴䁃，即ᦙ㈱‴䁃是含峰区间．证明：由（2）的结论可知：当ᦙ‴䁃ᦙ䁃时，含峰区间的长度为‴＝ᦙ；当ᦙ䁃ᦙ䁃时，含峰区间的长度为＝䁛ᦙ‴；对于上述两种情况，由题意得ᦙݎ‴ᦙݎ①由①得ᦙᦙ‴，即ᦙᦙ又因为ᦙᦙ，所以ᦙᦙ＝，②将②代入①得ᦙ‴的ݎ，ᦙ㘠ݎ，③由①和③解得ᦙ‴＝ݎ，ᦙ＝ݎ．试卷第6页，总7页 所以这时含峰区间的长度‴＝ݎ，即存在ᦙ‴，ᦙ㘠使得所确定的含峰区间的长度不大于ݎ．试卷第7页，总7页