2020-2021学年江苏省某校等四校高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省某校等四校高二（上）期中数学试卷一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.命题“，“的否定是（）A.，B.，C.，D.，2.现有这么一列数：，，，，___，，，…，按照规律，___中的数应为（）A.B.C.D.3.设等比数列的前项和为，若，䁕，则()A.B.C.D.4.设，则“‸”是“‸”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.等差数列的前项和为，若，䁕䁕，则A.䁕B.C.䁕D.6.已知正数，满足＝，则的最小值是（）A.B.䁕C.D.7.过点且与有相同焦点的椭圆的方程是（）A.B.C.D.8.《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设＝，＝，则该图形可以完成的无字证明为（）试卷第1页，总8页 A.‸‸B.‸‸C.‸‸D.‸‸二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.)9.设‸‸，，则下列不等式中正确的是（）A.B.C.D.10.下列四个函数中，最小值为的是（）A.＝sin）B.＝ln‸C.D.＝11.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若＝，＝，则下列说法正确的是（）A.＝B.数列是等比数列C.＝D.数列lg是公差为的等差数列12.等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足＝，下列选项正确的是（）A.B.C.当＝时，最小D.‸时，的最小值为试卷第2页，总8页 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分)13.设，则函数＝的最大值为________．14.若关于的不等式‸的解集为，则＝________15.我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷气晷ǐ长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为䁕尺，这十二节气的所有日影子长之和为尺，则立冬的日影子长为________尺．16.若数列满足＝（，为常数），则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且＝，则的最大值是________．四.解答题：本大题共6题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）)17.已知ǣ，ǣ‸，若是的充分条件，求实数的取值范围．18.在等差数列中，已知＝，＝．（1）求数列的通项公式；（2）若______，求数列的前项和．在①，②这两个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．19.已知函数．（1）解关于的不等式；（2）当时，不等式‸在上恒成立，求实数的取值范围．20.椭圆：＝‸‸的左焦点为，右焦点为，焦距为，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为．试卷第3页，总8页 （1）求椭圆的方程；（2）若轴，求的面积．21.如图所示，为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，要求䁕，的长度大于米，且比长米，为了稳固广告牌，要求越短越好，设‸，ൌൌ‸．（1）求ൌ关于的表达式；（2）当为何值时，最短并求最短值．22.设数列的前项和为，已知＝，＝，．（1）证明：为等比数列，求出的通项公式；（2）若＝，求的前项和；（3）在（2）的条件下判断是否存在正整数使得＝成立？若存在，求出所有值；若不存在，说明理由．试卷第4页，总8页 参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省某校等四校高二（上）期中数学试卷一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B2.D3.C4.A5.B6.A7.C8.D二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.A,B,C10.A,D11.A,B,C12.B,D三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.14.15.16.四.解答题：本大题共6题，第17题10分，第18-22题每题12分，共70分）17.解：由题意得，或‸，因为是的充分条件，所以，所以‸或，解得‸䁕或，故实数的取值范围是䁕．18.设等差数列的公差为，由题意得，，解得，∴＝＝；试卷第5页，总8页 选条件①：∵，∴．选条件②：∵＝，，∴，当为偶数时，；当为奇数时，为偶数，，∴．19.∵，∴，①当时，，②当时，，∴⌀，③当‸时，，综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为⌀，当‸时，不等式的解集为．当时，‸化为‸，∴对一切恒成立，∴min，设气＝，令ൌ＝，∴＝ൌൌൌ‸为递增函数，∴，，∴．20.由题意的周长为，可知，试卷第6页，总8页 所以＝，由焦距为，所以＝＝＝，所以椭圆的方程为．设直线的方程为＝，由，＝＝，解得＝，＝-，所以＝䁕＝．21.由题意得ൌ，在中，由余弦定理得cos䁕，即ൌൌൌ，化简并整理得ൌ‸．ൌ，当且仅当即时，等号成立，所以当时，ൌ取最小值，答：当米时，最短，最短值米．22.证明：∵＝，∴＝，又∵＝䁕＝，∴＝，∴，∴数列为首项、公比均为的等比数列，∴，即，试卷第7页，总8页 又∵，∴当时，，又当＝时，＝也满足此式，∴；∵，∴，又，两式相减得：，∴；假设存在，由（2）可得：，整理得：䁕＝，∴＝䁕，即，令，则，∴，∴在单调递减，又，∴当‸，，∴不存在正整数使得成立．试卷第8页，总8页