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2020-2021学年天津市某校等八校高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年天津市某校等八校高三(上)期中数学试卷
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2020-2021学年天津市某校等八校高三(上)期中数学试卷一、选择题(本题共9小题,每题5分,共45分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的))1.已知集合e耀ƎologƎ香䁕,e耀ƎoƎ香,则()A.e耀ƎoƎ香B.e䁧C.e耀ƎoƎ香D.e2.已知向量eƎ,e,则的充要条件是()A.ƎeB.Ǝ=C.Ǝ=D.Ǝ=䁕3.在䁨中,是䁨的中点.若e,䁨e,则eA.B.C.D.4.已知elog,e䁕䁞,e䁞,则()A.൏൏B.൏൏C.൏൏D.൏൏5.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱柱)的高为,这个球的表面积为,则这个正四棱柱的体积为A.B.C.D.Ǝ6.已知Ǝ香䁕,香䁕,若香恒成立,则实数的取值范围是()ƎA.或B.或C.൏൏D.൏൏7.设Ǝ为定义在R上的奇函数,当Ǝ䁕时,ƎelogƎƎ(为常数),则不等式Ǝ香的解集为()A.B.C.D.8.将函数ƎesinƎ的图象先向右平移个单位,再把所得函数图象横坐标变为原来的香䁕,纵坐标不变,得到函数Ǝ的图象,若函数Ǝ在上没有零点,则的取值范围是()A.䁕B.䁕C.䁕D.䁕lnƎƎ香9.已知定义在䁧上的函数Ǝe,若函数Ǝ=ƎƎ恰有个oƎƎoƎ零点,则实数的取值范围是()A.耀䁕B.耀䁕C.耀䁕D.耀䁕试卷第1页,总7页,二、填空题(本题6小题,每题5分,共30分,双空题答对一个空得3分))Ǝ,Ǝ10.设函数Ǝe,则e________.logƎ,Ǝ香11.设曲线eƎlnƎ在点䁕䁕处的切线方程为Ǝe䁕,则e________.12.底面边长和高都为的正四棱锥的表面积为________.13.设䁨的内角,,䁨所对的边分别为,,.若sincosesin䁨,则䁨的形状为________.14.已知,均为正实数,且e,则的最小值为________,此时的值为________.15.如图,在平面四边形䁨中,䁨,䁨,e䁕,ee.若点为边䁨上的动点,则的最小值为________.三、解答题(本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤))16.已知函数Ǝe,其中ecosƎsinƎ,ecosƎ,Ǝ䁧.(1)求函数eƎ的单调递减区间;(2)在䁨中,角、、䁨所对的边分别为、、,e,e且向量esin与esin䁨共线,求边长和的值.17.(文科)设数列耀的前项和为e,耀为等比数列,且e,e(1)求数列耀和耀的通项公式;(2)设耀e,求数列耀的前项和.18.如图,在四棱锥䁨中,平面䁨,底面䁨是直角梯形,其中䁨,,=e䁨=,=,为棱䁨上的点,且e䁨.Ⅰ求证:平面䁨;试卷第2页,总7页,Ⅱ求二面角䁨的余弦值;Ⅲ设为棱䁨上的点(不与䁨、重合),且直线与平面䁨所成角的正弦值䁨为,求的值.䁨19.已知数列耀的前项和为,e,,e,设e.Ⅰ证明:耀是等比数列;Ⅱ设e,求耀的前项和,若对于任意,恒成立,求的取值范围.20.已知函数ƎeƎlnƎƎ,䁧.(1)当时Ǝ香䁕,若关于Ǝ的不等式Ǝ䁕恒成立,求的取值范围;Ǝ(2)当Ǝ时,证明:൏lnƎ൏ƎƎ.Ǝ试卷第3页,总7页,参考答案与试题解析2020-2021学年天津市某校等八校高三(上)期中数学试卷一、选择题(本题共9小题,每题5分,共45分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1.A2.D3.B4.B5.B6.D7.D8.C9.B二、填空题(本题6小题,每题5分,共30分,双空题答对一个空得3分)10.11.12.13.等腰三角形14.,15.三、解答题(本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.由已知得到ƎeecosƎsinƎecosƎsinƎecosƎ,所以令Ǝ,解得Ǝ,函数eƎ的单调递减区间;e,得到e,所以cosee,①又e且向量esin与esin䁨共线,得到sin䁨esin,由正弦定理得到e,②由①②解得e,e.17.解:(1)∵数列耀的前项和为e,∴当e时,ee,当时,eee,当e时,上式成立,∴e.∵耀为等比数列,且e,e,e∴,解得e,e,e试卷第4页,总7页,∴ee,∴e.(2)由(1)可得,eee,∴e䁞䁞䁞,①则e䁞䁞䁞,②由①-②得,e䁞䁞䁞ee,∴e.18.证明:Ⅰ以为坐标原点,为Ǝ轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,䁕䁕䁕,䁕䁕,䁨䁕,䁕䁕,䁕䁕,䁕,e䁕,䁨e䁕,e䁕䁕,∵䁨e䁕,e䁕,∴䁨,,∵䁨=,∴平面䁨.(2)由Ⅰ知平面䁨的法向量e䁕,设平面䁨的法向量eƎ,∵e䁕,䁨e,ee䁕∴,取=,得e,䁨eƎe䁕∴cos൏香ee,oooo∴二面角䁨的余弦值为.䁨Ⅲ设e䁕൏൏,即䁨e䁨e,䁨∴=,∴e,∵直线与平面䁨所成角的正弦值为,oo∴ocos൏,香oee,oooo䁨解得e,∴e.䁨试卷第5页,总7页,19.(1)证明:=,,=,当e时,ee,e,当,时,e,e䁕,相减可得e,即e,即=,又==,可得耀是首项e,公比为的等比数列;(2)由(1)知=,即=,所以==e,=,∴=,当为偶数时,=是递减的,此时当e时,取最大值,则.当为奇数时,=是递增的,此时൏,则.综上,的取值范围是.20.由Ǝ䁕,得ƎlnƎƎ䁕Ǝ香䁕.整理,得lnƎ恒成立,即lnƎmin.ƎƎƎ令Ǝ=lnƎ.则̵Ǝ==.ƎƎƎƎ∴函数Ǝ在䁕上单调递减,在上单调递增.试卷第6页,总7页,∴函数Ǝ=lnƎ的最小值为Ǝe.∴,即.∴的取值范围是.Ǝ证明:(1)由(2),当e时,有ƎlnƎƎ,即lnƎ.ƎƎƎƎ要证൏lnƎ,可证൏,Ǝ香,ƎƎƎ即证൏,Ǝ香.ƎƎ构造函数ƎeƎƎƎ.则̵ƎeƎ.∵当Ǝ香时,̵Ǝ香䁕.∴Ǝ在上单调递增.Ǝ∴Ǝ香e䁕在上成立,即香Ǝ,证得൏.ƎƎƎ∴当Ǝ时,൏lnƎ成立.Ǝ构造函数ƎelnƎƎƎƎ.ƎƎƎƎ则̵Ǝ=Ǝee.ƎƎƎ∵当Ǝ香时,̵Ǝ൏䁕,∴Ǝ在上单调递减.∴Ǝ൏e䁕,即lnƎƎƎ൏䁕Ǝ香.∴当Ǝ时,lnƎ൏ƎƎ成立.Ǝ综上,当Ǝ时,有൏lnƎ൏ƎƎ.Ǝ试卷第7页,总7页
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高中 - 数学
发布时间:2021-09-05 20:46:16
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