2020-2021学年天津市某校高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年天津市某校高二（上）期中数学试卷一、选择：40分)1.已知直线在轴上的截距是，在轴上的截距是，则直线的方程是（）A.ݕݕ.Dݕݕ.Cݕݕ.Bݕݕ2.已知直线香香ݕ：线直与ݕ互相平行，则实数香的值为（）A.B.ݕC.D.香香香香3.“ㄲ”是“椭圆＝的离心率为”的（）香A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.过点ݕ香香香圆作ݕ的切线，则切线方程为（）A.B.C.香D.香香香5.已知为椭圆香香ݕ上一点，，香分别为的左、右焦点，且香，若tan香＝，则的离心率为（）香香香香香A.B.C.D.ㄲ6.在空间直角坐标系中，四面体r푈的顶点坐标分别是ݕݕ香，r香香ݕ，香，푈香香香．则点r到面푈的距离是（）香香香香A.B.C.D.7.已知圆香香香平分圆香香香的周长，则的值是（）A.ݕB.C.D.香香8.已知圆：香香香香，若直线香ʹ上存在点，使得过点的圆的两条切线互相垂直，则实数ʹ的取值范围是（）香香A.ʹB.ʹ或ʹݕʹ或ʹ.Dʹ.Cݕㄲㄲ二、填空题：24分)9.直线ʹ＝ʹ，当ʹ变动时，所有直线都通过定点________10.在正四面体r中，是上的点，且香，是r的中点，若r．则的值为________．香香11.若椭圆＝的右焦点为，且与直线香＝ݕ交于，两点，ㄲ则的周长为________．12.设圆香香香ݕ，定点，若圆上存在两点到的距离为香，试卷第1页，总6页,则的取值范围________．13.光线沿直线ݕ香香线直到射入ݕ后反射，则反射光线所在直线的方程为________．14.在直角坐标系中，已知圆香香ㄲ香香ㄲݕ，直线经过点香，若对任意的实数，直线被圆截得弦长为定值，则直线方程为________．三、解答题：36分)15.已知在四棱锥r푈中，底面r푈是边长为的正方形，푈是正三角形，푈平面푈，，，，分别是，푈，r，푈的中点．Ⅰ求证：平面r푈；Ⅱ求平面与平面r푈所成锐二面角的大小；Ⅲ线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由．香香16.已知椭圆＝ݕ＝线直，ݕ经过椭圆的上顶点和右香香焦点．（1）求椭圆的方程；香（2）过右焦点香的直线与椭圆相交于，r两点．若r的面积为，求直线的方程．17.在平面直角坐标系中，已知以点香ݕ为圆心的圆过原点．不香过圆心的直线香ݕ与圆交于，两点，且点为线段的中点．（1）求的值和圆的方程；（2）若是直线香上的动点，直线，r分别切圆于，r两点，求证：直线r恒过定点；（3）若过点ݕݕ댳的直线与圆交于푈，两点，对于每一个确定的，当푈的面积最大时，记直线的斜率的平方为，试用含的代数表示，并求的最大值．试卷第2页，总6页,参考答案与试题解析2020-2021学年天津市某校高二（上）期中数学试卷一、选择：40分1.C2.B3.A4.A5.A6.A7.B8.D二、填空题：24分9.10.11.ㄲ香12.13.香ݕ14.香ݕ三、解答题：36分15.（1）证明：因为푈是正三角形，是푈的中点，所以푈．又因为푈平面푈，平面푈，所以푈，푈푈＝푈，푈，푈平面r푈，所以面r푈；（2）如图，以点为原点分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．则ݕݕݕݕݕݕ香푈ݕ香ݕ香rݕݕ香ݕݕݕ香，香ݕ香ݕ，ݕ香，设平面的法向量为，ݕ香ݕ由，得香ݕݕ令＝，则ݕ，又平面r푈的法向量ݕݕ，设平面与平面r푈所成锐二面角为，所以cos．香所以平面与平面r푈所成锐二面角为；Ⅲ假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，试卷第3页，总6页,设ݕ，由，所以香香．所以sincos댳，香香整理得香香香＝ݕ，无解，所以，不存在这样的点．16.由椭圆的方程可得焦点在轴上，直线＝ݕ令中ݕ，可得；令ݕ，则，而直线＝ݕ经过椭圆的上顶点和右焦点，所以，，可得香香香，香所以椭圆的方程为：香；由（1）可得右焦点香ݕ为不率斜的线直然显，ݕ，设直线的方程为，，r香香，＝联立直线与椭圆的方程，整理可得：香香香ݕ，香香＝香可得香香，香香，所以r香香香香香香香香香香香香香香香香香香香香香由题意可得香，香试卷第4页，总6页,香整理可得：香ݕ，解得或，香所以直线的方程为：或．香香17.根据直线与垂直，计算的斜率为ʹ香，香即香香ݕ得解，ݕ．所以圆心的坐标为ݕ，半径为，香又点在直线香ݕ上，所以ݕ，解得香．所以香，圆的方程为香香；证明：设香，则的中点坐标为，香香香香香以为直径的圆的方程为，香香即香香香ݕ．香香＝联立，香香香＝ݕ可得r所在直线方程为：香ݕ；香所以直线r恒过定点ݕ．由题意可设直线的方程为ʹ，r的面积为，则rsinrsinr，香香∴当sinr最大时，取得最大值．香要使sinr，只需点到直线的距离等于，香香香即，ʹ香香香香香整理得：ʹ香ݕ，解得．香香香香香①当ݕ时，sinr最大值是，此时ʹ香，即香香．香②当时，r．香香∵sin是上的减函数，∴当r最小时，sinr最大．香过作푈r于푈，则푈r，∴当푈最大时，r最小．香푈∵sin푈，且푈ݕ，香∴当푈最大时，sin푈取得最大值，即푈最大．∵푈，∴当时，푈取得最大值．试卷第5页，总6页,∴当r的面积最大时，直线的斜率ʹݕ∴，ݕ．香香香，ݕ香综上所述，．香ݕ，香试卷第6页，总6页