2020-2021学年浙江省某校高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年浙江省某校高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分.)1.直线ୀ޴ʃ偠＝在ୀ轴上的截距是（）A.偠B.޴偠C.D.2.设直线偠݇ୀ޴ʃ偠＝，ୀ޴݇ʃ偠＝，若偠，则݇＝（）A.޴偠B.偠C.偠D.3.对于平面和共面的直线，，下列命题是真命题的是（）A.若，与所成的角相等，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则4.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，以过的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.偠5.把边长为偠的正方形正方形沿对角线正形折起，使得平面正形平面方正形，形成三棱锥方޴正形的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为偠偠A.B.C.D.6.已知两个不相等的实数，满足以下关系式：sinʃcos޴＝，sinʃcos޴＝，则连接，正两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.相切或相交7.如图，在正三棱柱正方޴偠正偠方偠中，已知正＝偠，形在棱正正偠上，且正形＝偠，则试卷第1页，总10页,形与平面偠方偠方所成角的正弦值为（）A.B.C.D.8.已知，正ʃ，直线上存在唯一一点，使得正＝，则的值为（）A.޴B.޴或C.或޴D.޴9.已知三条射线、正、方两两所成的角都是，点在上，点在正方内运动，且＝＝，则点的轨迹长度为（）A.B.C.D.10.已知边长为的正四面体正方形的四个顶点均在平面的同侧，且分别记，正、方、形到平面的距离为，正，方，形，若＝偠，正＝，方＝，则形＝（）A.ʃB.ʃC.ʃD.ʃ二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分.)11.已知圆方的圆心坐标为，半径为．若直线ୀ޴޴＝与圆方相切于点޴偠޴，则＝________，＝________．12.如图，在四面体正方形中，正＝方形，、、、分别是正方、形、方、正形的中点，则与所成角为________，若正与方形所成角为，则和方形所成的角的大小为________．13.已知正方的顶点的坐标为޴偠޴偠，形为其角平分线，点偠在边正上，关于点的对称点在形上，则点的坐标为________，方所在直线的方程为________．14.如果圆ୀ޴ʃ޴＝偠i上总存在点到原点的距离为，则实数的试卷第2页，总10页,取值范围为________．15.平行四边形正方形中，正i形，将三角形正形沿着正形翻折至三角形正形，则下列直线中有可能与直线正垂直的是________（填所有符合条件的序号）．①直线正方；②直线方形；③直线正形；④直线方．16.已知四棱锥޴正方形的底面正方形是边长为的正方形，形平面正方形，形＝，为棱形上一点，且形＝，过正作平面分别与线段，方交于点，，且方，则＝________，四边形正的面积为________．17.平面直角坐标系ୀ中，已知圆方：ୀ޴偠ʃ＝偠，点为直线＝ୀʃ上的动点，以方为直径的圆交圆方于，正两点，点在方上且满足正，则点的轨迹方程是________．三、解答题：5小题，共74分.)18.如图，已知点，正，直线过原点，且，正两点位于直线的两侧，过，正作直线的垂线，分别交于方，形两点．（1）当方、形重合时，求直线的方程；（2）当时，求线段方形的长度．19.如图，在四棱锥޴正方形中，底面正方形为正方形，平面正底面正方形，正＝．（1）求证：平面形平面正；试卷第3页，总10页,（2）在棱形上求作一点，使得方形，并说明理由．20.如图，正三棱柱正方޴偠正偠方偠的底面边长为，高为，过正的截面与上底面交于，且点在棱偠方偠上，点在棱正偠方偠上．（1）证明：偠正偠；（2）当点为棱偠方偠的中点时，求四棱锥方޴正的体积．21.已知在平面直角坐标系ୀ中，圆ୀʃ＝偠与轴交于方，形两点，点在第一象限且为圆外一点，直线方，形分别交圆于点，正，交ୀ轴于点，．（1）若直线正形的倾斜角为，方＝偠，求点的坐标；（2）过作圆的两条切线分别交ୀ轴于点，，试问是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．22.已知四棱锥޴正方形中，底面正方形为梯形，正方形，方形＝正＝，tan正形＝tan正方形＝，＝，方＝，方形＝．（1）若为方的中点，求证：正平面形；（2）求二面角正޴方޴形的正弦值．试卷第4页，总10页,参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省某校高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分.1.C2.D3.D4.A5.B6.C7.A8.B9.C10.A二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分.11.޴,12.,偠或13.,ୀ޴ʃ偠＝14.[，]15.①②16.,17.三、解答题：5小题，共74分.18.当方、形重合时，直线与正垂直，∵，∴݇＝޴，∴的方程为＝޴ୀ．在正形中，，在方中，，而，∴，试卷第5页，总10页,∴，∴，∴．19.证明：∵底面正方形为正方形，∴形正，∵平面正底面正方形，面正面正方形＝正，形面正方形，∴形面正，又形面形，∴平面形面正．当为形的中点时，方形．取正的中点，连结，形．∵正＝，∴正，∵平面正底面正方形，面正面正方形＝正，面正，∴面正方形，∴方．∵形方形，∴形＝形方，而，所以，即形方，∵形＝，∴方面形，∴方形．20.证明：∵正平面偠正偠方偠，正平面正，平面正平面偠正偠方偠＝，∴正（线面平行性质定理）．又∵偠正偠正，∴偠正偠．连接正，四棱锥方޴正可视为三棱锥方޴正和方޴正组合而成，三棱锥方޴正可视为޴正方，底面积，高为，设方޴正＝偠，体积为．三棱锥方޴正与方޴正等高，体积比为底面积之比，设方޴正＝，则偠＝正正＝正＝偠，故，试卷第6页，总10页,因此，，即为所求．21.如图易知方为正三角形，取方中点，连接，则方，可得＝偠，即，∴，则直线方的方程为：；由题易知直线正形：，联立，解得：；依题意设ୀୀii，设ୀ轴上一点ୀୀୀ，且直线与圆ୀʃ＝偠相切，偠偠则直线方程为：ୀʃୀ偠޴ୀ޴ୀ偠＝，则原点到直线的距离：＝，化简得：．∴ୀ，ୀ分别是方程的两个根，得，，由题意得，直线方方程为：，则，直线形方程为：，则．∴޴＝ୀ޴ୀ޴ୀ޴ୀ＝ୀʃୀ޴ୀʃୀ＝试卷第7页，总10页,．即＝，∴．22.证明：取形中点，连接，∵为方的中点，∴方形，＝，∵正方形，方形＝正＝，∴正，＝正，∴四边形正是平行四边形，∴正，∵平面形，正平面形，∴正平面形．取方形中点，连结正，∵正方形，方形＝正＝，∴正形，正＝形＝偠，∴四边形正形为平行四边形，∴正形＝正形，∵tan正形＝tan正方形＝，∴sin正形＝，cos正形＝，cos正方形＝，试卷第8页，总10页,∴sin正形＝，cos正形＝，∵方正＝正形޴正方形，∴sin方正＝sin正形cos正方形޴cos正形sin正方形＝，在正方中，由正弦定理得，＝，即＝，解得正＝，在正方中，由余弦定理知＝正ʃ方޴正方cos正方＝正ʃ方ʃ正方cos正形，∴正方＝偠ʃ偠ʃ偠，∴正方＝，在正形中，由余弦定理知＝正ʃ形޴正形cos正形，∴正形＝偠ʃ偠޴＝，∴正形ʃ方形＝正方，即正形方形．在方形中，由余弦定理知＝方ʃ方形޴方方形cos方形，∴形＝偠ʃ޴＝偠，∴形ʃ方形＝方，即形方形，∵形正形＝形，形，∴方形平面正形，故以形为原点，形正、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，޴偠，方，，正，，设，形＝得，，＝，∴，，），∴＝޴，，），，，），＝，，设平面正方的一个法向量为＝ୀ，，则，即试卷第9页，总10页,，令＝偠，则ୀ＝，∴＝（，，同理可得，平面方形的一个法向量为，，޴，∴cos，i＝＝＝，∴二面角正޴方޴形的正弦值为．试卷第10页，总10页