2020-2021学年浙江省宁波市某校高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年浙江省宁波市某校高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)1.直线ℓ与平面不平行，则（）A.ℓ与相交B.ℓC.ℓ与相交或ℓD.以上结论都不对2.已知，，是三条直线，，，是三个平面，下列命题正确的是（）A.若，，，则B.若′，′，则C.若，′，则′D.若，，则3.椭圆的一个顶点与其两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.4.椭圆的一个焦点是㌠㌶，那么等于（）A.B.C.D.5.在正四棱柱ܤܥܤܥ中，＝，ܤ＝，点，分别为棱ܤܤ，上两点，且ܤܤܤ，，则（）A.ܥ，且直线ܥ，异面B.ܥ，且直线ܥ，相交C.ܥ＝，且直线ܥ，异面D.ܥ＝，且直线ܥ，相交6.已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，点㌠㌶，当周长最大时，直线的方程为（）A.B.C.D.7.在四面体ܤܥ中，ܥ′底面ܤ，，ܤ，且ܤ㌠，ܥ，若该四面体ܤܥ的顶点均在球的表面上，则球的表面积是（）A.B.C.D.8.把平面图形上的所有点在一个平面上的射影构成的图形叫作图形在这个平面上的射影．如图，在长方体ܤܥെ中，ܤ＝，ܥ＝，＝，则ܤܥ在平面ܤ上的射影的面积是（）试卷第1页，总9页,A.B.C.㌠D.㌠9.如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点，交轴于点，若，是线段的三等分点，则的周长为A.㌠B.㌠C.D.10.如图，在长方形ܤܥ中，ܥܥ，现将ܥ沿折至ܥ，使得二面角ܥܤ为锐二面角，设直线ܥ与直线ܤ所成角的大小为，直线ܤܥ与平面ܤ所成角的大小为，二面角ܥܤ的大小为，则，，的大小关系是（）A.B.C.D.不能确定二、填空题：本大题共7小题，其中双空题每小题4分，单空题每小题4分，共25分．)11.已知椭圆的焦点在轴上，它的长轴长为，焦距为，则椭圆的短轴长为________，标准方程为________．12.一圆台的母线长为㌠，母线与轴的夹角为㌠，上底面半径为，则下底面半径为________，圆台的高为________．13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的底面的面积为________，体积为________．试卷第2页，总9页,14.已知直三棱柱ܤܤ中，ܤ㌠，ܤ，ܤ，则异面直线ܤ与ܤ所成角的正弦值为________．15.椭圆与直线㌠相交于，ܤ两点，是线段ܤ的中点，若ܤ＝，的斜率为，则________，离心率________．16.过椭圆：＝㌠的右焦点作轴的垂线，交椭圆于，ܤ两点，直线过的左焦点和上顶点，若以ܤ为直径的圆与存在公共点，则椭圆的离心率的取值范围是________．17.在四楼锥ܤܥ中，四边形ܤܥ是边长为的菱形，ܥܤ＝㌠，＝ܥ，ܥ＝㌠，平面ܥ′平面ܤܥ，点是ܤ内的一个动点（含边界），且满足ܥ′，则点所形成的轨迹长度是________．三、解答题：本大题共5小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)18.已知椭圆的中心在原点，左焦点为㌶㌠，且右顶点为ܥ㌶㌠．设点的坐标是㌶（1）求该椭圆的标准方程；（2）若是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．19.已知椭圆知及直线知，．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点；（2）若直线与椭圆交于，两点，且′，为坐标系原点，求直线的方程．20.如图所示，在直三棱柱ܤܤ中，ܤ是边长为的等边三角形，ܥ，分别为，ܤ的中点．试卷第3页，总9页,（1）证明：平面ܤܥ；（2）若，求ܥ与平面所成角的正弦值．21.如图所示，在多面体ܤܥ中，ܥܤ，′ܤ，平面ܥ′平面ܤ，ܤ，ܤܥ，ܥܥ，点为ܤ的中点．（1）证明：′平面ܤ；（2）若直线ܤ与平面ܤ所成的角为㌠，求平面ܥ与平面ܥ所成的锐二面角的正弦值．22.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为且过点．（1）求椭圆的方程；（2）已知ܤ是椭圆的内接三角形，①若点ܤ为椭圆的上顶点，原点为ܤ的垂心，求线段的长；②若原点为ܤ的重心，求原点到直线距离的最小值．试卷第4页，总9页,参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省宁波市某校高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.C2.C3.C4.B5.A6.D7.D8.A9.D10.B二、填空题：本大题共7小题，其中双空题每小题4分，单空题每小题4分，共25分．11.,12.,㌠13.,㌠14.㌠15.,16.㌠㌶17.三、解答题：本大题共5小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18.∵＝，，∴．∴椭圆的标准方程为：．设㌠㌶㌠，㌶，点的坐标是㌶，线段的中点，㌠由中点坐标公式，得，㌠㌠∴，又∵㌠，㌠㌠∴，即为中点的轨迹方程．试卷第5页，总9页,＝19.联立方程：，＝整理可得：㌠，令㌠㌠，即，解得，所以当㌶时，直线与椭圆有公共点；设㌶，㌶，＝则由根与系数的关系可得：，＝所以，由′可得：㌠，㌠即㌠，解得，㌠所以直线的方程为：．20.证明：以为原点，过在平面ܤ作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，㌠㌶㌠㌶㌠，ܤ㌶㌶㌠，㌠㌶㌶㌠，㌶㌶㌠，设䁕，ܥ㌠㌶㌠㌶䁕，㌠㌶㌶䁕，㌶㌶㌠，ܥܤ㌶㌶䁕，ܥ㌠㌶㌶䁕，设平面ܤܥ的法向量㌶㌶，则，取，则㌶㌶，ܥ＝䁕＝㌠䁕∵㌠，平面ܤܥ，∴平面ܤܥ．试卷第6页，总9页,，ܥ㌠㌶㌠㌶，ܥ㌶㌶，平面的法向量㌶㌠㌶㌠，设ܥ与平面所成角为，则ܥ与平面所成角的正弦值为：㌠sinܥ．㌠㌠21.证明：取中点，连接，，∵在ܥ中，ܥܥ，∴ܥ′，∴由平面ܥ′平面ܤ，且交线为，得ܥ′平面ܤ，∵，分别为，ܤ的中点，∴ܤ，且ܤ㌠，∵ܥܤ，ܤܥ，且ܥ，∴四边形ܥ是平行四边形，∴ܥ，∴′平面ܤ．∵ܥ′平面ܤ，′ܤ，∴以为原点，为轴，过作与ܤ平行的直线为轴，ܥ为轴，建立空间直角坐标系，则㌶㌠㌶㌠，㌶㌠㌶㌠，ܤ㌶㌶㌠，∵′平面ܤ，直线ܤ与平面ܤ所成的角为㌠，∴ܥܤtan㌠，∴ܥ㌠㌶㌠㌶，㌶㌶，ܥ㌶㌠㌶，㌠㌶㌶，设平面ܥ的法向量㌶㌶，则，取，得㌶㌶，＝＝㌠平面ܥ的法向量为㌠㌶㌶㌠，设平面ܥ与平面ܥ所成的锐二面角为，则cos，∴平面ܥ与平面ܥ所成的锐二面角的正弦值为sin．试卷第7页，总9页,22.由题意可知：，解得，∴椭圆的方程为：；①由题意知：ܤ′，故轴，，，，∴＝）＝＝㌠，解得：＝或-，又∵点ܤ与点不重合，∴，∴＝-，∴，∴＝＝；②设的中点为ܥ，直线ܥ与椭圆交于，∵原点为ܤ的重心，∴ܤ＝ܥ＝，㤵当直线的斜率不存在时，则到直线的距离为，㤵㤵当直线的斜率存在时，设直线的方程为：＝，，㌶，∵原点为ܤ的重心，∴ܤ＝，ܤ＝，又∵点与点ܤ关于原点对称，∴㌶，∴，∴＝，∴＝，∴㘠，联立方程，消去得：＝㌠，∴＝＝㌠，即，试卷第8页，总9页,且，，代入㘠式得：，∴＝，设原点到直线距离为，则＝＝＝，∴当＝㌠时，取得最小值，综上所求，原点到直线距离的最小值为．试卷第9页，总9页