2020-2021学年浙江省宁波市某校高一（上）期中数学试卷

2020-2021学年浙江省宁波市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若集合蛨ۍ앐ɼ蘀ڂ앐，蛨ۍ앐ɼ앐，则蛨䁧A.䁞B.䁞蘀C.䁞蘀D.䁧ڂ䁞蘀2.已知关于앐的不等式ڂ䁧为集解的洠ڂ蘀䁞，则的值为（）앐A.蛨ڂB.蛨ڂ蘀C.蛨蘀D.蛨ڂ앐3.函数䁧앐＝ڂ䁧洠䁞的图象可能是（）A.B.C.D.4.已知，，则是蘀蘀的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件앐蘀ڂ蘀앐5.记函数䁧앐＝在区间蘀䁞上的最大值和最小值分别为、，则앐ڂ蛨䁧蘀蘀A.B.C.D.蘀蘀蘀앐ڂڂ䁧洠，且的6.已知幂函数䁧앐＝䁧蘀ڂ앐的图象过函数䁧앐＝蘀图象所经过的定点，则的值等于（）蘀A.B.C.蘀D.蘀蘀蘀䁧ڂ앐䁞䁧앐൅，7.䁧앐蛨是定义在䁧ڂ䁞上是减函数，则的取值范ڂ앐䁞䁧앐，试卷第1页，总7页,围是䁧A.䁞B.䁞C.䁧䁞D.䁧ڂ䁞앐8.设函数䁧앐蛨䁧洠，且，记表示不超过的最大整数，例如ڂ앐Ǥ蛨ڂ䁧ڂ앐䁧数函么那．蘀蛨Ǥ蘀，蛨Ǥ，蘀ڂ앐的值域是（）蘀蘀A.ۍ.D䁞ڂۍ.C䁞䁞ڂۍ.B蘀䁞䁞ۍ䁞二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.)9.下列各式中一定成立的有（）蘀A.䁧＝B.䁧ڂ＝C.앐＝䁧앐D.＝10.若，，，则下列命题一定成立的是（）A.若蘀洠蘀，则洠B.若蘀洠蘀，则洠C.若蘀洠蘀，则洠D.若洠，则洠11.定义在上的奇函数䁧앐和偶函数䁧앐满足：䁧앐䁧앐蛨앐，下列结论正确的有（）앐ڂڂ앐A.䁧앐＝，且൅䁧൅䁧蘀蘀B.앐，总有䁧앐蘀ڂ䁧앐蘀蛨C.앐，总有䁧ڂ앐䁧ڂ앐䁧앐䁧앐蛨D.앐，使得䁧蘀앐洠蘀䁧앐䁧앐12.已知䁧앐是定义在上的奇函数，且当앐൅时，䁧앐蛨ڂ앐ڂ蘀앐ڂ蘀，则以下说法错误的有（）A.当앐洠时，䁧앐蛨앐蘀ڂ앐ڂ蘀B.函数䁧앐的单调递减区间是ڂ，蘀蘀C.䁧앐ڂ洠的解集为䁧ڂ䁞䁧䁞蘀䁧䁞D.䁧앐蛨有个解三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.)13.幂函数䁧앐的图象经过点䁧，，则䁧蛨________．试卷第2页，总7页,앐蘀ڂ앐ڂ14.函数䁧앐蛨䁧的递增区间是________．蘀蘀蘀蘀15.已知二次不等式앐蘀앐洠的解集ڂ앐ɼ앐ۍ，且洠，则的最小值ڂ为________．16.已知函数䁧앐的值域䁞䁧앐ڂ蘀䁞蘀，函数䁧앐蛨앐ڂ，앐ڂ蘀䁞蘀，앐ڂ蘀䁞蘀，总앐ڂ蘀䁞蘀，使得䁧앐蛨䁧앐成立，则实数的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)ڂ17.（1）计算：Ǥڂڂ䁧ڂ䁧；17.ڂ蘀蘀（2）若，䁧䁞，化简：蘀䁧．18.已知，命题앐䁞，使得䁧ڂ앐ڂ洠；命题앐，使得앐蘀앐洠．（1）写出命题的否定￢，并求￢为真时，实数的取值范围；（2）若命题，有且只有一个为真，求实数的取值范围．19.已知集合蛨ڂ앐ڂ蘀앐ɼ앐ۍ蛨合集，앐蘀앐ɼ앐ۍ䁧൅．（1）当蛨时，求集合；（2）若，求实数的取值范围．20.已知앐，且앐蛨．（1）求实数앐蘀蘀蘀앐的最小值；（2）求的取值范围；앐蘀（3）若对于任意的앐，，存在实数，，使得䁧ɼڂ蘀앐蘀ɼ蘀成立，求实数的取值范围．蘀앐21.已知函数䁧앐＝．蘀앐ڂ（1）判断函数䁧앐的奇偶性，并证明；（2）用单调性的定义证明：函数䁧앐在区间䁧䁞上单调递减；（3）求关于앐的不等式䁧앐蘀䁧蘀앐洠的解集．22.已知函数蛨䁧앐的定义域为，如果存在区间䁞，使得ۍɼ蛨䁧앐䁞앐䁞蛨䁞，则称区间䁞为函数蛨䁧앐的一个和谐区间．（1）直接写出函数䁧앐蛨앐的所有和谐区间；（2）若区间䁞是函数䁧앐蛨ɼ앐ڂ蘀ɼ的一个和谐区间，求实数的值；蘀试卷第3页，总7页,（3）若函数䁧앐蛨앐蘀ڂ蘀앐䁧存在和谐区间，求实数的取值范围．试卷第4页，总7页,参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省宁波市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D2.B3.D4.A5.C6.B7.A8.D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9.B,D10.B,C11.A,B,C12.A,B,D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.䁧ڂ䁞ڂ蘀15.蘀蘀16.䁧ڂ䁞ڂ，蘀蘀四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。ڂ䁧ڂ17.原式蛨ڂڂ蛨ڂ蘀ڂ蛨；蘀蘀ڂڂ蘀蘀原式蛨蘀蘀蛨蛨．18.￢앐䁧䁞使得䁧ڂ앐ڂ，即ڂ得，ڂ，앐解得蘀．命题：存在앐䁞使得䁧ڂ앐ڂ洠为真，则洠蘀；命题：对于앐使得앐蘀앐洠为真，则൅，得ڂ൅൅．若真假则有；假真则有ڂ൅蘀；综上，、有且只有一个为真时，的取值范围是ڂ൅蘀或．19.当蛨时，蛨ۍ앐ɼڂ൅앐൅，∴蛨ڂ앐ɼ앐ۍ蛨，앐或ڂ앐ɼ앐ۍ或앐；试卷第5页，总7页,蛨ڂڂ앐䁧앐䁧ɼ앐ۍ൅且，ڂڂڂ∴或，解得ڂ，ڂ∴实数的取值范围为ڂ䁞．蘀蘀蘀20.앐蛨，所以蛨ڂ앐，앐䁧䁞，앐蘀앐蛨䁧앐ڂ蘀，蘀蘀蘀当앐＝＝时，앐蘀앐取得最小值蘀，无最大值．蘀앐앐蘀＝䁧䁧앐蛨蘀蛨．当且仅当앐蛨，蛨时，앐앐앐앐取得最小值．的取值范围䁞．앐对于任意的앐，都有，且当앐时，，앐앐蘀蘀①当时，有䁧ɼڂ蘀ɼɼڂ蘀ɼ蘀，对于存在实앐蘀蘀蘀数，不等式成立，有蘀ɼڂ蘀ɼ蘀，即蘀蘀蘀，解得ڂ或，所以．蘀②当൅时，䁧ڂɼ蘀ڂɼ䁧以所，ڂ，对于任意的앐앐앐，，原不等式不可能恒成立，综上，所求所以实数的范围是䁞．21.函数䁧앐为奇函数，证明如下：䁧앐的定义域是，关于原点对称，ڂ앐앐蘀蘀앐蘀又䁧ڂ앐蛨蘀ڂ앐ڂ蛨蛨ڂ蘀앐蛨ڂ䁧앐，蘀앐ڂ故䁧앐在上是奇函数；设任意앐，앐蘀䁧䁞，且앐൅앐蘀，蘀앐蘀앐蘀蘀䁧蘀앐蘀ڂ蘀앐则䁧앐ڂ蘀앐蘀䁧ڂ앐蘀䁧蛨ڂ蘀앐蘀ڂڂ앐蘀蛨蘀앐䁧ڂ，∵൅앐൅앐，∴蘀앐蘀ڂ蘀앐蘀䁧ڂ앐蘀䁧，洠앐蘀ڂ洠，蘀故䁧앐ڂ䁧앐蘀洠，即䁧앐洠䁧앐蘀，䁧앐在䁧䁞递减；蘀앐蘀䁧앐＝＝蘀앐ڂ앐蘀ڂ由函数䁧앐为奇函数，且䁧앐蘀䁧蘀앐洠，得䁧앐蘀洠ڂ䁧蘀앐蛨䁧ڂ蘀앐，又由（2）知，当앐洠时，䁧앐洠；当앐൅时，䁧앐൅，所以①当앐洠时，앐蘀洠，ڂ蘀앐൅，有䁧앐蘀洠，䁧ڂ蘀앐൅，故原不等式成立；②当앐൅时，앐蘀，ڂ蘀앐䁧䁞，䁧앐在䁧䁞内单调递减，由䁧앐蘀䁧蘀앐洠，得䁧앐蘀洠ڂ䁧蘀앐蛨䁧ڂ蘀앐，有앐蘀൅ڂ蘀앐，解得ڂ蘀൅앐൅，综上，原不等式的解集为ۍ앐ɼڂ蘀൅앐൅或앐洠．22.函数蛨䁧앐蛨앐的定义域为，由题意令앐蛨앐，앐蛨，앐蛨，∴函数䁧앐蛨앐的所有“和谐区间”为ڂ，䁞，䁞ڂ䁞；试卷第6页，总7页,若䁞䁧洠为函数䁧앐蛨ɼ앐ڂ蘀ɼ的一个“和谐区间”，蘀令ɼ앐ڂ蘀ɼ蛨앐，解得앐蛨，앐蛨，蘀当蛨即앐䁞时，䁧앐蛨ɼ앐ڂ蘀ɼ䁞，满足题意；蘀当蛨即앐䁞时，䁧앐蛨ɼ앐ڂ蘀ɼ䁞蘀，不满足题意；蘀由题意知앐蛨时满足题意，∴的值为；令函数䁧앐蛨앐蘀ڂ蘀앐蛨앐，则앐蘀ڂ앐蛨有解，故蛨ڂ，解得：，故的取值范围是䁧ڂ䁞．试卷第7页，总7页