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2020-2021学年山东省某校高二(上)期中数学试卷
2020-2021学年山东省某校高二(上)期中数学试卷
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2020-2021学年山东省某校高二(上)期中数学试卷一、单选题(本题包括8小题,每小题5分,共40分。每小题只有一个选项符合题意))1.直线ﰐުɼ䃸ܯ=的一个方向向量是()A.䁞䃸䁃B.䁞䁃C.䃸䁞䁃D.䁞䁃ﰐɼ2.椭圆ުܯ的离心率是()ܯA.B.C.D.3.两条平行直线ﰐ䃸ɼު和ﰐ䃸ɼު间的距离为,则,分别为()䁞䁞A.䁞,=B.䃸䁞䃸䁞,=C.䃸䁞,=D.䁞,=4.如图,四棱锥䃸െ的底面是矩形,设െ=,=,=,是的中点,则()ܯܯܯA.=䃸䃸ުܯܯB.=䃸䃸ުܯܯC.=䃸ުުܯܯܯD.=䃸䃸䃸5.空间直角坐标系䃸ﰐ点过经,中ɼﰐ䁞ɼ䁞䁃且法向量为=െ䁞䁞䁃的平面方程为െﰐ点过经,䁃䃸ު䁃ɼ䃸ɼު䁃ﰐ䃸ﰐ䁞ɼ䁞䁃且一个方向向量为ﰐ䃸ﰐɼ䃸ɼ䃸=䁞䁞䁃䁃的直线的方程为==,阅读上面的材料并解决下面ﰐɼ问题:现给出平面的方程为ﰐ䃸ɼު䃸,经过䁞䁞䁃直线的方程为=试卷第1页,总8页,=,则直线ܯ与平面所成角的正弦值为()䃸ܯܯܯܯA.B.C.D.ܯ6.已知圆ﰐުɼ䃸䁞ﰐ=,过点ܯ䁞䁃的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.ܯB.C.D.7.已知,是异面直线,െ,,,,െ,,െ,ܯ,则异面直线,所成的角等于()A.B.C.䁞D.ﰐɼ8.已知ܯ,是椭圆ުܯ䁃的左、右焦点,െ是的左顶点,点在过െ且斜率为的直线上,ܯ为等腰三角形,ܯܯ,则的离心率䁞为()ܯܯܯA.B.C.D.二.多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.))9.过点䁞䁃,并且在两轴上的截距相等的直线方程为()A.ﰐުɼ䃸B.ﰐުɼ䃸C.ﰐ䃸ɼD.ﰐ䃸ɼު10.已知曲线ﰐުɼܯ.()A.若,则是椭圆,其焦点在ɼ轴上B.若,则是椭圆,其焦点在ﰐ轴上C.若,则是圆,其半径为D.若,,则是两条直线11.已知圆:ﰐ䃸䁃ުɼ䃸䁃ܯ和两点െ䃸䁞䁃,䁞䁃䁃若圆上存在点,使得െ,则的可能取值为()A.B.䁞C.D.ﰐܯ12.已知ܯ,是椭圆:ުɼ=ܯ的左、右焦点,动点ﰐܯ,ɼܯ䁃ɼܯ䁃在椭圆上,ܯ的平分线与ﰐ轴交于点䁞䁃,则的可能取值为()A.ܯB.C.D.䃸ܯ三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分))ܯ13.已知平面的一个法向量ﰐ䁞ܯ䁞䃸䁃,平面的一个法向量䃸ܯ䁞ɼ䁞,若,则ɼ䃸ﰐ________.14.在棱长为ܯ的正方体െ䃸െܯܯܯܯ中,是线段ܯ的中点,是线段ܯ试卷第2页,总8页,的中点,则直线ܯ到平面െܯ的距离为________.ﰐɼ15.已知ܯ,是椭圆:ު=ܯ的左、右焦点,弦െ过点ܯ,若െ的内ܯ䁞切圆的周长为,െ,两点的坐标是ﰐ䁃ܯɼ䁞ܯﰐ䁞ɼ䁃,则ɼܯ䃸ɼ________.16.年是中国传统的农历“鼠年”,有人用个圆构成“卡通鼠”的形象,如图:䁞䃸䁃是圆的圆心,圆过坐标原点;点、均在ﰐ轴上,圆与圆的半径都等于,圆、圆均与圆外切.已知直线过点.(1)若直线与圆、圆均相切,则截圆所得弦长为________;(2)若直线截圆、圆、圆所得弦长均等于,则________.四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.))17.已知平行四边形െ的三个顶点的坐标为െ䃸ܯ䁞䁃,䃸䁞䃸ܯ䁃,䁞䁃.‴䁃在െ中,求边െ中线所在直线方程;‴‴䁃求平行四边形െ的顶点的坐标及边的长度;‴‴‴䁃求െ的面积.18.已知െ的边െ边所在直线的方程为ﰐ䃸ɼ䃸䁞,䁞䁃满足,点䃸ܯ䁞ܯ䁃在െ边所在直线上且满足െെ.(1)求െ边所在直线的方程;(2)求െ外接圆的方程;(3)若动圆过点䃸䁞䁃,且与െ的外接圆外切,求动圆的圆心的轨迹方程.19.在如图所示的试验装置中,两个正方形框架െ,െ的边长都是ܯ,且它们所在的平面互相垂直,活动弹子,分别在正方形对角线െ和上移动,且和的长度保持相等,记ൌൌ䁃.Ⅰ䁃求的长;试卷第3页,总8页,Ⅱ䁃为何值时,的长最小并求出最小值;Ⅲ䁃当的长最小时,求平面െ与平面夹角的余弦值.ﰐɼ20.椭圆ܯު=ܯ䁃的长轴长等于圆ﰐުɼ的直径,且ܯ的离心ܯ率等于,已知直线ﰐ䃸ɼ䃸ܯ交ܯ于െ、两点.Ⅰ䁃求ܯ的标准方程;Ⅱ䁃求弦െ的长.21.如图所示,在三棱柱െ䃸െܯܯܯ中,四边形െܯെܯ为菱形,െെܯܯ,平面െܯെܯ平面െ,െ,െെെܯ=,为െ的中点.Ⅰ䁃求证:ܯܯ平面െܯെܯ;Ⅱ䁃求平面ܯܯ与平面ܯܯ所成角的大小.22.已知点െܯ䁞䁃,点是圆:ﰐުܯ䁃ުɼ上的任意一点,线段െ的垂直平分线与直线交于点.Ⅰ䁃求点的轨迹方程;Ⅱ䁃过点െ的直线与轨迹交于不同的两点,,则的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直线的方程;若不存在,请说明理由.试卷第4页,总8页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省某校高二(上)期中数学试卷一、单选题(本题包括8小题,每小题5分,共40分。每小题只有一个选项符合题意)1.A2.B3.D4.B5.B6.B7.C8.D二.多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.)9.A,C10.A,D11.B,C12.A,C,D三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.ܯܯ14.ܯ15.16.ܯ四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)ܯ17.解:ܯ䁃设െ边的中点为,则䁞䁃,ުܯ∴直线斜率ܯ,ު∴直线的方程为ɼުܯﰐު䁃,化为一般式可得ﰐ䃸ɼުܯ,∴െ边中线所在直线的方程为:ﰐ䃸ɼުܯ䁃设点坐标为ﰐ䁞ɼ䁃,由已知得为线段中点,䃸ުﰐܯﰐ∴有,解得,∴䁞䁃,䃸ܯުɼɼ试卷第5页,总8页,∵䃸䁞䃸ܯ䁃,䁞䁃∴䃸䃸䁃ު䃸ܯ䃸䁃;䁃由䃸䁞䃸ܯ䁃,䁞䁃可得直线的方程为ﰐ䃸ɼުܯ,䃸ܯ䃸ުܯ∴点െ到直线的距离,ܯ∴െ的面积.18.解:(1)∵െെ∴െെ,又在െ上∴െെ,െ为െ,又െ边所在直线的方程为ﰐ䃸ɼ䃸䁞,所以直线െ的斜率为䃸.又因为点䃸ܯ䁞ܯ䁃在直线െ上,所以െ边所在直线的方程为ɼ䃸ܯ䃸ﰐުܯ䁃.即ﰐުɼު.ﰐ䃸ɼ䃸䁞(2)െ与െ的交点为െ,所以由解得点െ的坐标为䁞䃸䁃,ﰐުɼު∵∴䁞䁃为െ的外接圆的圆心又െ䃸䁃ުު䁃.从െ外接圆的方程为:ﰐ䃸䁃ުɼ.(3)因为动圆过点,所以是该圆的半径,又因为动圆与圆外切,所以ު,即䃸.故点的轨迹是以,为焦点,实轴长为的双曲线的左支.因为实半轴长,半焦距.所以虚半轴长䃸.ﰐɼ从而动圆的圆心的轨迹方程为䃸ܯﰐ䃸䁃.19.如图建立空间直角坐标系,െܯ䁞䁞䁃,䁞䁞ܯ䁃,ܯ䁞ܯ䁞䁃,䁞ܯ䁞䁃,∵,∴䁞䁞ܯ䃸䁃,䁞䁞䁃.ܯ䁃=䃸䁃ު䃸䁃ުܯ䃸䁃䃸ުܯ;ܯ䁃=䃸ުܯ䃸䁃ު,当时,最小,最小值为;试卷第6页,总8页,Ⅲ䁃由Ⅱ䁃可知,当,为中点时,最短,ܯܯܯܯ则䁞䁞䁃,䁞䁞䁃,取的中点,连接െ,,ܯܯܯ则䁞䁞䁃,∵െെ,,∴െ,,∴െ是平面െ与平面的夹角或其补角.ܯܯܯܯܯܯ∵െ=䁞䃸䁞䁃,=䃸䁞䃸䁞䃸䁃,ܯܯ∴cosൌെ,െ=䃸䃸.ܯ∴平面െ与平面夹角的余弦值是.20.(1)由题意可得,∴,ܯ∵==,∴ܯ,∴,ﰐɼ∴椭圆ܯ的标准方程为:ު=ܯ.ɼ=ﰐ䃸ܯ(2)联立直线与椭圆方程,消去ɼ得:ﰐ䃸ﰐ䃸,ﰐުɼ=ܯ设െﰐ,䁃ܯɼ䁞ܯﰐ䁞ɼ䁃,则ﰐܯﰐ,=ﰐުܯﰐ=䃸,䁞∴െܯުﰐܯ䃸ﰐު.21.(1)证明:∵四边形െܯെܯ为菱形,െ,െെെܯ=,∴െെު,得െ,又平面െܯെܯ平面െ,平面െܯെܯ平面െെ,∴平面െܯെܯ,又ܯܯ,∴ܯܯ平面െܯെܯ;(2)取െܯܯ的中点,െܯܯ的中点,连接െ,,∵ܯܯ平面െܯെܯ,∴平面െܯെܯ,得െܯ,െ,又四边形െܯെܯ为菱形,െെܯܯ=,是െܯܯ的中点,∴െെܯܯ,故െܯ,,െ两两互相垂直.以为坐标原点,分别以െܯ、、െ所在直线为ﰐ、ɼ、轴建立空间直角坐标系,∴ܯ䃸ܯ䁞䁞䁃,ܯ䃸ܯ䁞䁞䁃,ܯ䃸ܯ䁞ܯ䁞䁃,䃸䁞䁞䁃,试卷第7页,总8页,由图可知,平面ܯܯ的一个法向量为=ܯ䁞䁞䁃,设平面ܯܯ的一个法向量为=ﰐ䁞ɼ䁞䁃,则,取ܯ,得=䁞䁞ܯ䁃.ܯ=䃸ﰐު=设平面ܯܯ与平面ܯܯ所成角的大小为,ܯުުܯ则coscosൌ,=,ܯ又∵䁞,∴=,䁞故平面ܯܯ与平面ܯܯ所成角的大小为.䁞22.(1)由题意可知:െ,ު,∴ުെെ,∴点的轨迹是以,െ为焦点的椭圆,且,ܯ,ﰐ∴其轨迹方程为ުɼ=ܯ.(2)设ﰐ,䁃ܯɼ䁞ܯﰐ䁞ɼ䁃,不妨设ɼܯ,ɼൌ,由题意可知,直线的斜率不为零,可设直线的方程为ﰐɼުܯ,ﰐ=ɼުܯ联立方程,消去ﰐ得:ު䁃ɼުɼ䃸ܯ,ﰐުɼ=ܯ䃸䃸ܯ则ɼܯުɼ=ު,ɼܯɼ=ު,ުܯ∴ɼܯ䃸ɼ=ɼܯުɼ䁃䃸ɼܯɼ,ުܯުܯ∴=െɼܯ䃸ɼ䁃ުުܯުܯ,ުܯܯ当且仅当ުܯ=即时,的面积取得最大值,ުܯ此时直线的方程为ﰐܯ.试卷第8页,总8页
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高中 - 数学
发布时间:2021-09-05 22:12:35
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