2020-2021学年山东省德州市某校高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年山东省德州市某校高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.抛物线y=4x2的焦点坐标为(    )A.(0, 116)B.(116, 0)C.(1,0)D.(0, 1)2.若构成空间的一个基底，则（）A.不共面B.不共面C.不共面D.不共面3.若方程x2+y2-x+y-2m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是（）A.B.C.D.（）4.已知直线x+my+6＝0和(m-2)x+3y+2m＝0互相平行，则实数m的取值为（）A.-1或3B.-1C.-3D.1或-35.设x，y∈R，向量a→=(x,1,1)，b→=(1, y, 1)，c→=(2, -4, 2)，且a→⊥c→，b→ // c→，则|a→+b→|=(    )A.22B.10C.3D.46.在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A(-4, 0)和C(4, 0)，顶点B在椭圆x225+y29=1上，则sinA+sinCsinB等于（）A.45B.52C.54D.537.在一平面直角坐标系中，已知A(-1, 6)，B(2, -6)，现沿x轴将坐标平面折成60∘的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为（）A.B.C.D.8.对于直线xsinα+y+1=0，其倾斜角的取值范围是（）A.[-π4，π4]B.[0,π2)∪[π2,π)C.[π4，3π4]D.[0,π4]∪[3π4,π)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。)9.在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N试卷第11页，总11页, ，R分别是OA，BC，AD的中点，以下说法正确的是（）A.直线MN与平面OCD的距离为B.平面MNR与平面OCD的距离为C.点M与平面OCD的距离为 D.点N与平面OCD的距离为10.已知椭圆＝1(a>0, b>0)的左、右焦点分别F1，F2，P是椭圆上一点，若|PF1|＝3|PF2|，则椭圆的离心率可以是（）A.B.C.D.11.下列命题正确的是（）A.已知和是两个互相垂直的单位向量，且垂直，则实数k＝-6B.已知A(1, 1, 0)，B(0, 3, 0)，C(2, 2, 3)，则向量在上的投影向量的模长是C.圆x2+y2＝4上有且仅有3个点到直线l:x-y+＝0的距离等于1D.不过原点的直线都可以用方程表示12.在如图所示的棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1所在的平面上运动，则下列命题中正确的（）试卷第11页，总11页, A.若点P总满足PA⊥BD，则动点P的轨迹是一条直线B.若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为2π的圆C.若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆D.若点P平面BAA1B1与到直线CD的距离相等，则动点P的轨迹抛物线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，)13.设＝(2，2，-），＝(0，-1，）分别是空间中直线l1，l2的方向向量，则直线l1，l2所成角的余弦值为________．14.过点A(1, 0)的直线l与圆(x-1)2+(y-1)2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，则该直线的斜率为________．15.已知抛物线C:y2＝8x的焦点为F，准线l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|＝________，直线PF的斜率k＝________．16.已知双曲线的方程为，如图，点A的坐标为(-3, 0)，B是圆x2+(y-3)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，则|MA|+|MB|的最小值为________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17.如图所示，已知几何体ABCD-A1B1C1D1是平行六面体．（1）化简++结果用表示并在图上标出该结果（点明E，F的具体位置）；（2）设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1N＝C1B，设＝α试卷第11页，总11页, +β+γ，试求α，β，γ的值．18.已知△ABC的三个顶点是A(-1, 4)，B(-2, -1)，C(2, 3)．（1）求BC边上的高所在直线的方程；（一般式）（2）求△ABC的面积S；（3）求过点A且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程（一般式）．19.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60∘，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2．（1）证明：平面PBE⊥平面PAB；（2）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的正弦值．20.已知F1，F2是椭圆C：(a>b>0)的两个焦点，P为C上一点．（1）若△F1PF2为等腰直角三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于9，求b的值和a的取值范围．21.在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为长方形，SB⊥底面ABCD，其中BS＝2，BA＝2，BC＝t，t的可能取值为：①；②；③；④；⑤t＝3．（1）求直线AS与平面ABCD所成角的正弦值；（2）若线段CD上能找到点E，满足AE⊥SE，则t可能的取值有几种情况？请说理由；试卷第11页，总11页, （3）在（2）的条件下，当t为所有可能情况的最大值时，线段CD上满足AE⊥SE的点有两个，分别记为E1，E2，求二面角E1-SB-E2的大小．22.已知半径为5的圆M的圆心在x轴上，圆心M的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29＝0相切．（1）求圆M的方程；（2）若直线ax-y+5＝0(a≠0)与圆M相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(-2, 4)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．（3）设P(-1, 0)，若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆圆心N的轨迹方程．试卷第11页，总11页, 参考答案与试题解析2020-2021学年山东省德州市某校高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A2.A3.C4.B5.C6.C7.8.D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.10.B,C11.B,C12.A,B,D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13.14.±115.,16.3+3四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.取AA1的中点E，在D1C3上取一点F，使得D1F＝2FC3，连接EF，则++＝++＝．（与相等的向量都对）………＝+＝+＝（+）+（+）试卷第11页，总11页, ＝++，所以α＝，β＝．………18.设BC边上的高所在直线为l，由题意知kBC＝＝1l＝＝-1．又点A(-1, 5)在直线l上，即x+y-3＝0，即BC边上的高所在直线的方程为x+y-4＝0．BC边所在直线的方程为y+1＝x+6，即x-y+1＝0．点A(-5＝2．又|BC|＝＝4△ABC＝•|BC|⋅d＝×2．当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，直线方程4x+y＝0；当直线在坐标轴上的截距都不为4时，设直线方程为，所以直线方程为x+2y-7＝0．所以直线方程为4x+y＝4或x+2y-7＝7．19.证明：如图所示，连接BD，知△ABC是等边三角形．∵E是CD的中点，∴BE⊥CD，又AB // CD，∴AB⊥BE，∴BE⊥平面PAB，又BE⊂平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAB．在平面ABCD内，过点A作AB的垂线，以A为原点建立空间直角坐标系.，．易知，＝(7，0，＝(0，，＝(0，6，＝（，，设是平面PBE的一个法向量，试卷第11页，总11页, 则由得令z7＝1，得，设是平面PAD的一个法向量，则由得所以z2＝0，，故可取，于是，设所成锐二面角为θ，所以sinθ＝，所以平面PAD和平面PBE所成锐二面角的正弦值为．20.△F1PF2为等腰直角三角形可知有三种情况．当∠PF8F2＝90∘时，|PF1|＝6c，，于是，得e＝，当∠PF8F1＝90∘时，同理求得e＝；当∠F1PF2＝90∘时，则P在椭圆短轴的端点，，，解得e＝．∴C试卷第11页，总11页, 的离心率为或；设P(x, y)1PF5的面积等于9，得•2c⋅|y|＝9，①由PF4⊥PF2，得x2+y7＝c2，②再由P在椭圆上，得，③由②③及a2+b2＝c3，得y2＝，又由①知y2＝，故b＝3，由②③得x8＝，∴c2≥b8，从而a2＝b2+c7≥2b2＝18，故a≥7，∴b＝3，a≥5，故b＝3，a得取值范围为[2．21.∵SB⊥底面ABCD，SA在平面ABCD内的射影为AB，∴∠SAB即为直线AS与平面ABCD所成的角，∴在Rt△SBA中，．所以直线AS与平面ABCD所成角的正弦值．如图所示，以B为坐标原点，BA，y轴．则各点坐标分别为A(0, 5, 0)，0，5)，2，0)，5，2)．设试卷第11页，总11页, E(t, x, 0)(6≤x≤2)，，．∵x∈[0, 2]，t8＝x(2-x)∈[0, 8]∴在所给的数据中，t可以取①②③．由（2）知，此时，．根据题意得，其坐标为，∵SB⊥底面ABCD，∴SB⊥BE1，SB⊥BE2，∴∠E5BE2是二面角E1-SB-E7的平面角，由，由题意得，二面角E2-SB-E2为锐角，所以二面角的大小为30∘．22.设圆心坐标为M(m, 0)(m∈Z)，由于圆与直线4x+5y-29＝0相切，且圆的半径为5，所以＝5，即2m-29＝25或4m-29＝-25，解得m＝或m＝5，故m＝1，故所求的圆的方程为(x-1)6+y2＝25．设符合条件的实数a存在，因为a≠0，则直线l的斜率为-(x+2)+6，即x+ay+2-4a＝6．由于直线l垂直平分弦AB，故圆心M(1，所以1+2+2-4a＝3，解得a＝．经检验，当a＝时，故存在实数a＝，使得过点P(-2．因为圆N过点P(-1, 4)所以PN为半径，所以MN＝5-PN即MN+PN＝5，所以点M试卷第11页，总11页, 的轨迹是以M，P为焦点，所以6a＝5，c＝1所以所求轨迹方程是＝1或．试卷第11页，总11页