2020-2021学年山东省济宁市某校高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年山东省济宁市某校高二（上）期中数学试卷一、单选题：共12个小题，每小题5分，满分40分.每个小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意要求.)1.抛物线F1的准线方程为()A.F䁞B.F䁞C.F䁞D.F䁞2.已知{}是空间向量的一个基底，则与向量＝，＝可构成空间向量基底的是（）A.B.C.D.3.若直线F线与圆䁞F的两个交点关于直线ݕF൅对称，则线，ݕ的值分别为（）A.线F，ݕ，䁞F线.D′Fݕ，F线.C′Fݕ，䁞F线.B′䁞FݕF䁞′4.比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（）A.＝B.′＝′1C.＝D.＝൅5.已知双曲线䁞F൅的一个焦点和抛物线F䁞1的焦点相同，则′双曲线的渐近线方程为（）A.FB.FC.FD.F′6.在正四面体䁞ܣ中，＝，＝，＝，为ܣ的中点，为的中点，则用，，表示为（）A.B.C.D.7.如图所示，在一个长、宽、高分别为、、′的密封的长方体装置ܣ䁞ܣ中放一个单位正方体礼盒ܣ䁞ܣ，现以点为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系䁞，则正确的是（）试卷第1页，总12页,A.的坐标为标൅标൅B.的坐标为൅标标൅C.ܣܣ的长为䁞D.ܣܣ的长为′8.已知椭圆两焦点，，为椭圆上一点，若，则的内切圆半径为（）A.B.C.D.二、多选题：共4个小题，每小题5分，满分20分，每个小题均有四个选项，其中有部分符合题意要求的，全选对得5分，部分选对得3分，错选、多选得0分.)9.设几何体ܣ䁞ܣ是棱长为的正方体，与ܣ相交于点，则（）A.•＝B.•＝C.•＝䁞D.•＝10.下列结论正确的是（）A.若是直线方向向量，平面，则是平面的一个法向量B.坐标平面内过点标的直线可以写成䁞ܣ䁞＝൅ܣ൅൅൅൅൅C.直线过点䁞标，且原点到的距离是，则的方程是䁞＝൅D.设二次函数＝䁞൅൅൅的图象与坐标轴有三个交点，则过这三个点的圆与坐标轴的另一个交点的坐标为൅标11.若圆＝൅上恰有相异两点到直线′䁞＝൅的距离等于，则可以取值（）A.B.C.D.试卷第2页，总12页,12.双曲线：的右焦点为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.双曲线的离心率为B.若，则的面积为C.的最小值为D.双曲线与的渐近线相同三、填空题：共4个小题，每小题5分，满分20分.将每小题的答案填在答题卡相应位置处.)13.过点䁞标且在两坐标轴上截距相等的直线的方程为________．14.已知F标标൅，ݕF䁞标൅标，且线ݕ与䁞ݕ垂直，则线的值为________．15.已知双曲线䁞F的一个焦点是൅标，椭圆䁞F的焦距等于′，则F________．16.如图，在ܣ中，ܣF൅，F，ܣF，点、分别在轴、轴上，当点在轴上运动时，点随之在轴上运动，在运动过程中，点ܣ到原点的最大距离是________．四、解答题：共6个小题，满分70分，将每题的答案写在答题卡的相应位置处.)17.已知曲线Γ：䁞䁞ݕ标൅＝′䁞ݕݕ．下面给出的三个问题，从中任选出一个问题，将其序号填在答题卡中该题的横线上，然后对选择的问题进行求解．若选择多个问题分别求解的只按第一个解答计分．①若＝′，ݕ＝，写出曲线的方程，指出曲线的名称，并求出该曲线的对称轴方程、顶点坐标、焦点坐标、及、的取值范围；②若＝，ݕ＝，写出曲线的方程，并求经过点䁞标൅且与曲线Γ只有一个公共点的直线方程；③若＝，请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点，此两点满足条件：无论ݕ如何变化，这两点都不在曲线Γ上．试卷第3页，总12页,18.已知直角坐标平面内的两点1标䁞，ܣ标．（1）求线段ܣ的中垂线所在直线的方程；（2）求以向量为方向向量且过点标䁞的直线的方程；（3）一束光线从点ܣ射向轴，反射后的光线过点，求反射光线所在的直线方程．19.如图，在四棱锥䁞ܣ中，底面ܣ为直角梯形，ܣ，ܣ，底面ܣ，为ܣ的中点，ܣ＝，＝＝＝．（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值．20.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前公元前൅年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数线线൅且线的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆．（1）求圆的方程；（2）若点䁞标，ܣ䁞标，′标䁞，当在上运动时，记ܣ的最大值和最小值分别为和，求的值；（3）过点标向圆作切线，，切点分别是，，求直线的方程．21.坐标平面内的动圆与圆：′＝外切，与圆内切，设动圆的圆心的轨迹是曲线，直线൅′䁞′൅＝൅．（1）求曲线的方程；（2）当点在曲线上运动时，它到直线൅的距离最小？最小值距离是多少？（3）一组平行于直线൅的直线，当它们与曲线相交时，试判断这些直线被椭圆所截得的线段的中点是否在同一条直线上，若在同一条直线上，求出该直线的方程；若不在同一条直线上，请说明理由？22.椭圆的左、右焦点分别为䁞标൅、标൅．经过点䁞标൅且倾斜角为൅䁞䁞的直线与椭圆交于、ܣ两点（其中点在轴上方），ܣ的周长为1．试卷第4页，总12页,（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，把平面沿轴折起来，使轴正半轴和轴所确定的半平面，与轴负半轴和轴所确定的半平面互相垂直．①当时，求ܣ的周长；②当时，求异面直线和ܣ所成角的余弦值．试卷第5页，总12页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省济宁市某校高二（上）期中数学试卷一、单选题：共12个小题，每小题5分，满分40分.每个小题均有四个选项，其中只有一个选项符合题意要求.1.A2.D3.A4.B5.B6.D7.D8.B二、多选题：共4个小题，每小题5分，满分20分，每个小题均有四个选项，其中有部分符合题意要求的，全选对得5分，部分选对得3分，错选、多选得0分.9.A,C,D10.B,D11.A,B,C12.A,B,D三、填空题：共4个小题，每小题5分，满分20分.将每小题的答案填在答题卡相应位置处.13.F䁞或F䁞䁞14.15.16.四、解答题：共6个小题，满分70分，将每题的答案写在答题卡的相应位置处.17.选择①．因为＝′，ݕ＝＝，该曲线是抛物线，其对称轴方程是＝൅，、焦点坐标为、的取值范围是൅、的取值范围是；选择②．因为＝，ݕ＝＝．该曲线是抛物线，当过点䁞标的直线斜率不存在时＝没有交点，不符合题意；当过点䁞标的直线斜率存在时，因此直线方程可设为：＝线，试卷第6页，总12页,两个方程联立得，消去可得：线䁞线＝൅，当线＝′时，此时＝൅，൅且与曲线Γ只有一个公共点；当线时，只需＝䁞′线＝൅，解得．综上，符合题意的直线方程为：＝൅，＝൅．选择③．因为＝，所以曲线的方程为䁞ݕ′＝ݕ即，൅＝䁞ݕݕ䁞′．当ݕ＝时，＝；当ݕ൅时，，当＝时，＝，因此符合题意这两个点可为．18.，∴线段ܣ的中点坐标为标䁞．又，∴线段ܣ的中垂线的斜率为，∴由直线方程的点斜式可得线段ܣ的中垂线所在直线方程为，即䁞䁞＝൅．由直线的方向向量与其斜率间的关系可知直线的斜率为，由直线方程的点斜式得直线的方程为，即′＝൅．设ܣ标关于轴的对称点为ܣ，则点ܣ䁞，所以，则直线，即反射光线所在的直线方程为′䁞＝൅．试卷第7页，总12页,19.证明（一）几何法：取的中点，由为ܣ的中点，则，而，所以，则四边形为平行四边形，所以，又平面，平面．（二）向量法：＝，则共面，而，是平面的两相交直线，所以平面．另证：取的中点，，则四边形为平行四边形，所以，又平面，平面．（三）坐标法：∵平面ܣ，ܣ，ܣ，以为原点，，，向量方向分别为轴，轴建立如图所示空间直角坐标系．各点坐标如下：൅标标൅，൅，1，，൅，，൅，，平面平面的一个法向量为，则，所以ܣ，又平面，所以平面．设平面的法向量为，由，，有，取＝，＝൅，即，设平面的法向量为，由，试卷第8页，总12页,，有，取＝，＝䁞，即，所以，故平面与平面夹角的正弦值为．20.设点标，由，得，整理得＝′；ܣ＝䁞䁞䁞′1＝1൅䁞，而䁞，则＝11，即＝൅．解法（一）：根据平面几何知识可知，，，四点共圆，其方程为䁞1䁞＝൅，则是圆和以为直径的圆的相交弦，而圆的方程为＝′，则直线的方程为䁞′＝．解法（二）：由题意，可知，所以以为圆心，半径为＝的圆的方程为䁞䁞1＝′．根据平面几何知识可知是圆和以为圆心，半径为＝的圆的相交弦，而圆的方程为＝，其所在的直线方程为䁞′＝൅．解法（三）：设切点标′，标，则，，试卷第9页，总12页,整理得，同理可得＝′，均过点′，则1＝′，1＝′表明点，都在直线＝′上，则所在的直线方程为䁞′＝൅．21.设动圆的半径为，由题意可知＝，＝䁞，则＝൅＝′，根据椭圆的定义可知曲线是以，为焦点，长轴长为൅的椭圆，其中，曲线的方程为．．设与൅平行的直线的方程为1䁞＝൅，即，代入，可得，整理得1′䁞＝൅，＝′䁞൅൅䁞＝൅൅䁞，当＝൅时，此时＝直线与曲线相切，点到直线的距离最小，（可以不写出点的坐标）另解：当＝时，点到直线൅的距离最小，．另解：设点cos标sin，则点到直线൅的距离＝．由（2）可得＝，消去可得所有弦的中点均在直线上．另设与൅平行的直线与曲线的两交点坐标为标，标，中点，试卷第10页，总12页,，两式作差得，由题意可知则，整理得൅＝൅，即所有弦的中点均在直线൅＝൅上．22.因为ܣ的周长为1，所以＝1．由题意得＝，∴ݕ′＝䁞＝′，所以椭圆的方程为．①当时，经过点䁞标且倾斜角为൅䁞䁞的直线，此时，，折叠后，ܣ，，ܣ的长度不变，但，此时ܣ的周长为．②当时，直线，与，（因为点在轴上方）以及，再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴正半轴所在直线为，，则1，䁞，.，标标൅，试卷第11页，总12页,，．设异面直线和ܣ所成角为，则，所以异面直线和ܣ所成角的余弦值为．试卷第12页，总12页