2020-2021学年山东省泰安市某校高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年山东省泰安市某校高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分）)1.已知向量香䁞㌳䁃，香㌳䁞䁃，则㌳香䁃A.香䁞㌳䁃B.香㌳㌳㌳䁃C.香䁞㌳䁃D.香㌳㌳㌳䁃2.若点香㌳䁃，香㠱䁃，香㠱䁃三点共线，则＝（）A.㌳B.㠱C.D.㌳3.抛物线㌳的焦点坐标为()䁞䁞䁞䁞A.香䁃B.香䁃C.香䁃D.香䁃㠱㠱㠱㠱4.两条平行直线㠱䁞㌳＝与൅䁞䁞＝间的距离为（）A.B.C.D.5.已知点（），直线＝香）与椭圆＝䁞相交于，两点，则的周长为（）A.㠱B.൅C.䁞㌳D.䁞㠱6.䁞，㌳是椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，䁞㌳面积的最大值为，则椭圆的离心率为（）A.B.䁞C.D.䁞7.若圆㌳㌳㌳㠱＝关于直线㌳＝对称，则等于（）A.B.-C.D.㌳㌳8.若双曲线䁞香䁃的一条渐近线被圆香㌳䁃㌳㌳㠱所截得的㌳㌳弦长为㌳，则的离心率为（）㌳A.㌳B.C.㌳D.试卷第1页，总8页,二、多选题（本题共4题，每题5分，共20分，四个选项中全部选对得5分，部分选对得2分，选得0分）)9.过点香㠱䁞䁃且在两坐标轴上截距相等的直线方程是（）A.㌳B.㌳C.㠱D.㠱10.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ܥ䁞䁞䁞ܥ䁞，其中，以顶点为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是㠱，下列说法中正确的是（）A.香䁞ܥ䁃㌳㌳香䁃㌳B.䁞香ܥ䁃C.向量与的夹角是㠱䁞䁞㠱D.ܥ䁞与所成角的余弦值为11.下列说法正确的是（）A.双曲线的渐近线方程是＝B.双曲线㌳㌳＝䁞的离心率＝C.双曲线香䁃的焦点到渐近线的距离是D.双曲线，直线与双曲线交于，两点．若的中点坐标是（，䁞䁃，则直线的方程为㌳൅＝12.如图，䁞，㌳是双曲线䁞㌳＝䁞与椭圆㌳的公共焦点，点是䁞，㌳在第试卷第2页，总8页,一象限的公共点，设㌳方程为，则有（）A.㌳㌳＝㠱B.䁞㌳的内切圆与轴相切于点香䁞䁃C.若䁞㌳＝䁞，则㌳的离心率为D.若䁞㌳，则椭圆方程为三、填空题（本题共4题，每空5分，共20分）)13.已知点香㌳㌳䁃，香㌳㌳䁃，点在轴上且为直角，则点的坐标是________．14.双曲线上一点，其焦点为䁞、㌳，䁞㌳，则䁞㌳的面积为________．15.过点香㠱䁃作圆香䁃㌳香䁞䁃㌳＝䁞的切线，则切线方程为________．16.如果实数，满足等式香䁞䁃㌳㌳＝，那么的最大值是________如果实数，满足等式㌳㌳㠱㌳㠱＝，那么㌳㌳的最大值是________．四.解答题（本题6道题，共70分）)17.已知点香㠱㌳䁃和香㌳䁃．（1）求直线的斜率和的中点坐标；（2）若圆经过，且圆心在直线㌳＝上，求圆的标准方程．㌳㌳䁞18.已知椭圆䁞香䁃经过两点香䁞䁃，香䁃．㌳㌳㌳试卷第3页，总8页,香䁞䁃求椭圆的方程；香㌳䁃若直线䁞交椭圆于两个不同的点，，是坐标原点，求的面积．19.（1）求动圆㌳㌳香㠱㌳䁃㌳㠱㌳㠱䁞＝圆心的轨迹方程；19.（2）动圆与定圆㌳㌳㠱＝外切，且与直线＝䁞相切，求动圆圆心的轨迹方程．20.如图，在四棱锥ܥ中，平面ܥ平面ܥ，且ܥ是边长为㌳的等边三角形，四边形ܥ是矩形，＝㌳，为的中点．（1）证明：；（2）求二面角ܥ的大小；（3）求点ܥ到平面的距离．21.已知双曲线过点香㌳䁃且与椭圆㠱㌳㌳㠱有相同的焦点．香䁞䁃求双曲线的标准方程；香㌳䁃若点在双曲线上，䁞、㌳为左、右焦点．且䁞㌳㠱，试判断䁞㌳的形状．22.双曲线㌳㌳㌳右支上的弦过右焦点．（1）求弦的中点的轨迹方程（2）是否存在以为直径的圆过原点？若存在，求出直线的斜率的值．若不存在，则说明理由．试卷第4页，总8页,参考答案与试题解析2020-2021学年山东省泰安市某校高二（上）期中数学试卷一、单选题（本题共8小题，每题5分，共40分）1.A2.D3.D4.C5.B6.A7.B8.C二、多选题（本题共4题，每题5分，共20分，四个选项中全部选对得5分，部分选对得2分，选得0分）9.A,C10.A,B11.A,B,C,D12.B,C,D三、填空题（本题共4题，每空5分，共20分）13.香䁞䁃或香㠱䁃14.䁞㠱15.＝㠱或䁞㌳൅㠱＝16.,四.解答题（本题6道题，共70分）17.∵点香㠱㌳䁃和香㌳，故直线的斜率为＝䁞，的中点坐标为香䁃．若圆经过，且圆心在直线㌳＝上，㌳䁃，则由＝，可得香㠱䁃㌳香㌳൅㌳䁃㌳＝香㌳㠱䁃㌳，求得＝，∴（，），半径为＝，故圆的方程为+＝．试卷第5页，总8页,㌳㌳䁞18.解：香䁞䁃根据题意，椭圆䁞香䁃经过两点香䁞䁃，香䁃．㌳㌳㌳㌳䁞，则有䁞䁞，㌳㠱㌳解得：㌳，䁞，㌳即椭圆的方程为㌳䁞．㠱香㌳䁃记香䁞䁞䁃，香㌳㌳䁃，直线的方程为䁞．㌳㠱㌳㠱，由消去得㌳㌳㌳，䁞，所以䁞䁞㌳，㌳设直线与轴交于点香䁞䁃，䁞䁞㌳，㌳㠱．㌳19.把圆的方程化为标准方程得香㌳䁞䁃൅香䁃㌳＝㌳香䁃则圆心坐标为，因为㌳，得到䁞，所以消去，可得＝㌳൅，所以圆心的轨迹方程为㌳䁞＝香䁞䁃．定圆㌳൅㠱＝㠱的标准方程为香㌳䁃㌳＝䁞，圆心为香㌳，半径为㌳，设动圆圆心为香䁃，由题意知动点香䁃到香㌳，由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以香㌳，＝൅为准线的抛物线，故所求动圆圆心的轨迹方程为㌳＝൅．20.证明：取ܥ的中点，连接，∵四边形ܥ是矩形，ܥ＝㌳，且，的中点，∴ܥ＝＝，＝＝，ܥ＝㌳，∴＝＝＝，＝＝，试卷第6页，总8页,∴㌳㌳＝㠱，∴，∵ܥ是等边三角形，是ܥ的中点，又平面ܥ平面ܥ，平面ܥ平面ܥ＝ܥ，∴平面ܥ，又平面ܥ，∴，又，＝，∴平面，又平面，∴．由（1）可知平面，∴，又，∴为二面角ܥ的二面角，∵ܥ是边长为㌳的等边三角形，∴＝，又＝，又平面ܥ，∴，∴是等腰直角三角形，∴＝，∴二面角ܥ的大小为．连接ܥ，则ܥ＝ܥ＝൅＝，∵＝＝，＝，∴＝＝，设ܥ到平面的距离为，则ܥ＝＝，∵ܥ＝ܥ，∴＝，试卷第7页，总8页,ܥ到平面的距离为．㌳㌳21.解：香䁞䁃椭圆㠱㌳㌳㠱可化为䁞，焦点坐标为香㌳䁃，㠱㌳㌳设双曲线的方程为䁞，㌳㌳㌳㠱㌳代入点香㌳䁃，可得䁞，∴，㌳㌳㌳㌳㌳∴双曲线的标准方程为䁞；㌳香㌳䁃不妨设在双曲线的右支上，则䁞㌳㌳，∵䁞㌳㠱，∴䁞㠱，㌳㌳，∵䁞㌳㌳㌳，䁞㌳㌳㠱൅∴由余弦定理可得cos㌳䁞，㌳㌳㌳㌳∴䁞㌳是钝角三角形．22.解：（1）设香䁃，香䁃、香䁃，则㌳㌳㌳，㌳㌳㌳，䁞䁞㌳㌳䁞䁞㌳㌳两式相减可得香䁞㌳䁃香䁞㌳䁃香䁞㌳䁃香䁞㌳䁃，∴㌳香䁞㌳䁃㌳香䁞㌳䁃，䁞㌳∴，䁞㌳∵双曲线㌳㌳㌳右支上的弦过右焦点香㌳䁃，∴，㌳化简可得㌳㌳㌳，香㌳䁃（2）假设存在，设香䁞䁞䁃，香㌳㌳䁃，香㌳䁃由已知得：䁞㌳䁞㌳，∴香䁞㌳䁃㌳㌳香䁃㠱㌳①䁞㌳䁞㌳㌳㌳㌳㌳㌳㌳㌳香䁞䁃㠱㠱㌳，香㌳䁃㠱㌳㠱㌳㌳㌳所以䁞㌳㌳䁞，䁞㌳㌳䁞香䁞䁃②联立①②得：㌳䁞无解所以这样的圆不存在．-----------------------试卷第8页，总8页