2020-2021学年广东省某校部高三（上）期中数学试卷

2020-2021学年广东省某校部高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。)1.设集合＝′㔱′′ʹ，＝′㔱ʹ′൏，则＝（）A.′㔱′൏B.′㔱ʹ′൏C.′㔱൏′൏D.′㔱ʹ′2.已知是虚数单位，是复数，若൏൏͵＝，则复数的虚部为（）A.B.C.D.3.在䁨中，“sin＝cos”是“䁨＝”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数′͵＝ln（㐴′͵的图象不可能是（）A.B.C.D.5.已知圆′Ͷ′ͶͶ＝ʹ截直线′Ͷ＝ʹ所得弦的长度小于，则实数Ͷ的取值范围为（）A.B.C.䁛͵D.䁛͵൏6.′͵′͵的展开式的常数项为（）′A.B.C.D.试卷第1页，总15页 ′7.已知双曲线䁨൏Ͷʹʹ͵的实轴长为൏，左焦点为，是双曲线䁨Ͷ的一条渐近线上的点，且，为坐标原点，若൏，则双曲线䁨的离心率为（）൏൏A.B.C.൏D.8.已知函数′͵＝′，若不等式hͶ′൏͵h′͵对任意的′ʹ恒成立，则实数h的最小值为（）A.-B.൏C.D.൏二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。)9.设Ͷ，，为实数，且Ͷʹ，则下列不等式中正确的是（）A.B.ͶC.D.lgͶlgͶ͵10.函数′͵＝cos′͵的部分图象如图所示，且满足，现将图象沿′轴向左平移个单位，得到函数＝′͵的图象．下列说法正确的是（）A.′͵在上是增函数B.′͵的图象关于对称试卷第2页，总15页 C.′͵是奇函数D.′͵在区间上的值域是11.已知四棱锥䁨，底面䁨为矩形，侧面䁨平面䁨，䁨൏，䁨䁨．若点为䁨的中点，则下列说法正确的为（）A.平面䁨B.面C.四棱锥䁨外接球的表面积为൏D.四棱锥䁨的体积为12.设为等比数列Ͷ的前项和，满足Ͷ൏＝൏，且Ͷ൏，Ͷ，ͶͶ൏成等差数列，则下列结论正确的是（）A.B.൏＝ͶC.若数列Ͷ中存在两项Ͷ，Ͷ使得，则的最小值为D.若恒成立，则h㤵的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。)13.已知㔱㔱＝，㔱㔱＝൏，+＝，-），则㔱㔱＝________．14.若cos（͵sin＝，则sin）＝________．15.已知直线＝′与抛物线＝′交于，两点，抛物线的焦点为，则•的值为________．试卷第3页，总15页 16.已知函数，，若函数有൏个不同的零点′൏，′，′൏，且′൏′′൏，则′൏͵′͵′൏͵的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17.如图，四棱锥䁨中，底面䁨是直角梯形，䁛ʹ，䁨，൏侧面，是等边三角形，，䁨，是线段的中点．൏͵求证：䁨；͵求䁨与平面所成角的正弦值．18.在①sinͶsin＝Ͷsinsin，②cos䁨＝，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知䁨中，Ͷ，，分别为内角，，䁨的对边，sinsin＝，＝，______，求角䁨及䁨的面积．19.已知数列Ͷ满足Ͷ＝，且ͶͶ＝͵൏且͵．൏൏（1）求Ͷ，Ͷ൏的值；（2）设＝，是否存在实数，使得是等差数列？若存在，求出的值，否则，说明理由．（3）求Ͷ的前项和．20.为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某试卷第4页，总15页 地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加ʹ൏年Ͷ月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近个月参与竞拍的人数（如表）：月份ʹ൏ͳ൏൏ʹ൏ͳ൏ʹ൏ʹ൏ʹ൏ʹʹ൏ʹ൏月份编号㤵൏൏Ͷ竞拍人数（万人）ʹʹ൏൏Ͷ൏ͳ（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数（万人）与月份编号㤵之间的相关关系．请用最小二乘法求关于㤵的线性回归方程：㤵Ͷ，并预测ʹ൏年Ͷ月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对ʹʹ位拟参加ʹ൏年Ͷ月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：报价区间（万元）൏͵൏͵൏Ͷ͵Ͷ͵͵ͳ频数ʹʹʹ൏ʹʹ൏ʹ͵求这ʹʹ位竞拍人员报价的平均值′和样本方差（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；͵假设所有参与竞价人员的报价可视为服从正态分布͵，且与可分别由͵中所求的样本平均数′及估值．若ʹ൏年Ͷ月份实际发放车牌数量为൏൏ͳͶ，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价．൏′′参考公式及数据：①回归方程′Ͷ，其中，Ͷ′；൏′′②൏㤵，൏㤵൏，൏ͳ൏൏；③若随机变量服从正态分布͵，则͵ʹ，͵ʹ䁛ͶͶ，൏൏͵ʹ䁛䁛ͳͶ．21.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆䁨有且仅有一个公共点．（1）求椭圆䁨的方程及点坐标；（2）设直线与′轴交于点．过点的直线与䁨交于，两点，记在′轴上的投影为，为的中点，直线，与′轴分别交于，两点．试探究㔱㔱㔱㔱是否为定值？若为定值，求出此定值，否则，请说明理由．试卷第5页，总15页 22.已知函数′͵＝′h′ln′hʹ͵．（1）讨论函数′͵的单调性；（2）若′，′为函数′͵的两个极值点，且′，′为函数′͵＝ln′′′的两൏൏个零点，′൏′．求证：当时，．试卷第6页，总15页 参考答案与试题解析2020-2021学年广东省某校部高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求。1.A2.B3.B4.C5.D6.B7.A8.C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9.A,C,D10.B,C,D11.B,C12.A,B,D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.14.15.൏൏16.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.൏͵证明：∵侧面，平面，∴．又∵是等边三角形，是线段的中点，∴．∵，∴平面䁨．∵䁨平面䁨，∴䁨．͵解：以为原点，、分别为、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．试卷第7页，总15页 则ʹʹʹ͵，䁨൏൏ʹ͵，൏ʹ͵，ʹʹ൏͵．൏ʹ͵，ʹʹ൏͵，䁨൏൏൏͵．设′͵为平面的一个法向量．′ʹ，由൏ʹ，令′＝൏，可得൏ʹ͵．设䁨与平面所成的角为，得㔱䁨㔱൏sin㔱cos䁨㔱，㔱䁨㔱㔱㔱൏所以䁨与平面所成角的正弦值为．18.若选①sinͶsin＝Ͷsinsin，因为sinͶsin＝Ͷsinsin，所以由正弦定理得sinsinsinsin＝ͳsin䁨sinsin，即sinsin＝Ͷsin䁨sinsin，所以，因为䁨ʹ͵，或，若，由，而，，从而，矛盾．故，接下来求䁨的面积．试卷第8页，总15页 法一：设䁨外接圆的半径为，则由正弦定理，得，∴Ͷ＝sin＝sin，＝sin＝Ͷsin，∴，∴，法二：由题意可得cos䁨＝，即，∵，∴，∴，∵，∴或，当时，又，∴，，由正弦定理，得，∴，当时，同理可得，故䁨的面积为．试卷第9页，总15页 选②，因为，所以，即，，所以或（舍），因为䁨ʹ͵，以下同解法同①．选③，由，及正弦定理得，即，由余弦定理得，∵ʹ䁨，∴，以下解法同①．19.由题设，知，令＝，有，得Ͷ＝൏൏，令＝൏，有，得Ͷ൏＝൏൏；由（1），可得，，，试卷第10页，总15页 若数列是等差数列，则有ͳ＝൏，即，解得＝൏，下证：当＝ͳ时，数列是等差数列，由，可得Ͷ൏Ͷ＝͵൏ͳ，∵൏＝-＝-＝＝൏，∴数列是公差为൏的等差数列，又，∴＝൏，故存在＝൏使得数列是等差数列；由（2），可得，∴，令，则，两式相减，得Ͷ＝Ͷ͵͵൏ͳ͵൏͵͵൏＝Ͷ൏͵͵൏＝-，∴＝-，∴．20.由题意求出㤵൏，൏ʹͶ．由㤵，൏，൏൏㤵试卷第11页，总15页 ൏′′൏൏൏ʹͶ൏ʹ൏൏൏ʹ′൏′那么Ͷ′൏ʹͶʹ൏൏ʹʹ从而得到回归直线方程为ʹ൏′ʹʹ．当㤵时，可得ʹ൏ʹʹ（万）ʹʹʹ൏ʹʹ͵根据表中数据求解平均值′൏൏Ͷʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹ൏ʹ൏．ʹʹʹʹ൏ʹʹ൏൏ʹ样本方差͵൏͵ʹ൏൏ͳ．ʹʹʹʹʹʹʹʹʹʹ൏൏ͳͶ͵ʹ൏ͳ．ʹʹʹʹ正态分布͵，可得൏൏ͳ͵∴͵ʹ，即൏൏ͳ．൏͵ʹ൏ͳ，∴ʹ൏年Ͷ月份竞拍的最低成交价为万元．21.设䁨的半焦距为，则，即Ͷ＝Ͷ，ͳ＝Ͷ＝，所以，联立与，，得′′൏＝ͳ，依题意＝ͶͶ൏͵＝，解得＝൏，所以Ͷ＝Ͷ，＝൏，故椭圆䁨的方程为；此时′′ͶͶ＝ʹ，即′′൏＝ͳ，根为′＝൏，则，所以点坐标为．易知ͶͶ͵，，若直线的斜率为ʹ，此时൏ʹ͵，ʹ͵，，或，，则，试卷第12页，总15页 若直线的斜率不为ʹ，设直线的方程为′＝Ͷ，得൏Ͷ͵Ͷ൏＝，设′൏൏͵，′͵，则，，可得直线的方程为，则，，同理，，所以，∵，，所以．综上，为定值．22.由于′͵＝′h′ln′，′ʹ，∴̵′͵＝′h＝，对于方程′h′ͳ＝ʹ，＝h，当hͶ൏，即ʹh时，故′͵在Ͷ͵内单调递增，当hͶ൏，即h时h′＝ʹ恰有两个不相等实根试卷第13页，总15页 ，令̵′͵ʹ，得或，̵′͵ʹ，得，此时′͵单调递减，综上所述：当ʹh时，′͵在ʹ；当h时，′͵在，），（，（，）单调递减．证明∵′൏，′为函数′͵的两个极值点，∴′，′即为方程′h′Ͷ＝ʹ的两根，又∵，∴＝hʹ，且′′＝h，′′＝，൏൏又∵′，′为函数′͵＝ln′′′的两个零点，൏∴ln′′′＝ʹ，ln′′′＝ʹ，൏൏൏Ͷ两式相减得ln′൏′͵′′͵′൏′Ͷ͵＝ʹ，∴＝′′͵，∵，∴＝＝试卷第14页，总15页 ，令，∵ʹ′൏′，∴ʹ㤵൏，由′′＝h可得′′′′＝h，Ͷ൏൏由′൏′＝，上式两边同时除以′൏′得：，又∵，故，解得或㤵൏（舍去），设，∴̵㤵͵＝•，∴＝㤵͵在上单调递减，∴，∴．试卷第15页，总15页