2020-2021学年江苏省泰州中学、某校高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省泰州中学、某校高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）)1.已知命题：对，有，则￢为（）A.对，有B.对，有C.，使得D.，使得2.不等式䁪ꀀ的解集为൏，则函数则䁪的图象大致为（）A.B.C.D.3.在等差数列൏中，有䁪䁪䁪䁪则h，则此数列的前项和为（）A.hB.C.D.h4.已知抛物线则ꀀ，过抛物线的焦点作轴的垂线，与抛物线交于，两点，点的坐标为为，且为直角三角形，则以直线为准线的抛物线的标准方程为（）A.则B.则C.则hD.则h5.《几何原本》卷的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设则，则⸸，则该图形可以完成的无字证明为()试卷第1页，总9页 䁪⸸A.⸸ꀀ⸸ꀀB.䁪⸸⸸ꀀ⸸ꀀ⸸䁪⸸䁪⸸C.⸸ꀀ⸸ꀀD.ꀀ⸸ꀀ䁪⸸6.在平面直角坐标系中，若点h为到双曲线则的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A.B.hC.D.7.设ꀀ，⸸ꀀ，且䁪⸸则，则䁪䁪⸸A.有最小值为hB.有最小值为䁪hC.有最小值为D.无最小值8.已知定义域为的函数满足则䁪，当为时，则䁪䁪，为，设在为上的最大值为则数列൏的，为前项和的值为（）䁪䁪A.B.C.D.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）)9.已知曲线的方程为䁪⸸＝⸸为⸸，则下列选项正确的是（）A.当⸸＝时，一定是椭圆B.当⸸＝时，是双曲线C.当＝⸸ꀀ时，是圆D.当⸸＝且䁪⸸时，是直线10.下列四个条件，能推出成立的有()⸸A.⸸ꀀꀀB.ꀀꀀ⸸C.ꀀꀀ⸸D.ꀀ⸸ꀀ11.等差数列൏的前项和为，䁪则，则下列结论一定正确的是（）A.则B.当则或时，取最大值C.D.则试卷第2页，总9页 12.已知抛物线则ꀀ的焦点到准线的距离为，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则（）A.的准线方程为则B.线段长度的最小值为hC.的坐标可能为为D.则三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分）)13.已知数列൏中，则，䁪则䁪，则则________．14.已知命题“，使䁪䁪”是假命题，则实数的取值范围是________．15.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线则ꀀ，如图，一平行轴的光线射向抛物线上的点，经过抛物线的焦点反射后射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为，则此抛物线的方程为________．16.点，为椭圆䁪则ꀀ⸸ꀀ长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，⸸动点满足则，若面积的最大值为，面积的最小值为，则椭圆的离心率为________．四、解答题（本题共6小题，共计70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）)17.已知集合则h䁪ꀀ൏，集合则方程䁪则表示圆锥曲线൏．（1）若圆锥曲线表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围；（2）若圆锥曲线表示双曲线，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．18.若正实数，满足䁪䁪则．（1）若则，求䁪的最小值；（2）若则，求的最小值试卷第3页，总9页 19.已知数列൏是公比为的等比数列，其前项和为，（1）在①䁪则䁪，②＝，③则hh，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列൏的通项公式，并判断此时数列൏是否满足条件：任意，，均为数列൏中的项，说明理由；൏满足⸸＝䁪൏的前项和（2）设数列⸸，，求数列⸸．注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20.已知双曲线过点h为，且渐近线方程为＝，直线与曲线交于点、两点．（1）求双曲线的方程；（2）若直线过点为，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．21.已知数列൏的前项和满足则．（1）求数列൏的通项公式；（2）记⸸则，是数列⸸൏的前项和，若对任意的，不等式䁪ꀀ都成立，求实数的取值．h䁪22.已知点是抛物线则h和椭圆：䁪＝的公共焦点，是与的⸸交点，＝．（1）求椭圆的方程；（2）直线与抛物线相切于点为，与椭圆交于，，点关于轴的对称点为．求的最大值及相应的．试卷第4页，总9页 参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省泰州中学、某校高二（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C2.A3.C4.B5.D6.A7.B8.D二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.B,C,D10.A,B,D11.A,D12.B,C,D三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分）13.14.为15.则16.四、解答题（本题共6小题，共计70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.若圆锥曲线表示焦点在轴上的椭圆，可得ꀀꀀ，解得h，即的取值范围是为h；若圆锥曲线表示双曲线，可得，解得ꀀh或，则h䁪ꀀ൏则൏，由是的充分不必要条件，可得为⫋为h为䁪，可得h或，解得或h，则的取值范围是为h为䁪．试卷第5页，总9页 18.当则时，䁪则即䁪＝，∴䁪则䁪䁪则䁪䁪䁪，当且仅当＝且䁪＝即则䁪，则䁪时取等号，故䁪的最小值䁪，∵则，∴䁪则，当且仅当则且䁪则即则，则时取等号，解得，，即的最小值．19.：选①时，由于①䁪则䁪，所以则䁪，整理得则䁪，由于数列൏是公比为的等比数列，所以h则䁪，解得则．所以＝．此时任意，，则䁪，由于䁪䁪，所以是数列൏的第䁪项，因此数列൏都满足条件．选②时，因为②＝，数列൏是公比为的等比数列，所以䁪䁪h＝，解得＝．所以＝．因此＝，即不为数列൏中的项．因此数列൏不满足条件．选③时，③则hh，数列൏是公比为的等比数列，䁪所以＝（常数），所以则h，此时任意，，则䁪，由于䁪䁪，所以是数列൏的第䁪项，因此数列൏都满足条件．数列൏是公比为的等比数列，䁪所以＝（常数），所以⸸＝，则＝䁪䁪䁪①，＝䁪䁪䁪②，①-②得：＝䁪䁪䁪䁪则，整理得＝．试卷第6页，总9页 20.因为双曲线过点h为，且渐近线方程为则，＝⸸所以，解得⸸则，则h，⸸＝所以双曲线的方程为则．h设直线的方程为则䁪，设定点定为，＝联立方程组h，消可得h䁪则，＝䁪所以h，且则h䁪hꀀ，解得ꀀ且h．设为，为，所以䁪则h，则h，所以䁪则䁪䁪则h䁪则h，则䁪䁪则䁪䁪䁪则hh䁪则h䁪h则h，hh所以则定为定为则定（定,）䁪则定䁪䁪定则定䁪䁪定䁪则hh䁪定hh䁪定则h䁪定䁪h为常数，与无关，所以定则，解得定则，此时则．h21.数列൏的前项和满足则①，当则时，解得则．当时，则②，①-②得：则，故＝（常数），所以：数列൏是以为首项，为公比的等比数列．所以＝．⸸＝＝䁪则䁪，䁪故＝䁪䁪䁪则䁪．由于对任意的，不等式ꀀ都成立，h䁪所以ꀀ，䁪h䁪试卷第7页，总9页 䁪即ꀀ，䁪䁪令则，䁪䁪所以䁪则，故函数单调递减，䁪䁪所以max＝＝．即ꀀ．22.由题意可知：为，则，为，抛物线的准线方程为则，过点作，轴，垂足分别为，，所以则，则则则，则则则则，所以则，则，得则，⸸则，所以的方程为䁪则．设直线的方程为则䁪，则＝䁪由，得h䁪hh则，＝h则䁪则h则，得则，所以直线的方程为则䁪，＝䁪䁪h䁪h则，由，得䁪＝则h䁪h则h䁪ꀀ，得，h䁪䁪h则䁪䁪h则，h䁪试卷第8页，总9页 又为，h䁪所以点到直线的距离为则，䁪hh䁪h则则，䁪令定则䁪，则则定，h定定定hh则则h定䁪定䁪h．定定定䁪䁪此时定则时，则．hh试卷第9页，总9页