2016-2017学年天津市武清区高三（上）期中数学试卷（理科）

2016-2017学年天津市武清区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．)1.已知集合젰률ʆʆ률灰柭ʆ柭ށ，集合젰률ʆݔ률灰柭ሺݔ률灰െሺͳށ，则等于()A.ݔ.Dሺ䁞െ灰ݔ.Cሺെ䁞柭ݔ.Bሺ柭䁞ݔ灰െ䁞柭ሺ2.函数ݔ률ሺ젰lnݔ률െ柭ሺ的图象大致是()A.B.C.D.3.两个函数젰െ률െ，젰률柭的图象围成的封闭图形的面积为()柭A.B.C.D.െെെ4.若䁨的内角满足sinെ젰，则sincos젰ݔሺ柭柭A.B.灰C.D.灰5.若曲线젰률的一条切线与直线률灰젰垂直，则的方程是()A.률灰灰젰B.률灰젰C.률灰젰D.률젰6.在三角形䁨中，젰，젰柭，䁨젰െ，点在边䁨上，且젰䁨，R，若䁨젰െ，则젰ݔሺ柭柭െA.B.C.D.െ7.已知函数ݔ률ሺ是定义在R上的偶函数，且在区间䁞ሺ上单调递减，若ݔlogെሺݔlog柭ሺͳെݔ柭ሺ，则实数的取值范围是()െ试卷第1页，总8页,柭柭A.ݔ.Dሺെ䁞ݔ.Cሺ䁞െݔ.Bሺെ䁞ݔ䁞ሺെെ8.函数ݔ률ሺ젰률ʆln률灰柭ʆ灰柭的零点个数是()A.柭B.െC.D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分）.)률䁞률䁞柭9.设ݔ（则젰ሺ률ݔሺ）________．ln률䁞률ͳ䁞െ10.若，tan젰，则cos젰________．െ11.函数젰sinݔ률ሺݔͳሺ的部分图象如图所示，设是图象的最高点，，是图象与률轴的交点，则tan젰________．12.在䁨中，内角젰，䁨젰െ，䁨的面积为ݔ柭ሺ，则内角െ젰________．13.如图，圆内接䁨内角平分线䁨延长后交外接圆于，若젰െ，젰柭，젰െ，则젰________.柭14.设正数률，满足률ͳ，률െ젰，则的最小值为________．률灰률三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．)െ柭15.已知函数ݔ灰률sin률soc률sin젰ሺ률ݔͳ䁞률Rሺ的最小正周期为．െݔ柭ሺ求的值；ݔ数函求ሺെݔ률ሺ在区间灰䁞上的最大值和最小值．16.在䁨中，内角，，䁨的对边分别为，，．ݔ柭ሺ求证：sin젰sin灰sin；试卷第2页，总8页,ݔnis求，젰，െ젰若ሺെݔ灰ሺ的值．17.已知函数ݔ률ሺ젰률灰률，률R．ݔ柭ሺ若젰，试确定函数ݔ률ሺ的单调区间和极值；ݔ若ሺെݔ률ሺ在区间䁞െ上单调递增，求实数的取值范围．18.已知函数ݔ률ሺ젰률률െ݊률灰െ的图象在点（灰柭䁞ݔ灰柭ሺ）处的切线方程为률灰젰．ݔ柭ሺ求函数젰ݔ률ሺ的解析式和单调区间；ݔሺ률ݔ数函，为域值的ሺ䁞률ݔሺ률ݔ数函若ሺെݔ률䁞ሺ的值域为，当െ时，求实数的取值范围．률െ19.已知函数ݔ률ሺ젰ݔ률灰ሺ．ݔ柭ሺ求ݔ률ሺ的单调区间；柭ݔ有都，ሺ䁞ݔ률的意任于对若ሺെݔ률ሺ，求的取值范围．柭률െ20.已知函数ݔ률ሺ젰lnݔሺ률（为常数）是实数集R上的奇函数．ݔ柭ሺ求的值；ln률െݔെሺ若R，讨论关于률的方程젰률灰െ률根的个数；ݔ률ሺln률െ当：明证，ሺെ률柭률ݔെ률，柭률根个两有률െ灰률젰程方若ሺݔെ灰柭时，ݔ률ሺ률柭률െͳെ．试卷第3页，总8页,参考答案与试题解析2016-2017学年天津市武清区高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.A2.A3.D4.A5.A6.A7.A8.B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分）.柭9.െ10.11.12.െ13.െ14.三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．െ柭15.解：ݔ柭ሺ函数ݔ률ሺ젰sin률cos률sin률灰െ柭灰cosെ률柭젰sinെ률灰െെെ柭젰ݔsinെ률灰cosെ률ሺ柭െെ젰sinݔെ률灰ሺ柭，∵函数ݔ률ሺ的最小正周期为，ͳ，െ∴젰，െ∴젰柭．ݔnis젰ሺ률ݔ数函，知ሺ柭ݔ由ሺെݔെ률灰ሺ柭，∵률灰䁞,试卷第4页，总8页,∴െ률灰灰䁞，∴函数ݔ률ሺ在区间灰，灰上单调递减，在区间灰，上单调递增，柭且ݔ灰ሺ젰sinݔ灰ሺ柭젰灰，െݔnis젰ሺݔ，െ灰젰柭ሺ灰ݔnis젰ሺ灰ݔሺ柭젰．െെ∴函数ݔ률ሺ在区间灰，上的最大值为，最小值为灰െ.െ16.ݔ柭ሺ证明：sin젰sinݔെሺ젰sinെcoscosെsin젰െsincoscosݔ柭灰െsinെሺsin젰െsincosെsin灰െsin젰െsinݔ柭灰sinെሺsin灰െsin젰sin灰sin即sin젰sin灰sin．ݔെሺ解：∵젰，正弦定理젰，sinsin䁨∴sin젰sin䁨．∵젰െ，∴䁨젰灰，∴sin䁨젰sin，∴sin젰sin젰sin灰柭െsin，∵sinͳ，∴sin젰，∵ͳ，∴，െ∴cos젰柭灰sinെ젰，∴sinݔ灰ሺ젰sincos灰cossin柭젰灰െെ灰젰．17.解：ݔ柭ሺ由젰得ݔ률ሺ젰률灰률，所以ݔ률ሺ젰률灰．令ݔ률ሺ젰，解得률젰柭,ݔ灰䁞柭ሺ柭ݔ柭䁞ሺݔ률ሺ灰ݔ률ሺ单减单增故ݔ률ሺ在ݔ灰䁞柭ሺ上单调递减，在ݔ柭䁞ሺ上单调递增，当률젰柭时ݔ률ሺ取得极小值为ݔ柭ሺ젰.试卷第5页，总8页,ݔ若ሺെݔ률ሺ在区间䁞െ上单调递增，则有ݔ률ሺ젰률灰在䁞െ上恒成立，即률，而률在䁞െ上的最小值为柭，故柭.18.解：ݔ柭ሺݔ률ሺ젰률െെ률݊，∴ݔ灰柭ሺ젰灰െ݊，由题意可知ݔ灰柭ሺ젰，即െ灰݊젰①，∵点ݔ灰柭䁞ݔ灰柭ሺሺ在切线률灰젰上，∴ݔ灰柭ሺ젰灰，即ݔ灰柭ሺݔ灰柭ሺെ݊ݔ灰柭ሺ灰െ젰灰，即灰݊젰②，联立①②解得젰灰，݊젰，∴ݔ률ሺ젰률灰률െ灰െ．∴ݔ률ሺ젰률െ灰률젰률ݔ률灰െሺ．令ݔ，ሺ䁞灰ݔ为间区增递调单的ሺ률ݔ数函，률或െͳ률得，ͳሺ률ݔെ䁞ሺ，令ݔ为间区减递调单的ሺ률ݔ数函，െ률得，ሺ률ݔ䁞െሺ.ݔ在，减递调单内ሺെ䁞ݔ在ሺ률ݔ，知ሺ柭ݔ由ሺെݔെ䁞ሺ内单调递增，且ݔ，െ灰젰ሺݔ젰ሺݔെሺ젰灰，∴젰灰䁞灰െ．由ݔ젰ሺ柭灰ݔ知ሺ柭ݔെሺ젰灰，欲使，当灰柭时，应有，此时，灰灰柭；െെ当灰柭时，应有െ，此时不存在；െ当െ时，应有，此时െ；െെ当ͳെ时，显然不满足条件．综上，所求实数的取值范围灰䁞灰柭䁞െ．െെ률柭률െ19.解：ݔ柭ሺ∵ݔ률ሺ젰െݔ률灰ሺݔ률灰ሺ柭률젰ݔ률ሺݔ률灰ሺ．令ݔ률ሺ젰，得，当ͳ时，ݔ률ሺ䁞ݔ률ሺ随률的变化情况如下：률ݔݔ灰ݔ䁞灰䁞灰䁞ሺሺ灰ሺݔ률ሺ灰ݔ률ሺ递െ递灰柭递增减增所以，ݔ률ሺ的单调递增区间是ݔ灰䁞灰ሺ和ݔ䁞ሺ，单调递减区间是ݔ灰䁞ሺ；当ݔ䁞ሺ률ݔ，时률ሺ随률的变化情况如下：률ݔ灰䁞ݔݔ灰䁞ሺ灰ሺ灰䁞ሺݔ률灰ሺ灰ݔ률ሺ递递െ递灰柭试卷第6页，总8页,减增减所以，ݔ률ሺ的单调递减区间是ݔ灰䁞ሺ和ݔ灰䁞ሺ，单调递增区间是ݔ䁞灰ሺ.柭ݔ有，时ͳ当ሺെݔ柭ሺ젰，不合题意，െ当ݔ是值大最的上ሺ䁞ݔ在ሺ률ݔ知ሺ柭ݔ由，时灰ሺ젰，柭∴任意的률ݔ，ሺ䁞ݔ률ሺ，െ柭ݔ灰ሺ젰，柭解得灰，െ柭柭故对于任意的률ݔ有都，ሺ䁞ݔ률ሺ，的取值范围是灰䁞ሺ.െ20.ݔ柭ሺ解：∵函数ݔ률ሺ是奇函数，∴ݔ灰률ሺ젰灰ݔ률ሺ，柭灰률െ柭률െ∴lnݔሺ灰률젰灰lnݔሺ灰률恒成立,∴lnݔ灰률ሺݔ률ሺ젰，即ݔ灰률ሺݔ률ሺ젰柭．∴ݔ률灰률ሺ젰，∴젰．ݔ得ሺ柭ݔ由：解ሺെݔ률ሺ젰률，ln률െln률െ方程젰률灰െ률，即젰률灰െ률，ݔ률ሺ률ln률െ令ݔ률ሺ젰，ݔ률ሺ젰률灰െ률,률柭灰ln률∴ݔ률ሺ젰，률െ当ݔ률ሺ젰时，률젰,当률ݔ在ሺ률ݔ，ͳሺ률ݔ，时ሺ䁞ݔ䁞ሺ上单调递增，当률ݔ在ሺ률ݔ，ሺ률ݔ，时ሺ䁞ݔ䁞ሺ上单调递减，柭∴ݔ为值大最的ሺ률ݔሺ젰,∵ݔ률ሺ젰률െ灰െ률的图象为开口向上的抛物线，最小值为灰െ．െ柭െ柭∴当灰ͳ，即ͳ时，方程无解；െ柭െ柭当灰젰，即젰时，方程只有一个根；െ柭െ柭当灰即，时，方程有两个根．柭률，意题依，െ률柭률设妨不：明证ሺݔ，률െͳ，ln률െ∵률젰柭是方程젰률灰െ률െ灰柭的一个根，률又当률െ灰െ률，时柭灰െ률െ灰െ률െ灰柭，ln률െ∴方程젰률灰െ률较小的根률柭柭．률试卷第7页，总8页,ln률柭ln률െെെ∴률灰률젰률柭灰െ률柭灰ሺെ률െ灰െ률ݔ，柭െ即ሺെ灰െ률柭률ݔሺെ률灰柭률ݔ，∵률柭灰률െ，∴률柭률െ灰െͳ，即률柭률െͳെ．试卷第8页，总8页