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2020-2021学年天津市南开区高三(上)期中数学试卷
2020-2021学年天津市南开区高三(上)期中数学试卷
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2020-2021学年天津市南开区高三(上)期中数学试卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合=‸㈱‸,=ᦙ䁡ᦙ䁡,那么=()A.B.䁡C.ᦙ䁡ᦙD.ᦙ䁡ᦙ2.若命题‸R,‸‸,则¬为()A.‸R,‸‸䁕B.‸R,‸‸䁕C.‸R,‸‸D.‸R,‸‸䁕3.已知为虚数单位,复数=sinᦙcos,则在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.设,则“ᦙͻܽ”是“ܽͻ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件‸䁡5.函数在ᦙㄴㄴ的图象大致为()‸ᦙ‸A.B.C.D.6.已知=log,=log,=′ㄷᦙ,则,,的大小关系为()䁡A.ܽܽB.ܽܽC.ܽܽD.ܽܽ7.将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍.再将图试卷第1页,总7页,象向左平移个单位长度,得到函数=‸‸㤮的图象,则函数=‸‸㤮图象的一个对称中心为()A.B.C.‸㤮D.8.某食品保鲜时间(单位:小时)与储藏温度‸(单位:)满足函数关系‸(′为自然对数的底数,,为常数).若该食品在的保鲜时间是ͻ小时,在的保鲜时间是小时,则该食品在䁡䁡的保鲜时间是()A.ㄴ小时B.小时C.小时D.小时9.在中,=䁡,=ㄷ,点满足,点为的外心,则的值为()ㄷͻA.B.C.D.ㄴ二、填空题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分.)10.设=ᦙ䁡(是虚数单位),则=________.11.已知函数‸,则‸在‸处的导数________.ᦙ‸‸12.若sincos=,则tan=________;tan=________.13.已知平面向量,满足‸ᦙ㤮,‸ᦙ䁡㤮,且‸㤮,则㈱㈱________.14.已知实数,满足䁕,则-的最大值为________.15.已知函数‸‸㤮=,其中䁕.若‸‸㤮在区间‸㤮上单调递增,则的取值范围是________;若存在实数,使得关于‸的方程‸‸㤮=有三个不同的根,则的取值范围是________.三、解答题:本大题共5题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)16.在中,角,,所对的边分别为,,.已知sinsinsin=䁡.‸Ⅰ㤮求角;试卷第2页,总7页,‸Ⅱ㤮求cos‸ᦙ㤮的值.17.已知函数‸‸㤮㈱‸ᦙ㈱‸‸R㤮.‸㤮若‸㤮䁡,求实数的值;‸㤮若‸‸㤮有最小值,求实数的取值范围;‸䁡㤮设‸‸㤮为定义在R上的奇函数,且当‸ܽ时,‸‸㤮‸‸㤮,求‸‸㤮的解析式.18.已知函数‸‸㤮=sin‸sin‸ᦙ‸㤮sin‸‸)‸‸㤮.‸Ⅰ㤮求‸‸㤮的最小正周期;‸Ⅱ㤮求‸‸㤮的单调递减区间;‸Ⅲ㤮求‸‸㤮在区间,]上的取值范围.19.设函数‸‸㤮=‸䁡ᦙ䁡‸㤮‸ㄴ‸,其中,.‸Ⅰ㤮若曲线=‸‸㤮在(ᦙ‸ᦙ㤮)的切线方程为=‸䁡,求,的值;‸Ⅱ㤮若‸‸㤮在‸=䁡处取得极值,求的值;‸Ⅲ㤮若‸‸㤮在‸ᦙ㤮上为增函数,求的取值范围.‸20.设函数‸‸㤮,‸‸㤮=ln‸.‸‸‸Ⅰ㤮若直线‸=‸䁕㤮与曲线‸‸㤮和‸‸㤮分别交于点和,求㈱㈱的最小值;‸Ⅱ㤮设函数‸‸㤮=‸‸‸㤮‸‸㤮,当‸ln㤮时,证明:‸‸㤮存在极小值点‸,且‸‸ln‸㤮ܽ.试卷第3页,总7页,参考答案与试题解析2020-2021学年天津市南开区高三(上)期中数学试卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.C2.D3.B4.A5.B6.B7.D8.C9.D二、填空题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分.10.11.12.ᦙ,13.14.15.‸䁡,‸䁡㤮三、解答题:本大题共5题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(1)因为sinsinsin=.所以由正弦定理可得=䁡,设=,=,其中䁕,可得cos===,因为‸㤮,可得=.(2)由‸Ⅰ㤮可得cos===-,可得sin==,cos=cosᦙ=-,sin=sincos试卷第4页,总7页,=-,可得cos‸ᦙ㤮=coscossinsin=(-)).17.解:‸㤮若‸㤮䁡,则‸㤮㈱ᦙ㈱䁡,时,ᦙ,解得ᦙ(舍);ܽ时,ᦙ,解得.综上可知,.‸㤮∵‸‸㤮㈱‸ᦙ㈱‸,‸㤮‸ᦙ‸∴‸‸㤮‸ᦙ㤮‸‸ܽ′又函数‸‸㤮㈱‸ᦙ㈱‸‸R㤮有最小值,∴解得ᦙ,ᦙ即当ᦙ时,‸‸㤮有最小值.‸䁡㤮∵‸‸㤮为定义在R上的奇函数,∴‸㤮.设‸䁕,则ᦙ‸ܽ,当‸ܽ时,‸‸㤮‸‸㤮‸ᦙ㤮‸,当‸䁕时,‸‸㤮ᦙ‸ᦙ‸㤮‸ᦙ㤮‸ᦙ,‸ᦙ㤮‸‸ܽ∴‸‸㤮‸‸ᦙ㤮‸ᦙ‸䁕′18.(1)函数‸‸㤮=sin‸ㄴsin‸ᦙ‸㤮sin‸‸)=ㄴ=sin‸ᦙcos‸ㄷ=sin‸‸ᦙ),所以‸‸㤮的最小正周期为==;(2)令ㄴ‸ᦙ,;‸;试卷第5页,总7页,所以‸‸㤮的单调递减区间为[,,;‸Ⅲ㤮由‸,],得‸ᦙ,];所以sin‸䁡‸ᦙ)ᦙ,所以sin‸‸ᦙ);即‸‸㤮在区间,]上的取值范围是.19.(1)∵‸‸㤮=‸䁡ᦙ‸㤮‸䁡‸,∴‸‸㤮=ㄴ‸ᦙ‸㤮‸ㄴ,故‸ᦙ㤮=ᦙͻᦙㄷ,‸ᦙ㤮=,故切线方程是:ͻㄷᦙ=‸㤮‸‸㤮,整理得:=‸㤮‸䁡=‸䁡,故,解得:;(2)‸‸㤮=ㄴ‸ᦙㄴ‸㤮‸ㄷ=ㄴ‸‸ᦙ㤮‸‸ᦙ㤮,∵‸‸㤮在‸=处取得极值,∴‸䁡㤮=ㄴ‸䁡ᦙ㤮‸ᦙ㤮=,经检验当=䁡时,‸=䁡是‸‸㤮的极值点;‸Ⅲ㤮令‸‸㤮=ㄴ‸‸ᦙ㤮‸‸ᦙㄷ㤮=,解得:‸=,‸=,当ܽ时,若‸‸ᦙ㤮,故‸‸㤮在‸ᦙ㤮和‸,故ܽ时,‸‸㤮在‸ᦙ,当ㄷ时,若‸‸ᦙ,‸,则‸‸㤮䁕,故‸‸㤮在‸ᦙ㤮,㤮递增,故‸‸㤮在‸ᦙ㤮递增,综上,当‸‸㤮在‸ᦙ.‸‸‸ᦙ‸20.(1)设函数‸‸㤮‸‸㤮ᦙ‸‸㤮ᦙln‸ᦙ‸‸䁕㤮,则‸‸㤮ᦙ‸‸‸‸‸‸ᦙ㤮‸‸ᦙ㤮,‸‸当‸‸㤮时,‸ᦙ䁕,故当‸‸㤮时,‸‸㤮ܽ,‸‸㤮单调递减,当‸‸㤮时,‸‸㤮䁕,‸‸㤮单调递增,∴‸‸㤮在‸㤮上有最小值‸㤮=ᦙ,∴当=时,㈱㈱的最小值为ᦙ;‸‸(2)证明:‸‸㤮‸ln‸㤮,则‸‸㤮‸ᦙln‸㤮,‸‸‸‸因为䁕,所以‸‸㤮与ᦙln‸同号.‸‸试卷第6页,总7页,‸ᦙ‸‸‸ᦙ㤮设‸‸㤮ᦙln‸,则‸‸㤮䁕,‸‸‸䁡‸䁡故‸‸㤮在‸㤮单调递增,因‸ln㤮,‸㤮=䁕,‸㤮lnܽ,所以存在‸‸㤮,使得‸‸㤮=,当‸‸‸㤮,‸‸㤮ܽ,‸‸㤮单调递减;当‸‸‸㤮,‸‸㤮䁕,‸‸㤮单调递增;所以若‸ln㤮,存在‸‸㤮,使得‸是‸‸㤮的极小值点,ᦙ‸由‸‸㤮=得‸ᦙ‸ln‸,即ln‸‸ᦙ‸‸,所以‸‸ln‸㤮‸ᦙ‸ܽ.‸试卷第7页,总7页
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高中 - 数学
发布时间:2021-09-05 20:46:17
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文章作者: 真水无香
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