2020-2021学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷【高中数学，期中数学试卷，含答案word可编辑】

2020-2021学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。)1.已知集合A＝{x|x-3&le;0}，B＝{0,&thinsp;2,&thinsp;4}，则A&cap;B＝（）A.{0,&thinsp;2}B.{0,&thinsp;2,&thinsp;4}C.{x|x&le;3}D.{x|0&le;x&le;3}2.已知向量＝(m,&thinsp;2)，＝(2,&thinsp;-1)．若&thinsp;//&thinsp;，则m的值为（）A.4B.1C.-4D.-13.命题&ldquo;&exist;x&gt;0，使得2x&ge;1&rdquo;的否定为（）A.&exist;x&gt;0，使得2x&lt;1B.&exist;x&le;0，使得2x&ge;1C.&forall;x&gt;0，都有2x&lt;1D.&forall;x&le;0，都有2x&lt;14.设a，b&isin;R，且a<b<0，则（）a.<b.>C.&gt;D.+&gt;25.下列函数中，是偶函数且在区间(0,&thinsp;+&infin;)上为增函数的是（）A.y＝2lnxB.y＝|x3|C.y＝x-D.y＝cosx6.已知函数f(x)＝lnx+x-4，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是（）A.(0,&thinsp;1)B.(&thinsp;1,&thinsp;2)C.(2,&thinsp;3)D.(3,&thinsp;4)7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an(n=1,&thinsp;2,&thinsp;3,&hellip;)，则a2020=()A.0B.1C.2020D.20218.已知函数y＝Asin(&omega;x+&phi;)的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t(t&gt;0)个单位长度，得到函数y＝f(x)的图象．若函数y＝f(x)为奇函数，则t的最小值是（）A.B.C.D.9.设x，y是实数，则&ldquo;0<x<1，且0<y<1”是“log2x+log2y<0”的（）a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件试卷第7页，总8页, 10.="">0,&thinsp;f(x)＝(-x)}中恰有k个元素，则称函数f(x)是&ldquo;k阶准偶函数&rdquo;．若函数f(x)＝是&ldquo;2阶准偶函数&rdquo;，则a的取值范围是（）A.(-&infin;,&thinsp;0)B.[0,&thinsp;2)C.[0,&thinsp;4)D.[2,&thinsp;4)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。)11.若复数z＝(1+i)i，则|z|＝________．12.已知tan(&theta;-）＝2，则tan&theta;＝________．13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝9，公差d＝-2，则Sn的最大值为________．14.在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点．①若＝x+y，则x+y＝________；②＝________．15.唐代李皋发明了&ldquo;桨轮船&rdquo;，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子的半径为3m，它以1rad/s的角速度逆时针旋转．轮子外边沿有一点P，点P到船底的距离是H（单位：m），轮子旋转时间为t（单位：s）．当t＝0时，点P在轮子的最高点处．①当点P第一次入水时，t＝________；②当t＝t0时，函数H(t)的瞬时变化率取得最大值，则t0的最小值是________．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。)16.在△ABC中，sinB=2sinC，cosA=34．(Ⅰ)若△ABC的面积为7，求c的值；(Ⅱ)求ac的值．17.已知等差数列{an}满足a5＝9，a3+a9＝22．(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)等比数列{bn}的前n项和为Sn，且b1＝a1，再从条件①、条件②、条件③试卷第7页，总8页, 这三个条件中选择两个作为已知条件，求满足Sn&lt;2020的n的最大值．条件①：b3＝a1+a2；条件②：S3＝7；条件③：bn+1&gt;bn．18.已知函数f(x)＝ex(2x2-3x)．(Ⅰ)求不等式f(x)&gt;0的解集；(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0,&thinsp;2]上的最大值和最小值．19.已知函数f(x)＝2sin(x+）．(Ⅰ)求f(x)的单调递减区间；(Ⅱ)设g(x)＝f(x)f(x-）．当x&isin;[0,&thinsp;m]时，g(x)的取值范围为[0，2+]，求m的最大值．20.已知函数f(x)＝ax3-3ax2+2+4a．(Ⅰ)当a＝-1时，求曲线y＝f(x)在点（3,&thinsp;f(3)）处的切线方程；(Ⅱ)若函数f(x)在区间(a,&thinsp;a+3)上具有单调性，求a的取值范围；(Ⅲ)当a&gt;0时，若x1+x2&gt;2，求f(x1)+f(x2)的取值范围．21.已知{an}是无穷数列，a1＝a，a2＝b，且对于{an}中任意两项ai，aj(i<j)，在{an}中都存在一项ak(j<k<2j)，使得ak＝2aj-ai．(ⅰ)若a＝3，b＝5，求a3；(ⅱ)若a＝b＝0，求证：数列{an}中有无穷多项为0；(ⅲ)若a≠b，求数列{an}的通项公式．试卷第7页，总8页,>bn，所以b2&gt;b1，所以q＝2，所以，所以2n-1&lt;2020，解得n&le;10．(iii)选择②③：由①可知：an＝2n-1，所以a1＝1，a2＝3，所以b1＝1，因为S3＝7，所以b1+b2+b3＝7，因为数列{bn}为等比数列，所以1+q+q2＝7，解得：q＝2或q＝-3，因为bn+1&gt;bn，所以b2&gt;b1，所以q＝2，所以，所以2n-1&lt;2020，解得n&le;10．18.（1）由于ex&gt;0恒成立，故题中的不等式即2x2-3x&gt;0，即x(2x-3)&gt;0，据此可得不等式的解集为：{x|x&lt;0或&nbsp;}．（2）由函数的解析式可得：f&#39;(x)试卷第7页，总8页, ＝ex(2x2+x-3)，当x&isin;[0,&thinsp;1]时，f&rsquo;(x)&lt;0，f(x)单调递减，当x&isin;[1,&thinsp;2]时，f&rsquo;(x)&gt;0，f(x)单调递增，且：f(0)＝e0&times;0＝0，f(1)＝e1&times;(-1)＝-e，f(2)＝e2&times;2＝2e2，故函数的最大值为2e2，最小值为-e．19.（1）函数的单调递减区间满足的条件为：+2k&pi;&le;x+&le;&pi;+2k&pi;，k&isin;Z，解得：+k&pi;&le;x&le;+k&pi;，k&isin;Z，所以f(x)的单调递减区间为{x|+k&pi;&le;x&le;+k&pi;，k&isin;Z}；（2）由题意可得：g(x)＝2sin(x+）&sdot;2sinx＝2sin2x+2sinxcosx＝&bull;(1-cos2x)+sin2x＝+2sin(2x-），由x&isin;[0,&thinsp;m]时，可得2x-&isin;[-，2m-]，由g(x)的取值范围为[0，2+]，可得2sin(2x-）&isin;[-，2]，所以&le;2x-&le;&pi;，解得&pi;&le;x&le;&pi;，所以m的最大值为&pi;．20.（1）当a＝-1时，f(x)＝-x3+3x2-2，f&#39;(x)＝-3x2+6x，f&#39;(3)＝-9，f(3)＝-2，&there4;在点（3,&thinsp;f(3)）处的切线方程为y+2＝-9(x-3)，即9x+y-25＝0．（2）f&#39;(x)＝3ax2-6ax＝3ax(x-2)，若a&gt;0，则f&#39;(x)&gt;0的解集为(-&infin;,&thinsp;0)&cup;(2,&thinsp;+&infin;)，即f(x)在(-&infin;,&thinsp;0)，(2,&thinsp;+&infin;)上单调递增；f&#39;(x)&lt;0的解集为(0,&thinsp;2)，即f(x)在(0,&thinsp;2)上单调递减，若a&lt;0，则f(x)在(0,&thinsp;2)上单调递增，f(x)在(-&infin;,&thinsp;0)，(2,&thinsp;+&infin;)上单调递减，若a＝0，f(x)为常函数，若函数f(x)在区间(a,&thinsp;a+3)上具有单调性，①当a&gt;0时，(a,&thinsp;a+3)&sube;(2,&thinsp;+&infin;)，解得a&ge;2；②当a&lt;0时，(a,&thinsp;a+3)&sube;(-&infin;,&thinsp;0)，解得a&le;-3，综上，a的取值范围是(-&infin;,&thinsp;-3]&cup;[2,&thinsp;+&infin;)．(Ⅲ)先证明f(x1)+f(x2)&ge;4，由(Ⅱ)得：当a&gt;0时，f(x)在(-&infin;,&thinsp;0)递增，在(0,&thinsp;2)递减，在(2,&thinsp;+&infin;)递增，∵试卷第7页，总8页, x1+x2&gt;2，不妨设x1&le;x2，则x2&gt;1，①若x1&le;0，则x2&gt;2-x1&ge;2，故f(x1)+f(x2)&gt;f(x1)+f(2-x1)＝4+4a&gt;4，②若x1&gt;0，∵x2&gt;1，&there4;f(x1)+f(x2)&ge;f(2)+f(2)＝4，当且仅当x1＝x2＝2时成立，综上，f(x1)+f(x2)&ge;4，再证明：f(x1)+f(x2)的取值范围是[4,&thinsp;+&infin;)，假设存在常数m(m&ge;4)，使得对任意x1+x2&gt;2，f(x1)+f(x2)&le;m，取x1＝2，且x2&gt;2+，则f(2)+f(x2)＝2+ax2+a+2&gt;a+4&gt;m，与f(x1)+f(x2)&le;m矛盾，故f(x1)+f(x2)的取值范围是[4,&thinsp;+&infin;)．21.（1）取i-1，j＝2，则存在ak(2<k<4)，使得ak＝2a2-a1，即a3＝2a2-a1，∵a1＝a＝3，a2＝b＝5，∴a3＝2a2-a1＝7．（2）证明：假设{an}中仅有有限项为0，不妨设am＝0，且当n>m时，an均不为0，则m&ge;2，取i＝1，j＝m，则存在ak(m<k<2m)，使得ak＝2am-a1＝0，与ak≠0矛盾，故数列{an}中有无穷多项为0．(ⅲ)①当a<b时，首先证明数列{an}是递增数列，即证明∀n∈n*，an<an+1恒成立，若不然，则存在最小的正整数n0，使得an≥an+1，且，当n0≥2，取j＝n0，i＝1，2，…，n0-1，则存在ak(n0<k<2n0)，使得，∵>，&there4;，这n0-1个不同的数恰为这n0-1项，&there4;与矛盾，&there4;数列{an}是递增数列，再证明：an＝a+(n-1)(b-a)，n＝1，2，3，&hellip;，记d＝b-a，即证an＝a+(n-1)d，n＝1，2，3，&hellip;，当n＝1，2时，结论成立，假设存在最小的正整数m0，使得an＝a+(n-1)d对任意1&le;n&le;m0恒成立，但，则m0&ge;2，取j＝m0，i＝1，2，&hellip;，m0-1，则存在ak(m0)，使得，∵数列{an}是递增数列，&there4;试卷第7页，总8页, ，∵这m0-1个数恰为，&hellip;，这m0-1项，&there4;＝＝2[a+(m0-1)d]-[a+(m0-2)d]＝a+m0d与&ne;a+m0d矛盾，&there4;an＝a+(n-1)(b-a)，n＝1，2，3，&hellip;，则b1＝-a，b2＝-b，且b1</k<2m)，使得ak＝2am-a1＝0，与ak≠0矛盾，故数列{an}中有无穷多项为0．(ⅲ)①当a<b时，首先证明数列{an}是递增数列，即证明∀n∈n*，an<an+1恒成立，若不然，则存在最小的正整数n0，使得an≥an+1，且，当n0≥2，取j＝n0，i＝1，2，…，n0-1，则存在ak(n0<k<2n0)，使得，∵></k<4)，使得ak＝2a2-a1，即a3＝2a2-a1，∵a1＝a＝3，a2＝b＝5，∴a3＝2a2-a1＝7．（2）证明：假设{an}中仅有有限项为0，不妨设am＝0，且当n></j)，在{an}中都存在一项ak(j<k<2j)，使得ak＝2aj-ai．(ⅰ)若a＝3，b＝5，求a3；(ⅱ)若a＝b＝0，求证：数列{an}中有无穷多项为0；(ⅲ)若a≠b，求数列{an}的通项公式．试卷第7页，总8页,></x<1，且0<y<1”是“log2x+log2y<0”的（）a.充分而不必要条件b.必要而不充分条件c.充分必要条件d.既不充分也不必要条件试卷第7页，总8页,></b<0，则（）a.<b.>