北京市2020-2021学年某校高三（上）期中数学试卷【高中数学，期中数学试卷，含答案word可编辑】

2020-2021学年某校高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）)1.已知全集＝，集合＝′〱′䁕，＝′〱′െ䁕，则＝（）A.′〱′䁕B.′〱െ′䁕C.′〱െ′䁕D.′〱′䁕2.下列命题中的假命题是（）A.′，sin′＝B.′，ln′＝C.′，′െD.′，′െ3.已知向量＝㈠㐵，＝㐵，若-与共线，则实数＝（）A.B.C.D.㈠4.已知′是上的奇函数，当′െ时，′＝log′，则′െ的解集是（）A.㐵െB.െ㐵C.㐵െ㐵D.㐵െെ㐵5.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数′的图象，则′＝（）A.B.C.cos′D.cos′6.已知，R，且െ，则下列结论恒成立的是()A.B.C.D.7.已知三角形o，那么“”是“三角形o为锐角三角形”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.声音的等级′（单位：）与声音强度′（单位：）满足′െ′lg．喷气式飞机起飞时，声音的等级约为Ͷെ；一般说话时，声音的等级约െ为െ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（）A.െ倍B.െ倍C.െെ倍D.െ倍9.函数′sin′，′㐵的大致图象是（）试卷第1页，总8页,A.B.C.D.10.已知函数′＝给出下列三个结论：①当＝时，函数′的单调递减区间为㐵；②若函数′无最小值，则的取值范围为െ㐵；③若且െ，则，使得函数＝′恰有个零点′，′，′，且′′′＝．其中，所有正确结论的个数是（）A.െB.C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）)11.函数′的定义域为________．12.已知（，，且sin＝，则cos＝________，tan）＝________．13.已知非零向量，满足〱〱＝〱-〱，则-与的夹角等于________．14.圆′′＝െ与直线相切于点㐵，则圆的半径为________，直线的方程为________．15.关于′的方程′＝的实根个数记为．若′＝ln′，则＝________；若′＝，存在使得成立，则的取值范围是________．三、解答题（本大题共6小题，共85分）)16.在o中，＝，ㄷ＝，cos．Ⅰ求，ㄷ的值；Ⅱ求sino的值．17.已知函数′＝′′，′＝′．Ⅰ求曲线＝′在点（㐵）处的切线方程；试卷第2页，总8页,Ⅱ求函数′在െ㐵上的最大值；Ⅲ求证：存在唯一的′െ，使得′െ＝′െ．18.已知函数′＝cos′sin′．Ⅰ求െ的值；Ⅱ从①＝，＝；②＝，＝这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数′在[-，]上的最小值，并直接写出函数′的一个周期．19.已知：函数′＝sin′′cos′．（1）求；（2）求证：当′െ，）时，′′；（3）若′ሻ′′cos′对′െ，）恒成立，求实数ሻ的最大值．20.已知为平面直角坐标系的原点，过点㐵െ的直线与圆′交于，两点．（1）若，求直线的方程；（2）若与的面积相等，求直线的斜率．㐵′21.对于集合，定义函数′对于两个集合，，定义集合㐵′＝′〱′′＝䁕．已知＝㐵Ͷ㐵㐵㐵െ䁕，＝㐵㐵Ͷ㐵㐵䁕．Ⅰ写出和的值，并用列举法写出集合；Ⅱ用o表示有限集合所含元素的个数，求o.o.的最小值；Ⅲ有多少个集合对㐵，满足，，且＝？试卷第3页，总8页,参考答案与试题解析2020-2021学年某校高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.B2.A3.D4.C5.C6.D7.B8.B9.D10.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.㐵12.-,13.െ14.,′Ͷ＝െ15.,三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.（1）∵＝，ㄷ＝，cos．∴由余弦定理，得＝ㄷㄷcos，∴＝，∴ㄷ＝＝㈠；（2）在o中，∵cos，∴sin，ㄷ由正弦定理有：，sinosinㄷsin㈠㈠∴sino，Ͷ∵ㄷ，∴o，∴o为锐角，∴coso，Ͷ∴sino＝sincosocossino㈠ͶͶͶ．17.（1）由′＝′′，得′＝′，所以＝，又＝െ所以曲线＝′在点（㐵）处的切线方程为：െ＝′，即：′＝െ．试卷第4页，总8页,（2）令′＝െ，得．′与′在区间െ㐵的情况如下：′′-െ+′极小值因为െ＝െ，＝，所以函数′在区间㐵上的最大值为．Ⅲ证明：设′＝′′＝′′，则′＝′＝′′，令′＝െ，得′＝．′与′随′的变化情况如下：′㐵㐵㐵′+െ-െ+′↗极↘极↗大小值值则′的增区间为㐵，㐵，减区间为㐵．又＝െ，െ，所以函数′在㐵没有零点，又＝㈠െ，所以函数′在㐵上有唯一零点′െ．综上，在㐵上存在唯一的′െ，使得′െ＝′െ．18.（1）由函数′＝cos′sin′，则െ＝cosെsinെ＝；（2）选择条件①，则′的一个周期为；由′＝cos′sin′＝cos′sin′＝＝；因为，所以；试卷第5页，总8页,所以，所以；当，即时，′在取得最小值为．选择条件②，则′的一个周期为；由′＝cos′sin′＝sin′sin′＝；因为，所以；所以当sin′＝，即时，′在取得最小值为．19.′＝sin′′cos′，＝，证明：令′＝′′，′െ，），′＝′sin′′，令′＝sin′′，′＝cos′െ，∴′在′െ，）递减，故′െ＝െ，∴′െ，′递减，∴′（）＝െ，故当′െ，）时，′′成立；若′ሻ′′cos′对′െ，）恒成立，即ሻ对′െ，）恒成立，令′＝，′െ，），试卷第6页，总8页,′＝，令′＝′cos′sin′，′െ，），则′＝cos′′sin′cos′＝′sin′െ，故′在െ，）递减，故′െ＝െ，故′െ，∴′在െ，）递减，′（）＝，故ሻ，故ሻ的最大值是．20.解：（1）依题意，直线的斜率存在，因为直线过点㐵െ，可设直线ǣሻ′．因为、两点在圆′上，所以，〱〱〱〱，因为，所以，〱〱〱〱cos，〱ሻ〱㈠所以，െ，所以，到直线的距离等于．所以，，得ሻ，ሻ㈠所以直线的方程为㈠′㈠㈠െ，或㈠′㈠㈠െ，即′㈠െ，或′㈠െ．（2）因为与的面积相等，所以，，设′㐵，′㐵，所以，′㐵，′㐵．′′′′所以，，即⸴；因为，两点在圆上，′′′所以，把⸴代入，得，所以，，′Ͷ′Ͷ㈠㈠㈠所以，直线的斜率ሻሻ，即ሻ．21.（1）结合所给定义知，＝，＝，＝㐵㐵െ㐵䁕．（2）根据题意可知：对于集合o，.，①若o且.，则oo.䁕＝oo.；试卷第7页，总8页,②若o且.，则oo.䁕＝oo.．所以要使o.o.的值最小，，Ͷ，一定属于集合.；，，െ，是否属于.不影响o.o.的值，但集合.不能含有之外的元素．所以当.为集合㐵㐵െ㐵䁕的子集与集合㐵Ͷ㐵䁕的并集时，o.o.取到最小值Ͷ．所以o.o.的最小值Ⅲ因为＝′〱′′＝䁕，所以＝．由定义可知：′＝′′．所以对任意元素′，（）o′＝′o′＝′′o′，（o）′＝′o′＝′′o′．所以′＝′．（）o（o）所以o＝o．由＝知：＝．所以＝．所以＝．所以＝，即＝．因为，，所以满足题意的集合对㐵的个数为＝．试卷第8页，总8页