2020-2021学年上海市某校高二（上）期中数学试卷【高中数学，期中数学试卷，含答案word可编辑】

2020-2021学年上海市某校高二（上）期中数学试卷一.填空题)1.过点耀㌳䁃且法向量为耀㌳䁃的直线方程是________．2.设向量＝‸耀䁃，＝耀䁃，则在上的投影为________．3.已知点耀䁃，‸耀䁃，动点点耀䁃满足＝点，则动点的轨迹方程是________．4.直线点䀀＝与点䀀‸＝的夹角是________．5.已知方程点䀀点䀀䀀ܦ点䀀䀀ܧ＝表示一个圆的充要条件是________．6.圆心在直线＝点䀀㌳上，且与直线点䀀＝相切于点㌳耀㌳䁃的圆的方程是________-）+（________-）＝．7.已知点耀‸䁃，‸耀䁃，直线过点㌳耀㌳䁃且与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为________．8.已知直线ǣ点㌳＝，㌳ǣ点＝．若直线与㌳关于对称，则的方程为________．㌳9.在䁨中，ܦܦ䁨，，点ܧ为ܦ䁨内（包括边界）任意一点，若ܧ䀀ܦ，则的取值范围为________．10.若恰有三组不全为的实数对实耀䁃满足关系式实䀀䀀‸＝ͷ实‸䀀‸＝，则实数的所有可能的值为________，．二.选择题)11.“两条直线的斜率乘积为㌳”是“两条直线互相垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件12.已知点实耀䁃在圆ǣ点䀀＝㌳外，则直线实点䀀＝㌳与圆的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定13.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线䁨ǣ点䀀㌳䀀点就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线䁨恰好经过个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线䁨上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线䁨所围成的“心形”区域的面积小于‸．其中，所有正确结论的序号是()试卷第1页，总8页,A.①B.②C.①②D.①②③14.已知、、是平面内的三个单位向量，若，则䀀䀀‸䀀-的最小值为（）A.‸B.C.D.ͷ三.解答题)15.已知，且向量与不共线．（1）若与的夹角为ͷ，求；（2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．16.已知䁨的顶点耀㌳䁃，边上的中线所在直线的方程为点䀀‸㌳＝，的平分线所在直线的方程为点䀀ͷ＝．（1）求点坐标；（2）求䁨边所在的直线方程．17.在䁨中，䁨＝，䁨＝，䁨＝，点为䁨所在平面上一点，满足䁨䀀，且䀀㌳䁃．（1）证明：䁨䁨䀀䁨；䀀㌳䀀㌳（2）若点为䁨的重心，求、的值；（3）若点为䁨的外心，求、的值．试卷第2页，总8页,18.（1）已知直线过点‸耀䁃，若直线在两坐标轴上的截距之和为㌳，求直线的一般式方程；（2）已知直线过点‸耀䁃且与点轴，轴的正半轴相交于，两点，求面积最小值及这时直线的一般式方程；（3）已知直线经过点耀䁃，且与第一象限的平分线＝点点䁃，轴（原点除外）分别交于，两点，直线，射线＝点点䁃，轴围成的三角形的面积为㌳，则符合要求的直线共有几条，请说明理由．四．附加题)19.已知曲线䁨ǣ＝实点，直线、都过点㌳耀䁃且互相垂直，若曲线䁨与直线、㌳㌳中的至少一条相交，求实的取值范围．20.设൏实൏，过两定点实耀䁃和耀䁃分别引直线和，使与抛物线＝点有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线与的交点的轨迹．试卷第3页，总8页,参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高二（上）期中数学试卷一.填空题1.点ͷ＝2.3.＝点4.arctan5.＝且ܦ䀀ܧܨ6.点,‸7.耀䁃耀䀀䁃8.点㌳＝9.䁚耀㌳䁃10.，二.选择题11.A12.A13.C14.B三.解答题15.∵与的夹角为ͷ，∴＝＝．∴＝-＝䀀．∵向量与的夹角为钝角，∴（）•（，且不能反向共线，∴＝㌳൏，解得㌳൏൏㌳∴实数的取值范围是ͷ耀㌳䁃䁃．16.设耀䁃，由题意可知，，∴䀀ͷ＝①，从而的中点㌳䀀，），因为边上的中线所在直线的方程为点䀀‸㌳＝，试卷第4页，总8页,所以䀀䀀㌳＝②，①②联立可得，＝∴，），设关于点䀀ͷ＝对称的点ܦ点耀䁃，则，解可得，点＝，由题意可得ܦ耀ͷ䁃在䁨上，∴䁨边所在的直线斜率＝＝，故䁨所在的直线方程为＝即点䀀ͷ＝．17.䁨䀀䁨䀀䁨䁃䀀䁨䀀䁨䁃，∴䁨䁨䀀䁨，䀀㌳䀀㌳点为䁨的重心，∴䀀䀀䁨，∴＝㌳，＝㌳；点为䁨的外心，㌳㌳㌳∴䁨䁨䁨㌳䁚，䁨䁨䁨，䁨䁨，∵䁨䁨䁨䁨䀀䁨䁨，䁨䁨䁨䁨䀀䁨䁨，䀀㌳䀀㌳䀀㌳䀀㌳‸‸∴，䀀㌳‸∴．ͷ18.由题意显然直线的斜率存在求不为，设直线的方程为＝点䀀，由直线过点‸耀䁚䁃，所以＝‸䀀，试卷第5页，总8页,所以直线在点轴的截距-＝䁚，在轴的截距为＝‸䀀，由题意可得‸䀀＝㌳㌳㌳＝，解得：＝-或＝，所以直线的方程为：＝-点䀀‸或＝点䀀㌳，即点䀀쳌＝或䁚点䀀㌳＝；直线过点‸耀䁃且与点轴，两点，设直线方程为＝点䀀，൏，䁃，所以ͷ＝‸䀀，所以＝ͷ，可得在点轴的截距为：-＝‸，在轴的截距为＝‸，所以＝‸䁃㌳䀀쳌䁃䀀，因为ܨ，-ܨ‸，所以•㌳䀀䁃䀀㌳䀀，当且仅当쳌＝-，＝ͷ＝，所以面积最小值为㌳，此时直线的方程为＝-；符合要求的直线共有㌳条；理由如下：设直线的方程为：＝点䀀，ܨ且൏，䁃，即＝，所以在轴的截距为＝൏，即ܨ㌳，与直线＝点的交点为点＝＝，所以可得＝•点点＝••䀀䁚䁃＝）䀀䁃＝-试卷第6页，总8页,，由题意可得＝㌳解得＝（舍去）或＝．∴符合要求的直线共有䁚条．四．附加题19.由题意，可得实，若实൏，可得曲线䁨为开口向下的抛物线，‸䁃为第四象限的点，可得曲线䁨与直线㌳、中的至少一条相交；若实ܨ䁚，先考虑抛物线与直线㌳，都没有交点．则可设的斜率存在，且不为㌳的斜率为，则的斜率为-，则㌳的方程为䀀＝点㌳䁃，的方程为䀀＝-点㌳䁃，由可得实点点䀀䀀＝，由与＝实点的图象没有交点，则＝ͷ实䀀䁃൏，①㌳同理可得，由与＝实点的图象没有交点，则＝（-）ͷ实䀀䁃൏，②由①得实൏൏实䀀，由②得൏或ܨ，若①②无解，可得试卷第7页，总8页,实，解得൏实，所以①②有解等价为实ܨ，所以曲线䁨与直线㌳、ͷ中的至少一条相交，则实的取值范围是，]．综上可得，实的取值范围是，]．20.设ǣ＝㌳点实䁃，ǣ＝点䁃，于是点㌳实䁃点ͷ䁃＝．∴交点满足若四个交点共圆，则此圆可写为点实䁃点䁃䀀点䁃＝．㌳此方程中点项必为，故得＝，设㌳＝＝，于是．消去，得点实䀀䁃＝．试卷第8页，总8页