2020-2021学年北京市某校高二（上）期中数学试卷【高中数学，高考数学试卷，含答案word可编辑】
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2020-2021学年北京市某校高二（上）期中数学试卷一．选择题共13小题，每小题4分，共52分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题意要求的一项。)1.已知全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6}，集合A={1, 2, 4}，B={1, 3, 5}，则(∁UA)∩B=()A.{1}B.{3, 5}C.{1, 6}D.{1, 3, 5, 6}2.已知复数z在复平面上对应的点为(1, -1)，则（）A.z+1是实数B.z+1是纯虚数C.z+i是实数D.z+i是纯虚数3.已知向量a→=(-1, 2, 1)，b→=(3, x, 1)，且a→⊥b→，那么|b→|等于（）A.10B.11C.23D.54.设a=213，b=log32，c=cos100∘，则（）A.c>b>aB.a>c>bC.c>a>bD.a>b>c5.下列函数中，在定义域内满足f(-x)+f(x)=0的是（）A.f(x)＝xB.f(x)=ln|x|C.f(x)=xcosxD.f(x)＝1x-16.在下列四个命题中，正确的是（）A.平面直角坐标系中任意一条直线均有倾斜角和斜率B.四条直线中斜率最大的直线是l3C.直线x+2y-3＝0的斜率是2D.经过(5, m)和(m, 8)的直线的斜率是1，则m=1327.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD=AA1=1，AB=2，则BD1→⋅AD→等于（）A.1B.2C.3D.63试卷第9页，总9页, 8.如图，在三棱锥A-BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB=DC=2，点E为BC的中点，若直线AE与底面BCD所成的角为45∘，则三棱锥A-BCD的体积等于（）A.23B.43C.2D.2239.已知复数z的共轭复数z¯=2-i1+2i，i是虚数单位，则复数z的虚部是（）A.1B.-1C.iD.-i10.在空间中，已知直线a的方向向量为v→，平面α的法向量为n→，则“直线a与平面α相交”是“v→⋅n→≠0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内，若D1P垂直于CM，则△PBC的面积的最小值为（）A.255B.55C.45D.112.设空间直角坐标系中有四A，B，C，D个点，其坐标分别为A(1, 0, 0)，B(0, 1, 0)，C(2, 1, 4)，D(-1, -2, 8)，下列说法正确的是（）A.存在唯一的一个不过点A、B的平面α，使得点A和点B到平面α的距离相等B.存在唯一的一个过点C的平面β，使得AB // β，CD⊥βC.存在唯一的一个不过A、B、C、D的平面γ，使得AB // γ，CD // γD.存在唯一的一个过C、D点的平面α使得直线AB与α的夹角正弦值为123513.如图1，矩形ABCD中，AD=3．点E在AB边上，CE⊥DE且AE＝1．如图2，△ADE沿直线DE试卷第9页，总9页, 向上折起成△A1DE．记二面角A-DE-A1的平面角为θ，当θ∈(0∘, 180∘)时，①存在某个位置，使CE⊥DA1；②存在某个位置，使DE⊥A1C；③任意两个位置，直线DE和直线A1C所成的角都不相等．以上三个结论中正确的序号是（）A.①B.①②C.①③D.②③二、填空题)14.直线y＝-x-2的倾斜角是________，在y轴上的截距为________．15.已知直线l经过点P(1, 2)，且直线l的方向向量为a→=(2, 4)，则直线l的斜率为________，直线l的方程为________．16.已知向量a→=(13, tanα)，b→=(cosα, 1)，α∈(π2,π)，且a→∥b→，则sinα＝________，cos2α＝________．17.已知平面α的一个法向量是n→=(1, 1, -1)，且平面α经过点A(1, 2, 0)．若P(x, y, z)是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是________．18.函数f(x)=sinx的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，则下列函数g(x)的结论：①一条对称轴方程为x＝7π6；②点(5π6，0)时对称中心；③在区间(0,π3)上为单调增函数；④函数g(x)在区间[π2，π]上的最小值为-12．其中所有正确的结论为________.19.已知f(x)=1-|x+1|,x<0x2-2x,x≥0 ．（1）f(-1)＝________；（2）若实数m∈[-2, 0]，则|f(x)-f(-1)|在区间[m, m+2]上的最大值的取值范围是________．三、解答题共5小题，共68分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.)20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝22，b＝5，c=13．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)求试卷第9页，总9页, sinA的值；(Ⅲ)求sin(2A+π4)的值．21.已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x．(1)求f(π4)值；(2)求f(x)的最小值正周期；(3)求f(x)的单调递增区间．22.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2．（1）求证：A1C⊥BC；（2）求直线AC1和A1B1所成角的大小；（3）求直线AC1和平面ABB1A1所成角的大小．23.如图，三棱柱ABC-DEF的侧面BEFC是边长为1的正方形，面BEFC⊥面ADEB，AB=4，∠DEB=60∘，G是DE的中点．（1）求证：CE // 平面AGF；（2）求点D到平面AGF的距离；（3）在线段BC上是否存在一点P，使二面角P-GE-B为45∘，若存在，求BP的长；若不存在，说明理由．24.已知n∈N*，n≥2，给定n×n个整点(x, y)，其中1≤x，y≤n，x，y∈N*．(Ⅰ)当n＝2时，从上面的2×2个整点中任取两个不同的整点(x1, y1)，(x2, y2)，求x1+x2的所有可能值；(Ⅱ)从上面n×n个整点中任取m个不同的整点，m≥5n2-1．(ⅰ)证明：存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1', y1')，(x2, y2)，(x2', y2')，满足y1＝y1'试卷第9页，总9页, ，y2＝y2'，y1≠y2；(ⅱ)证明：存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1', y1)，(x2, y2)，(x2', y2)，满足x1+x1'＝x2+x2'，y1≠y2．试卷第9页，总9页, 参考答案与试题解析2020-2021学年北京市某校高二（上）期中数学试卷一．选择题共13小题，每小题4分，共52分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题意要求的一项。1.B2.C3.B4.D5.C6.D7.A8.D9.A10.C11.A12.B13.C二、填空题14.3π4,-215.2,2x-y=016.13,7917.x+y-z-3=018.②③④19.1[1, 2]三、解答题共5小题，共68分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.20.（1）由余弦定理以及a＝22，b＝5，c=13，则cosC=a2+b2-c22ab=8+25-132×22×5=22，∵C∈(0, π)，∴C=π4；（2）由正弦定理，以及C=π4，a＝22，c=13，可得sinA=asinCc=22×2213=21313；(Ⅲ) 由a<c，及sina=21313，可得cosa=1-sin2a=31313，则sin2a＝2sinacosa＝2×21313×31313=1213，∴cos2a＝2cos2a-1=513，∴sin(2a+π4)=22(sin2a+cos2a)=22(1213+513)=17226．试卷第9页，总9页, 21.="">=|BC→||m→|˙=14h23+1×1=14h23+1=22，解得h=32，线段BC上存在一点P，使二面角P-GE-B为45∘，此时BP=32．24.（1）当n＝2时，4个整点分别为(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(2, 2)，所以x1+x2的所有可能值为2，3，4；(2)(i)试卷第9页，总9页, 假设不存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1', y1')，(x2, y2)，(x2', y2')，满足y1＝y1'，y2＝y2'，y1≠y2；即在直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)中至多有一条直线上取多余1个整点，其余每条直线上至多取一个整点，此时符合条件的整点个数最多为n-1+n＝2n-1，而2n-1<52n-1，与已知m≥52-1矛盾，故存在互不相同的四个整点(x1, y1)，(x1', y1')，(x2, y2)，(x2', y2')，满足y1＝y1'，y2＝y2'，y1≠y2；(ii)设直线y＝i(1≤i≤n, i∈N+)有ai个选定的点，若ai≥2，设y＝i上的这ai个选定的点的横坐标为x1，x2，…，xn，且满足x1</c，及sina=21313，可得cosa=1-sin2a=31313，则sin2a＝2sinacosa＝2×21313×31313=1213，∴cos2a＝2cos2a-1=513，∴sin(2a+π4)=22(sin2a+cos2a)=22(1213+513)=17226．试卷第9页，总9页,>
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