2020-2021学年上海市某校高三（上）期中数学试卷【高中数学，期中数学试卷，含答案word可编辑】
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2020-2021学年上海市某校高三（上）期中数学试卷一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）)1.limn→∞2n2+5n2+4n+10=________．2.关于x的不等式x+1x-2<0的解集为________．3.已知集合A＝{y|y＝10x}，B＝{y|y＝lgx}，则A∩B＝________．4.若复数z满足(1+2i)z＝3+4i，其中i为虚数单位，则|z|＝________．5.已知公比为q的等比数列{an}满足a2+a4＝2a3，则q＝________．6.函数f(x)＝x-2(x>1)的反函数为________y=x-12(0<x<1)．7.已知lnx>lny，则|x-y|+1x+y2的最小值为________．8.已知角θ和角φ的始边均与x轴正半轴重合，终边互相垂直，若角θ的终边与单位圆交于点P(x0,13)，则cosφ＝________．9.在直角△ABC中，∠C=π2，M是BC的中点，若sin∠BAM=1010，则sin∠BAC＝________．10.已知函数f(x)=2x-1-21-x,x≤1|x-2|-1,x>1 ，则关于x的不等式f(x-1)+f(x)≤0的解集为________．11.设函数f(x)为定义在集合D上的偶函数，对任意x∈D都有f（f(x)）＝x，若方程f(x)+x＝0有解x0，则x0＝________．12.已知首项为13的数列{an}满足an+1=22an2+λ(n∈N*)，若an<22对任意正整数n恒成立，则实数λ的最大值为________24．二、选择题（每题5分，满分20分）)13.已知无穷等比数列{an}的首项为1，公比为13，则{an}各项的和为（）A.23B.34C.43D.3214.“cos(x-π2)=-1”是“x=kπ+π2,k∈Z”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件15.已知f(x)＝tanx，x∈Z，则下列说法中正确的是（）A.函数f(x)不为奇函数B.函数f(x)存在反函数C.函数f(x)试卷第5页，总6页, 具有周期性D.函数f(x)的值域为R16.设定义在R上的函数f(x)的值域为A，若集合A为有限集，且对任意x1、x2∈R，存在x3∈R使得f(x1)f(x2)＝f(x3)，则满足条件的集合A的个数为（）A.3B.5C.7D.无穷个三、解答题（本题共有5大题，满分76分）)17.在△ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，点M是边BC的中点，且3b=3acosC+csinA．（1）求A的值；（2）若a＝7，c＝5，求△ABM的面积．18.已知函数f(x)＝asinx+bcosx，其中ab≠0．（1）若b＝1，是否存在实数a使得函数f(x)为偶函数，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）若x=34π为函数f(x)的对称轴，求函数f(x)的单调增区间．19.诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类做出最有贡献人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额（即1999年的初始基金总额）已达19516万美元，基金平均年利率为r＝6.24%．（1）求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元（精确到0.01）；（2）设an表示(1998+n)年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中n∈N*，求数列{an}的通项公式，并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美元”的推测是否具有可信度．20.已知椭圆Γ:y212+x26=1，F是Γ的下焦点，过点R(0, 6)的直线l交Γ于M、N两点，（1）求F的坐标和椭圆Γ的焦距；（2）求△MNF面积的最大值，并求此时直线l的方程；（3）在y轴上是否存在定点S，使得∠RSM+∠RSN＝π恒成立？若存在，求出定点S的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知数列{an}满足：对任意n∈N*，都有an＝bn或an＝cn，其中数列{bn}是以b为首项，d为公差的等差数列，数列{cn}是以c为首项，q为公比的等比数列．（1）若an+1=an(n∈N*)，求d(q2-1)的值；（2）若d<0，q<0，证明：数列{an}不为递增数列；（3）已知b>0，c>0，d>0，设Sn为数列{an}的前n项和，若存在常数M，对任意n∈N*都有|Sn|≤M，求实数q的取值范围．试卷第5页，总6页, 参考答案与试题解析2020-2021学年上海市某校高三（上）期中数学试卷一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.22.(-1, 2)3.(0, +∞)4.55.16.y＝x-12，(0<x<1)7.748.±139.255，或2210.(-∞, 72="">0时，令2kπ-π2≤x-π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得2kπ-π4≤x≤2kπ+3π4，k∈Z，所以，单调增区间是[2kπ-π4,2kπ+3π4]，k∈Z，当a<0时，令2kπ+π2≤x-π4≤2kπ+3π2，k∈Z，解得2kπ+3π4≤x≤2kπ+7π4，k∈Z，所以，单调增区间是[2kπ+3π4,2kπ+7π4]，k∈Z．19.由题意得1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为19516×(1+6.24%)-12×19516×6.24%＝20124.8992≈20125万美元，每项诺贝尔奖发放奖金为16×(12×19516×6.24%)=101.4832≈101，48万美元；由题意得a1＝20125，a2＝a1⋅(1+6.24%)-12⋅a1⋅6.24%=a1⋅(1+3.12%)，a3＝a2⋅(1+6.24%)-12⋅a2⋅6.24%=a2⋅(1+3.12%)=a1⋅(1+3.12%)2…所以an＝20125⋅(1+3.12%)n-1，2019年诺贝尔奖发奖后基本总额为a21＝20125⋅(1+3.12%)20，2020年每项诺贝尔奖发放奖金为16×12×a21×6.24%≈193.46万美元，故该推测具有可信度．20.椭圆Γ:y212+x26=1，可得a＝23，b=6，所以c=6，F(0,-6)，焦距为2c=26；由题意得直线l的斜率存在，设直线l:y＝kx+6，由y212+x26=1y=kx+6 得(k2+2)x2+12kx+24＝0，所以△＝144k2-96(k2+2)＝48(k2-4)>0，故k2-4>0，设M(x1, y1)，N(x2, y2)，则x1+x2=-12kk2+2，x1x2=24k2+2，所以|MN|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(-12kk2+2)2-424k2+2=1+k2k2+2144k2-96(k2+2)=1+k2k2+248k2-192=431+k2k2+2k2-4（或用|MN|=1+k2△A）试卷第5页，总6页, 点F到直线l的距离d=|6+6|1+k2，所以S△MNF=12|MN|⋅d=12431+k2k2+2k2-4|6+6|1+k2=23(6+6)k2-4k2+2，令t=k2-4>0，则S△MNF=23(6+6)tt2+6=23(6+6)1t+6t，所以S△MNF≤23(6+6)126=3+32，当且仅当k=±10时取等号，所以△MNF面积的最大值为3+32，此时直线l的方程为y=±10x+6；当直线l的斜率存在时，由（2）得x1+x2=-12kk2+2，x1x2=24k2+2，因为∠RSM+∠RSN＝π，所以kMS+kNS＝0，即y1-tx1+y2-tx2=0，所以x2(y1-t)+x1(y2-t)＝0，所以x2(kx1+6-t)+x1(kx2+6-t)＝0，所以2kx1x2+(6-t)(x1+x2)＝0，所以2k24k2+2+(6-t)-12kk2+2=12kk2+2(t-2)=0，因为k≠0，所以t＝2，所以S(0, 2)，当直线l的斜率不存在时，直线l也过定点S(0, 2)，故y轴上是否存在定点S(0, 2)，使得∠RSM+∠RSN＝π恒成立．21.①当d＝0时，an＝bn＝b为常数列，所以d(q2-1)＝0，②当q＝1时，an＝cn＝c为常数列，所以d(q2-1)＝0，③当d≠0且q≠1，要使得an＝an+1，则an，an+1必在bn，cn交替出现，即an＝bn，an+1＝cn+1，an+2＝bn+2，所以an＝an+2＝bn＝bn+2⇒d＝0，矛盾，综上，d(q2-1)＝0；证明：①若an＝bn，则数列{an}是递减数列，即数列{an}不为递增数列；②若an＝cn，因为q<0，所以cn正负交替出现，所以{an}不为递增数列；③若an＝bn，或an＝cn，则若{an}是递增数列，则an，an+1必在bn，cn中交替出现，设an+1＝b+nd，an=cqn-1，则b+nd>cqn-1，因为d<0，所以必定存在正整数m，当n>m时，b+nd<0，而cqn-1正负交替出现，所以b+nd>cqn-1不恒成立，矛盾，综上，数列{an}不为递增数列；①当q≥1时，bn，cn均不减，所以|Sn|≤M显然不成立，②当-1<q<1，q≠0时，令an＝cn，|sn|=|c1+c2+⋯+cn|≤|c1|+|c2|+⋯+|cn|=c(1-|q|n)1-|q|<c1-|q|，故存在常数m=c1-|q|，使得|sn|≤m恒成立，③当q＝-1时，令an＝cn试卷第5页，总6页,>2M，c|q|n-1>2M，即n>2M-bd+1，n>log|q|2Mc时，2M<bn，2m<|cn|⇒|an|>2M矛盾，综上所述，-1≤q<1，q≠0．试卷第5页，总6页</bn，2m<|cn|⇒|an|></q<1，q≠0时，令an＝cn，|sn|=|c1+c2+⋯+cn|≤|c1|+|c2|+⋯+|cn|=c(1-|q|n)1-|q|<c1-|q|，故存在常数m=c1-|q|，使得|sn|≤m恒成立，③当q＝-1时，令an＝cn试卷第5页，总6页,></x<1)7.748.±139.255，或2210.(-∞,></x<1)．7.已知lnx>
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